福建省莆田市莆田四中、六中2023届高三数学下学期第一次模拟考试试题-理

莆田六中2023届高三第一次模拟考试理科数学卷试题（时间120分钟，满分150分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．已知集合,,则()A．B．C．D．2．欧拉（LeonhardEuler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式（为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数在复平面内位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．已知△ABC中，点D为BC中点，若向量，则=()A．2B．4C．D．4．若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为()A．2B．C.D．5．若,则的概率为()A．B.C．D.6．若函数的部分图象如图所示,则=()A．1B.C．D.7．如图所示,棱长为1的正方形网格中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱长的和为()A．12B．C．D．8．若,则的大小关系为()A．B．C．D．9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数的图象上，则实数的值依次为()A．1,2,B．2,,2C．D．10．已知直线与曲线交于两点，若x轴上存在关于原点对称的两点(均在y轴右侧)，使得恒为定值2，则p=()A．1B．211．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为()A．B．C．D．12.定义在R上的函数，当时，，且对任意实数，都有.若有且仅有三个零点，则的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若是偶函数，则数据3，6，8，a的中位数是.14．成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示就是，可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足，我们就把正整数叫做勾股数，下面给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，这几组勾股数有如下规律：第一个数是奇数m,且第二个、第三个数都可以用含m的代数式来表示，依此规律,当时，得到的一组勾股数是．15．已知不等式组表示的平面区域为D,若存在，使得，则实数k的取值范围是.16．四边形ABCD中,，，则四边形ABCD面积的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）(一)必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知.(1)若是等差数列,且,,求；(2)若是等比数列,且,求.18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱，，，点分别为和的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若二面角为直二面角，求的值.19．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，将频率视为概率.（Ⅰ）确定的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.20．(本题满分12分)已知圆关于椭圆C：的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：与椭圆C相交于A、B两点，已知O为坐标原点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，若点P在椭圆C上，求k的值及平行四边形OAPB的面积.21．（本小题满分12分）已知函数,其中常数．（1）讨论函数的单调性；（2）已知,在处的切线为,求证：当时,恒成立.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线交于A，B两点，点C是曲线上与A，B不重合的一点，求ABC面积的最大值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．(Ⅰ)若不等式恒成立，求实数的最大值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数满足，求证：．

2023-2023年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级：姓名：座号：第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则()A．B．C．D．2.已知复数满足（为虚数单位），则()A．B．C．D．3.已知等差数列的首项和公差均不为零，且，，成等比数列，则()A．B．C．D．4.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接、，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()A．B．C．D．5.已知直线平面，则“直线”是“”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6已知圆：，点，．从点观察点，要使视线不被圆挡住，则实数的取值范围为()A．B．C．D．7.将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为()A．B．C．D．8.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A．B．C．D．9.定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则()A．B．C．D．10.已知向量，满足，，则的取值范围是()A．B．C．D．已知函数是一个求余函数，记表示除以的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，若输入的值为，则输出的值为()A．B．C．D．已知，则关于的方程，给出下列五个命题：①存在实数，使得该方程没有实根；②存在实数，使得该方程恰有个实根；③存在实数，使得该方程恰有个不同实根；④存在实数，使得该方程恰有个不同实根；⑤存在实数，使得该方程恰有个不同实根．其中正确的命题的个数是()A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）设，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)若变量、满足约束条件，则的最大值为；15.、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为；16.已知函数，则；三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分12分)已知函数．(Ⅰ)求函数的递增区间；(Ⅱ)若的角所对的边分别为，角的平分线交于，，，求．(本小题满分12分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中浮动比率是在基准保费上上下浮动）：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量(Ⅰ)求这辆车普通座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到元）(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故车盈利元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选辆车，求这辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．(本小题满分12分)如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，是线段上一动点．（1）当时，求证：面；（2）当的面积最小时，求三棱锥的体积．(本小题满分12分)已知一定点，及一定直线：，以动点为圆心的圆过点，且与直线相切．(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；(Ⅱ)设在直线上，直线，分别与曲线相切于，，为线段的中点．求证：，且直线恒过定点．(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)若，记为的从小到大的第（）个极值点，证明：（）．(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．(Ⅰ)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值．23.选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设函数．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．2023-2023年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）123456789101112ADDCBBCACDBB1.A【解析】：∵，，则，故应选A．2.D【解析】：∵，∴，∴，故应选D．3.D【解析】：∵，，成等比数列，∴，∴，∴，又，，∴，∴，∴，故应选D．4.C【解析】：设，则，，故多边形的面积，∵，∴，故所求概率为．故应选C．5.B【解析】：由，推不出（可能），由，能推出；6.B【解析】：点在直线上，过点作圆的切线，设该切线的斜率为，则该切线的方程为，即．由圆心到切线的距离等于半径得：，∴，∴该切线的方程为，它和直线的交点为、．故要使视线不被圆挡住，则实数的取值范围为，故应选B．（或作出图形，利用平几法，求相关线段）7.C【解析】：∵向左平移（）单位后得到函数，又为偶函数，故，，故，，故，故应选C．8.A【解析】：抠点法:在长方体中抠点，①由正视图可知：上没有点；②由侧视图可知：上没有点；③由俯视图可知：上没有点；④由正（俯）视图可知：处有点，由虚线可知处有点，点排除．由上述可还原出四棱锥，如右上图所示，∴，∴．故选.9.C【解析】：依题意得：，∴，故可得，∴，，再由裂项求和法，可得，故应选C．10.D【解析】：∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，（当且仅当时，等号成立），∴，∴，又，∴，故应选D．11.B【解析】：此框图的功能是求大于的约数的个数，其约数有，，，，，，，共有个，故应选B．12.不存在，从而不存在；②，则，与之对应，不存在；④或与之对应，，没有与之对应，⑵当时，则有两个不同的与之对应，⑶当时，则有唯一的与之对应，综上所述：二、填空题：（本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【解析】∵，，∴；14.【解析】：画出可行域后可得最优解为，故；15.【解析】：由得：，故，又，∴，∴，∴；16.【解析】：∵，∴，∴，又设，则，∴，∴．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵，………3分，令，，∴，，∴函数的递增区间为，，………6分；(Ⅱ)∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，又平分，∴，……8分；又，又由正弦定理得：，∴，∴，又，∴；……10分∴，∴．……12分(本小题满分12分)解：(Ⅰ)这辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为元；…5分(Ⅱ)①由统计数据可知，该销售商店内的辆该品牌车龄已满三年的二手车中有辆事故车，设为，，辆非事故车，设为，，，．从这辆车中随机挑选辆车的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况．…6分其中辆车中恰好有一辆为事故车的情况有：，，，，，，，，，，，，共种．…7分，故该顾客在店内随机挑选辆车，这辆车中恰好有一辆事故车的概率为.…9分，②由统计数据