2017高一下期期中数学试卷

2016-2017学年四川省高一(下)期中数学试卷学校:姓名：班级：考号：注意：本试卷包含I、n两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用 2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第n卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。请点击修改第I卷的文字说明一、选择题(本大题共 12小题，共60.0分)已知？?>????>??且？???0,则(??)A.???>????B.????????C.??-??>??-??D.??+??>??+??若｛?况是等差数列，且??=-1,公差为-3,则？？等于(??)A.-7 B.-8 C.-22 D.27二次不等式？?亨?+????1>0的解集为｛??|-1<??<'｝,则？?+?的值为(??)A.-6 B.6 C.-5 D.5如果-1,??????-9成等比数列，那么(??)A.??=3,????9B.??=-3,????9C.??=3,????-9D.??=-3,????-9.在△??????,已知？?=2,??=3,cos??=-则smB等于(？？)138 9 10 11A.而 B.13 C.13 D.13.下列各函数中，最小值为 4的是(??)A.??=??+?? B.??=sin??+a?(0<??<??).??=410g3??+log?S D.??=4?了+????. △??????^个内角，？？？？？？勺对边分别为？？????且?"(?????)2=1,则？?=(??).°_。_。_。A.30 B.60 C.120 D.150.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺 .大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙 .大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚， ？?汕前n天两只老鼠打洞长度之和，则??=(??)15 15 15 1A.31花 B.32而 C.33万 D.263.已知等比数列｛??｝的各项均为不等于1的正数，数列｛??*满足？??=lg?2?.??=18,??=12,则数列｛???前n项和的最大值等于(??)A.126 B.130 C.132 D.134.已知向量？？=(2cos2??v3),??=(1,sin2??),设函数??(??=?????则下列关于函数？?=??(??)性质的描述正确的是(??)?? 5??，一A.关于直线？?=万对称 B.关于点(石，0)对称C.周期为2??D.??=??(?孽(-三,C.周期为2??3.某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用 (约定三内角A、B、C所对的边分别是？？？？？津出如下一些结论：⑴若△????是钝角三角形，则tan??+tan??+tan??>0；(2)若△??????锐角三角形，则cos??+cos??>sin??+sin??；(3)在三角形△????热若??<??则cos(sin??)<cos(tan??)… 2 3(4)在△?????!?,若sin??=5，tan??=贝U??>??>??其中错误命题的个数是(??)A.0 B.1 C.2 D.3.给出下列四个关于数列命题：⑴若｛?蓊是等差数列，则三点(10,义)、(100,罂)、(11。，罂)共线；(2)若｛??｝是等比数列，贝U?私、?2??-???、?-??-????(??e???)也是等比数列J；(3)等比数列｛?㈤的前n项和为？？，若对任意的？?e???，点(??，？书均在函数？?=???+??(??0,??W1,??r均为常数)的图象上，则r的值为-1.(4)对于数列｛?3丸定义数列｛?3?+1-??》为数列了勤的“差数列"，若??=2,｛????的“差数列”的通项为2??,则数列｛?蓊的前n项和？??=2??+1-2其中正确命题的个数是(??)A.4 B.3 C.2 D.1请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分).求值：cos415-sin415=..在等差数列J｛??)?■中，若？？+??+??+??+??0=80,则？?1的值为..设正实数？？？满足？?+2??=????若？?2+2??<??+2??亘成立，则实数m的取值范围是..在△??????, ???? ?是角？？?? ?河对应边，且?? ?? ?成等比数列，则sin??++1嬴R的取值范围是.tan??三、解答题(本大题共 6小题，共72.0分).(1)已知等比数列｛??｝中，？？=2且？？+??=6.求数列｛?豺的前n项和？刚值；(2)已知tan??=3,求2cos22+sin??-1的值.sin??-cos??.已知函数??(??=2sin??cos??v3cos2??+1(??€??).(1)化简？?(?货求？?(??)最小正周期；、 ?? ??一―.一.一.一(2)求？?(?既区间？？e[4,2]上的最大值和最小值..已知D为△????的边BC上一点，且AB：BC：???=1：西：1.(1)求角A的大小；(2)若△??????面积为v3,且/??????45,求BD的长..已知在△????版??(sin??+sin??)=(??-??)(sin??sin??)(其中角？????河对的边分别为？？????且/??钝角.(1)求角A的大小；(2)若？?=223,求？?+?的取值范围..已知数列｛??｝满足：？？=1,???+1=2???+1.(1)求证：数列｛???+1｝是等比数列；(2)求数列｛??｝的通项公式；???+1(3)设???=??(??+1)2??,求数列｛???｝的前n项和？?羽取值氾围..对于无穷数歹U｛?铝和函数？?(??)若？??+1=??(??(??C??),贝U称？?(?型数歹U｛???｝的母函数.(I)定义在R上的函数？？(?蒲足：对任意？？？？e??都有？？(?？？?=????(??)????(??)且？?2)=1；又数列｛?普满足？??=??&?).⑴求证：??(??=??+2是数列｛2???｝的母函数;(2)求数列｛??｝的前项n和？??•2016??+2 ?的1 (n)已知？?(??=??+2017是数歹U｛???■的母函数，且？？=2.若数列｛砺2｝的前n项和为？??,求证：25(1-0.99?5<???<250(1-0.999?5(??12).答案和解析【答案】5.A6.D12.B7.B1.D 2.C 5.A6.D12.B7.B8.B 9.C 10.D 11.D13.1176(-2,4)(三岁)解：(1)设等比数列｛?3?｝的公比为q,由已知得？？=2,且？？+??=2+2??=6,??=2,.•.???=2??.从而,???(1-????-1??~2??+12.(2),.tan??=3,2cos22+sin??-1

sin??-cos??19.解：设(2),.tan??=3,2cos22+sin??-1

sin??-cos??19.解：设AB:BC:???=1:苕：1=??贝U?????????????=V3??(1)由余弦定理得:cos??=????+????-????2?????????=21/2?吊+?£(v3??2sin??+cos??tan??+1

= =2sin??-cos??tan??-1解：函数??(??=2sin??cos??v3cos2??+1(??C??).化简可得：??(??=sin2??-v3cos2??+1=2sin(2??-?)+1.3一一，一"2??，？?(?聊最小正周期？?=万=???? ??(2)??C[4,2]上时,?? ?? 2勿信6w2??-3w3??于是20sin(2??-3)w1,即2w??(??户3,5??一， 当？?=石时，？？(？？????=3;当？?=??寸,??(???????=2.?? ??.一一 一.一??e[4，21上的最大值为3,最小值为2.1一2、， ，.一，…,，.°.「？妁二角形的内角， ，？?二120；________,__°(2)1.???=????/??120,/?=/??30,。??????15,… 1.,.????????2????????sin120=v3,..???????=2

.sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30v6.???? ????一则由正弦定理茄kn=后k得:.sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30v6.???? ????一则由正弦定理茄kn=后k得:????2sin15sin13520.解：(I)由正弦定理得??(????)=(??+??)(????)…3分可得：？？=??+??+????-4分又？？=??+??-2????cos??于是cos??=-1,…巧分2又？？C(0,??)2?? „•'??=~3".…6分(n).??=答3.•.??+??=??且03<??<??,…7分3由正弦定理可知，2??二品篇=1,…8分所以？?+??=2??sin??+2??sin??=sin??+sin??…9分TOC\o"1-5"\h\z=sin(??-??)+sin??=^3cos??-1sin??+sin??=；sin??+=cos??=sin(??+；j,…103 2 2 2 2 3分又0<??<?:可彳导:??<??+??<巴,3' 3 3 3.•.??+??=sin(??+马C(，，1],…优分注：用均值不等式求解更易， 由(1)??2=??+??+??及??= 得：4=??+??+????(??+??2-????-6分一一 3cc C c??+??c ;从而：4=??+??+ ????(??+??2- ????(??+ ??2 -(―)2, •••10分.•.??+?X1,…11分又??f??>??=-23,••.y<??+?X1.•••12分.21.(1)证明：•.？??+1=2???+1,.•.???+1+1=2(????+1),.•数列｛???+1｝是等比数列.(2)解：由(1)及已知｛???+1｝是等比数列，公比？?=2,首项为？？+1=2,.•.???+1=2?2??-1=2??..???=2??-1.⑶解:???+1 _ 1 _1??(??+1)2??⑶解:???+1 _ 1 _1??(??+1)2??=??(??+1)=??-1??+r•???=(1-1)+(2-1)+(1-1)+?+(3 4) ,(高-融+(??-")=1设？？(??=1-贝U??(?型增函数,, 1.・・当？?=1时，？？(？写得最小值？？(1)二万.1・•.？刎取值范围是匕，1).22.解：(I)(1)由题知？？=？？2)=1,且？？？+1=？？亲)=？？(1？》=1？？2？)+\？？5=1？？(^+2？？？？？？+1=1？？？+1？2？？+1？？？+1=2？？？？？+2.2 •• 2.•.？？(？？=？？+2是数列｛2？"？]的母函数；…3分(2)由(1)知：｛2？？？？｝是首项和公差均为 2的等差数列，故2？？？？？二2？？？？？？=？？？(1)？？-1...？？？=1+2？(1)1+3？(1)1是万程？？为+???+?1=0的两个实数根，且？?<0.+4？(2)+？+？阳1是万程？？为+???+?1=0的两个实数根，且？?<0.•-2？？？=，2+2？(2)\+3？(1)3+4？。4+？+？？？(2)？②TOC\o"1-5"\h\z1」 CC两式相减得：1？？？=1+1+(1)2+(1)3+？+(1)？？-1-？？？(1)？？=/？？--？？？.2 2'2 2 2 2’ 1-- 2'■？？？=2-警2,••？？？=4-篝…6分2 2(n)由题知:(n)由题知:？？？+1=2016？？？7+2？？？+2017'？？=2.2015(？？？？1)2015(？？？？1)••.？？+1-11= ？？？+2017八八c 2018(？？？升2)？29+1+2= •？？+1 ？？？+2017？？？+1-1_2015。？？？1？？？+1+2=2018？？？？+2・<？？？-1=<？？？-1=1(萼??-1<???+2=4(2018)1<-X0.999？？-1(？？>2)'故当？？》2时；。？？=10.99？？-1<？？？<1E？？=10999？？-1？1？^99-？<4j？？=1 4-1-0.991 1-0.999？？？？？<4？1-0.999从而｛？？工｝是以??工二又0.99<2015V0999 1 ？？12018 又0.99<2015V0999 1 ？？12018 0.999？J。."？？-1"\|山1？？？+2｝正以？？+24，J日八，2018八-寸人""， ？？？+24(2018) 。为?25(1-0.99?5<???<250(1-0.999?%??>2)…或分【解析】.解：•.??>????>??且？？？？0,.•.??-??>0,????>0,由不等式的性质可得？?■??+????>0,??+??>??+??故选D.由题意可得？?■ ??>0,????>0,从而得到？？ ??+ ?? ??>0,故有？?+ ??> ??+??由此得到结论.本题主要考查不等式的基本性质的应用，实数运算的符号法则，属于基础题..解：??=-1-3X7=-22.故选：C.利用等差数列的通项公式即可得出.本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..解：,・二次不等式？?3?+???+?1>0的解集为｛??卜1<??<;｝,••-13••-1「「2??-??+1=0•••{9??+3??+1=o,解得{??=-3，??<0.•.??+??=-5.故选C.利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出.熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键..解：由等比数列的性质可得 ????(-1)x(-9)=9,??x??=9且b与奇数项的符号相同，.,.??=-3,故选B由等比数列的等比中项来求解.本题主要考查等比数列的等比中项的应用..解：.cos??=-it,13二 12•.sin??=Vl-cos2??=―,•.??=2,??=3,由正弦定理可得sin??=号?=g4=,：： 3 13 13故选：A根据正弦定理和同角的三角函数即可求出.本题考查了正弦定理和同角的三角函数的应用，属于基础题6.解：对于A,当？"-8时，？”-8,故不对，对于B：若取到最小值，则sin??=2,显然不成立，对于C：410g3??flog?3均不能保证为正数，故对，对于D:??=4???+?--??>4,当且仅当？?=-ln2时取等号,故选：D根据基本应用条件，一正二定三相等，即可判断本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力.7.解:1,?%(??-??)2 ?和?？27.解:1,???? = ????.•.??-??-??=-????即??+??-??=????•.cos??=?多+?公??2•.cos??=?多+?公??22????=???? 1—=一2????2又A为三角形的内角，则？?=60.故选B利用余弦定理表示出cos??将已知的等式变形后代入求出cos??勺值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A的度数.此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键..解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1为首项，以2为公比的等比数列,前n天打洞之和为2?工=2??-1,2-1同理，小老鼠每天打洞的距离1??1-(2)"同理，小老鼠每天打洞的距离1??1-(2)"12??-1，..???..???=2??-1+2-12??-1,•,•??=25+1-24=32故选：B.由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1为首项，以2为公比的等比数列；小老鼠每1.天打洞的距离是以1为首项，以5为公比的等比数列.利用等比数列的求和公式即可得出.本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题..解：由题意可知，lg?®=??,lg??=??.又.•？？=18,??=12,则？？？？=1018,????=1012,.•.??=10-6.即？？=10-2,.•.??=1022.又.「｛???｝为正项等比数列，，｛??3为等差数列，且？?=-2,??=22.故？??=22+(??-1)X(-2)=-2??+24..•.???=.•.???=22??+??(??-1)X(-2)=-??2+23??=-(??-23)2+529.又丁？？€??，故？?=11或12时，(??)?????=132.由题意可知，lg??=??,lg??=??再由？?,??,用？？和q表示出？?和？?,进而求得q和??，根据｛???｝为正项等比数列推知｛???｝为等差数列，进而得出数列？?甥通项公式和前n项和，可知？?狗表达式为一元二次函数，卞据其单调性进而求得 ？？的最大值.本题主要考查了等比数列的性质 .属基础题. ??，-.•.??(?尊关于直线？?=-对称;.解：??(??=2cos2??+v^sin2??=cos2??+£sin2??+ ??，-.•.??(?尊关于直线？?=-对称;TOC\o"1-5"\h\z当？?=1??时，sin(2??+刍=sin??w±l,12 6 3. 5??. ?? 5??当？?=石时，2sin(2??+6)+1=1,♦.•??(?铁于点(石，1)对称;3，...??(?在在(-3，...??(?在在(--7,0)上是增函数.当？?e(-三,0)时,2??+。(-三,3 6 2故选D.利用三角恒等变换化简？?(?物解析式，根据正弦函数的性质判断.本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题..解：⑴-.tan??+tan??=tan(??+??)(1-tan??tan??).tan??+tan??+tan??=tan(??+??)(1-tan??tan??)+tan??=tan??tan??tan??.•.”???修钝角三角形，可得：tan??tan??tan?R0,故错误；⑵...摩？？？确角三角形，.•.??+??>90,??>90-??.cos??<sin??,sin??>cos??.cos??-sin??<0,sin??-cos??>0,•.cos??-sin??<sin??-cos??,可得cos??+cos??<sin??+sin??,故错误；??.(3)当？?=2?时，tan??%存在，故错误；TOC\o"1-5"\h\z(4)由tan??=3得到0V??<90,且tan30=V<3<1=tan45,4 3 4因为正切函数在(0,90)为增函数，所以得到30<??<45；由sin??=2可得到0<??<90或90<??<180,在0v??<90°时，sin30°=1>2,因为正弦函数在(0,90°)为增函数，得到0v??<30°；2 5在90<??<180°时，sin150=1>；但是正弦函数在90<??<180°为减函数，得2 5到？？>150,则？?+??>180,矛盾，不成立.所以0v??<30.由B和C的取值得到A为钝角，所以？?>??>??,故正确；故选：D.⑴利用正切的和角公式变形形式 tan??+tan??=tan(??+??)(1-tan??tan??此简整理.一一一・一•一一°、一一°一一一・一,(2)根据二角形是锐角二角形，得到？?+??>90,变形为？？>90-??根据二角函数在第一象限的单调性，得到cos??<sin??,sin??>cos??即可得解；??. ⑶当？?=2时，不等式不成立；(4)根据sin??=2,讨论B为锐角或钝角，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的增减性53确定出B的范围；根据tan??=4可知C为锐角，根据正切函数的增减性和特殊角的三角函数值得到角C的范围，再根据内角和定理得到A的范围即可比较大小.本题考查两角和的正切公式以及三角函数的符号， 训练运用公式熟练变形的能力， 考查学生会根据三角函数值的范围及三角函数的增减性和特殊角的三角函数值来比较角度的大小，考查了转化思想，属于中档题.12.解：⑴若｛???｝是等差数列，贝U???=???仔??(??-1)??,，条??-??+2???即???是关于n的一次函数，，｛策是等差数列，••三点(10,??0)、(100,??00■卜(110,需)共线，故(1)正确；(2)若｛?况是公比为-1的等比数列，当m为偶数时，有？?？=????=?3??=0,显然结论错误；故(2)错误；(3)????=???+??当？?=1时，??=??=??+??当？?>2时,???= ???- ???.1= ???+ ?? (?/1+??)= ???- ???-1 =(??-1)???-1,又因为｛??4为等比数列，所以？?=-1,故(3)正确；(4)??=1时，？？=2；当？?>2时,???=(???-???-1)+(?3?-1-???-2)+?+(??-??)+??=2??-1+2??-2+?+2+2=2+21^=2??；1-2..???=笔?=2??+1-2,故(4)正确•故选：B.

通过判断｛署是否为等差数列判断(1);令公比为-1判断(2);通过计算？?冽断(3)；累加法计算？？得出通项公式，通过求和公式计算判断 (4).本题考查了等差数列，等比数列的判断与性质，属于中档题..解：cos415-sin415=(cos215+sin215)?(cos215-sin215)=cos215-sin215=cos30=故答案为：/利用平方差公式，二倍角的余弦公式，求得所给式子的值.本题主要考查平方差公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题..解：..等差数列｛???｝中，若??+??+??+??+??o=80••??+??0=2?2,??+??=2?冬,.•.5?<6=80,••??=16,ii(??i+??,,).•.??1= 12 =11?公=176.故答案为：176.??=16,利用??1=由？？??=16,利用??1=11(??111(??1+??1)=11?%,可得结论.本题考查等差数列的性质，解题的关键是正确运用等差中项的性质转化项数..解：正实数???徜足？?+2??=????.1 2_一??+??=1，..??+2??=(??+2??)(??+1?=2+2+4??+??W4+2V4???^=8,当且仅当？?=2??即？?=4,??=2时等号成立.不等式？?2-2??<??+2??亘成立，即？?2-2??<8恒成立,解得-2<??<4;.,实数m的取值范围是(-2,4).故答案为：(-2,4).根据题意，把？?+2??=??麹为；1?+??=1,利用基本不等式求出？?+2??勺最小值，再转化不等式？?2-2??<??+2??求解关于m的不等式即可.本题考查恒成立问题， 考查了利用基本不等式求最值， 关键是“1”的应用，是中档题..解：..•”??？??，/?,?/??/??对的边分别为？？????•.??????等比数列，sin2??=sin??sin??设？？???分另।J为？？??????????+???? ???? ?? +??- 1>0…① _ _c c - 、石-1 、石+1则有｛??+??亨?>????｛??-??+1>0…②？-^-<??<????????>?? ??+??-1>0…③sin??扁+工)

tan??)一sin??扁+工)

tan??)一cos??sin??(sin??+cos??sin??)sin???sin(??+??)

sin??sin??TOC\o"1-5"\h\zsin??sin??sin2?? sin?? ??= = =-=??sin??sin?? sin??sin?? sin?? ??〜??得+焉）的取值范围是：（当，等）??+???????? ??+ ?? 1 > 0…①设？？？？ ？分另।j为？？ ？??？？??领（］有{??+??亨?>???? {??- ??+1 > 0…②？三2、<????????>?? ??+ ?? i > 0…③??<岁化简而??盛+焉)=?即可本题主要考查同角三角函数的基本关系、等比中项，及三