线性代数期末考试试卷合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每题2分，共10分）1311.若05x0，则__________。122x1x2x302．若齐次线性方程组x1x2x30只有零解，则应知足。x1x2x303．已知矩阵A，B，C(cij)sn，知足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。a11a124．矩阵Aa21a22的行向量组线性。a31a325．n阶方阵A知足A23AE0，则A1。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每题2分，共10分）1.若队列式D中每个元素都大于零，则D0。（）2.零向量必定可以表示成随意一组向量的线性组合。（）3.向量组a1，a2，，am中，假如a1与am对应的重量成比率，则向量组a1，a2，，as线性有关。（）01004.A1000，则A1A。（）000100105.若为可逆矩阵A的特点值，则A1的特点值为。()三、单项选择题(每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每题2分，共10分)1.设A为n阶矩阵，且A2，则AAT（）。①2n②2n1③2n1④42.n维向量组1，2，，s（3sn）线性没关的充要条件是（）。1，2，，s中随意两个向量都线性没关1，2，，s中存在一个向量不可以用其他向量线性表示③1，2，，s中任一个向量都不可以用其他向量线性表示④1，2，，s中不含零向量以下命题中正确的选项是()。随意n个n1维向量线性有关②随意n个n1维向量线性没关③随意n1个n维向量线性有关④随意n1个n维向量线性没关4.设A，B均为n阶方阵，下边结论正确的选项是()。①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆5.若1，2，3，4是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（）①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每题9分，共63分)xabcd1.计算队列式axbcd。abxcdabcxd解·xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x00(xabcd)bxc(xabcd)00x(xabcd)x31d01bcxd000x3012.设ABA2B，且A110,求B。014211522解.(A2E)BA(A2E)1221，B(A2E)1A432111223110021343.设B0110,C0213且矩阵知足关系式X(CB)'E,求。0011002100010002a11224.问a取何值时，以下向量组线性有关？111,2a,3。2121a22x1x2x335.为什么值时，线性方程组x1x2x32有独一解，无解和有无量多解？当方程组有无量多x1x2x32解时求其通解。①当1且2时，方程组有独一解；②当2时方程组无解211③当1时，有无量多组解，通解为0c11c2000112136.设14,29,30,410.求此向量组的秩和一个极大没关组，并将其他向11370317量用该极大没关组线性表示。1007.设A010，求A的特点值及对应的特点向量。021五、证明题(7分)若A是n阶方阵，且AAA1，AI0。此中I为单位矩阵。I，证明×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.52.13.ss，nn4.有关A3E二、判断正误1.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd(xabcd)1xbcd(xabcd)0x00(xabcd)x31bxcd00x01bcxd000x2.211522(A2E)BA(A2E)1221，B(A2E)1A4321112233.1234CB0123，B)'0012(C00011000CB'12100121001214.

1000210032104321，XECB'10001210012100121a1122a1，a2，a31a11(2a1)2(2a2)当a1或a1时，向量组a1，a2，a3线性相212821a22关。5.①当1且2时，方程组有独一解；②当2时方程组无解211③当1时，有无量多组解，通解为0c11c200016.1213121312134901001420142(a1，a2，a3，a4)137034100016161031703170013131002010200110000则ra1，a2，a3，a43，此中a1，a2，a3组成极大没关组，a42a12a2a37.100EA010(1)3002100010特点值1231，关于λ1＝1，1EA000，特点向量为k0l002001五、证明题AI

AAA

AI

A

I

A

I

A∴2I

A

0，

∵I

A

0一、选择题（此题共4小题，每题项符合题目要求）1、设A，B为n阶方阵，知足等式

4分，满分16分。每题给出的四个选项中，只有一AB0，则必有（）(A)A

0或B

0;(B)

AB

0；

（C）

A

0或

B

0;(D)

AB

0。2、A和

B均为

n阶矩阵，且

(A

B)2

A2

2AB

B2，则必有（

）(A)AE；(B)BE；（C）AB.(D)AB3、设A为mn矩阵，齐次方程组Ax0仅有零解的充要条件是（(A)A的列向量线性没关；(B)A的列向量线性有关；（C）A的行向量线性没关；(D)A的行向量线性有关.4、n阶矩阵A为奇怪矩阵的充要条件是（）

BA。）(A)A的秩小于

n；

(B)

A0；(C)A的特点值都等于零；(D)A的特点值都不等于零；二、填空题（此题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A的队列式A5，A是A的陪伴矩阵，则A=

。6、A为n

n阶矩阵，且

A2

A2E

0，则

(A

2E)

1

。7、已知方程组

12231a

1x1a2x22x3

13无解，则4

a

。8、二次型f(x1,x2,x3)2x123x22tx322x1x22x1x3是正定的，则t的取值范围是。三、计算题（此题共2小题，每题8分，满分16分）1x1119、计算队列式D11x11111y11111y10、计算n阶队列式x13x2LxnDnx1x23LxnMMMx1x2Lxn3四、证明题（此题共2小题，每题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组1,2,3线性有关，向量组2,3,4线性没关。证明：(1)1能有2,3线性表出；(2)4不可以由1,2,3线性表出。、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且f(A)(EA)(EA)1。12证明（1）(Ef(A))(EA)2E；（2）f(f(A))A。五、解答题（此题共3小题，每题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）20013、设A032，求一个正交矩阵P使得P1AP为对角矩阵。023x1x2x3014、已知方程组x12x2ax30与方程组x12x2x3a1有公共解。x14x2a2x30求a的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且213，22134354求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、；7、-1；8、t3。25三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xx0011x11D0yy01111yx000第二列减第一列，第四列减第三列得：1x10分）D0y（400101y按第一行张开得x10Dx0y001y按第三列张开得x02y2。（4分）Dxyx1y10、解：把各列加到第一列，此后提取第一列的公因子nxi3，再经过队列式的变换化i1为上三角形队列式1x2Lxnn1x23Lxn（4分）Dnxi3MMMi11x2Lxn31x2Lxnn03L0xi3MMMi100L33n1n（4分）xi3i1四、证明题11、证明：(1)、因为2，3,3线性没关，因此2，3线性没关。，又1，2，3线性有关，故1能由2，3线性表出。(4分)r(1，2，3)3，（2）、（反正法）若不，则4能由1，2,3线性表出，不如设4k11k22k33。由（1）知，1能由2，3线性表出，不如设1t12t23。因此4k1(t12t23)k22k33，这表示2，3,4线性有关，矛盾。、证明（1）(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]1由（1）得：[Ef(A)]11(EA)，代入上式得2f(f(A))[E(EA)(EA)1]1(EA)1(EA)(EA)(EA)11(EA)2221(EA)1(EA)A22五、解答题13、解：（1）由EA0得A的特点值为11，22，35。0（2）11的特点向量为11，1122的特点向量为20，0035的特点向量为31。（3分）1（3）因为特点值不相等，则1,2,3正交。（2分）10110（4）将1,1，p2012,3单位化得p1，p321021010101（5）取Pp1,p2,p32210122

（4分）（4分）（4分）（2分）100（6）P1AP020（1分）00514、解：该非齐次线性方程组Axb对应的齐次方程组为Ax0因R(A)3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解组成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（5分）另一方面，记向量21(23)，则AA(2123)2A1A2A32bbb0直接计算得(3,4,5,6)T0，就是它的一个基础解系。依据非齐次线性方程组解的构造知，原方程组的通解为32xkk43R。（7分）15，k46515、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:x1x2x30,x12x2ax30,x14x2a2x30,x12x2x3a1.若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求所有公共解.对③的增广矩阵A作初等行变换得:11101110A12a001a10.（4分）14a2000(a2)(a1)0121a1001aa11°当a1时，有r(A)r(A)23，方程组③有解,即①与②有公共解,其所有公共解即为③的通解，此时10100100A，000000001则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:0,11因此①与②的所有公共解为k0，k为随意常数.（4分）12°当a2时，有r(A)r(A)3，方程组③有独一解,此时10000101A01，01000000故方程组③的解为:1,即①与②有独一公共解x1.（4分）11线性代数习题和答案好东西第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每题2分，共28分）在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.a11a12a13a11a11a12a13等于（）设队列式a22=m，a21=n，则队列式a22a23a21a23a21A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n100，则A-1等于（2.设矩阵A=020）00310031001A.00B.010220110003110000231C.10D.000001031203123.设矩阵A=101，A*是A的陪伴矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）214A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，若有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.|A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性没关，则秩（T）A）等于（A.1B.2C.3D.46.设两个向量组α1，α2，，αs和β1，β2，，βs均线性有关，则（）有不全为0的数λ1，λ2，，λs使λ1α1+λ2α2++λsαs=0和λ1β1+λ2β2+λsβs=0有不全为0的数λ1，λ2，，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）++λs（αs+βs）=0有不全为0的数λ1，λ2，，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）++λs（αs-βs）=0有不全为0的数λ1，λ2，，λs和不全为0的数μ1，μ2，，μs使λ1α1+λ2α2++λsαs=0和μ1β1+μ2β2++μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.最罕有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其随意2个解，则以下结论错误的选项是（）A.η1+η2是

Ax=0的一个解

B.1η1+1η2是

Ax=b的一个解2

2C.η1-η2是

Ax=0的一个解

η1-η2是Ax=b的一个解9.设

n阶方阵

A不可以逆，则必有（

）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，以下陈说中正确的选项是（）如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特点值λ的特点向量如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特点值2个不同样的特点值可以有同一个特点向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不同样的特点值，向量，则α1，α2，α3有可能线性有关

α1，α2，α3挨次是

A的属于λ

1，λ2，λ3的特点11.设λ0是矩阵

A的特点方程的

3重根，A的属于λ

0的线性没关的特点向量的个数为

k，则必有（

）A.k

≤3

B.k<3C.k=3

D.k>312.设A是正交矩阵，则以下结论错误的选项是（

）A.|

A|2必为

1

B.|A|必为

1=AT

的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，

C是实可逆矩阵，

B=CTAC.

则（

）B相像A与B不等价A与B有同样的特点值A与B合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为（）23B.34A.4263100111C.023D.120035102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。错填或不填均无分。11115.356.9253616.111123设A=11，B=2.则A+2B=.11417.设A=(aij)3×3，|A|=2，A表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则ij(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性有关，则a=.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同样的解，则它的通解.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数.21.设向量α、β的长度挨次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=.22.设3阶矩阵A的队列式|A|=8，已知A有2个特点值-1和4，则另一特点值为.0106223.设矩阵A=133，已知α=1是它的一个特点向量，则α所对应的特点值为.2108224.设实二次型f(x,x,x,x,x)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.12345三、计算题（本大题共7小题，每题6分，共42分）12023125.设A=340，B=T24.求（1）AB；（2）|4A|.1210311226.试计算队列式5134.2011153342327.设矩阵A=110，求矩阵B使其知足矩阵方程AB=A+2B.123213028.给定向量组α1=1，α2=3，α3=0，α4=1.02243419试判断α4能否为α1，α2，α3的线性组合；假如，则求出组合系数。121022426629.设矩阵A=102.2333334求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性没关组。02230.设矩阵A=234的所有特点值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.243试用配方法化以下二次型为标准形f(x1,x2,x3)=x122x223x324x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分）设方阵A知足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；2）η0，η1，η2线性没关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每题2分，共28分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.633716.1374–10η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为随意常数n-r–5–2124.z21z22z23z24三、计算题（本大题共7小题，每题6分，共42分）1202225.解（1）ABT=340341211061810.10（2）|4A|=43|A|=64|A|，而120|A|=3402.121因此|4A|=64·（-2）=-1283112511151341113126.解0110010215335530511=111150511=62062301040.5555027.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而2231143（A-2E）-1=110153.121164143423因此B=(A-2E)-1A=153110164123386=296.21292130053228.解一13011301022401123419013112103510350112011200880011001414000010020101001,10000因此α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二考虑α=xα+xα+xα，41122332x1x23x30x13x212x22x343x14x2x39.方程组有独一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.解对矩阵A实行初等行变换1210200062A328200963212102121020