《微积分（第二版）》课件第四节二阶常系数线性微分方程

第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的结构二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法第四节二阶常系数线性微分方程当时，方程形如二阶线性微分方程.二阶线性微分方程的概念的方程，称为称为二阶线性齐次微分方程.当时，方程称为二阶线性非齐次微分方程./当时，方程形如称为二阶常系数线性微分方程.常系数线性齐次微分方程.当时，方程二阶常系数线性非齐次微分方程./的方程称为二阶称为二阶常系数线性微分方程的概念因为为方程的解，所以一、二阶常系数线性微分方程解的结构

定理设y1(x),y2(x)是方程的两个解,则也是该方程的解,其中C1,C2是任意常数.证1.二阶常系数线性齐次微分方程通解结构所以是方程的解.

此定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x),y2(x)的线性组合,仍是方程的解.

问题：满足何条件线性组合为二阶线性齐次微分方程的通解？

定义设y1(x)与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k(或存在不全为零的常数k1,k2)，使得对于该区间内的一切x，有成立，则称函数y1(x)与y2(x)在该区间内线性相关，否则称y1(x)与y2(x)线性无关.为了回答此问题,在此给出线性相关与无关概念.

定理如果函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则就是方程的通解.

此定理表明要求二阶常系数线性齐次微分方程通解只需求其两个线性无关的特解y1(x)与y2(x),作线性组合即可.

例验证为二阶常系数线性齐次微分方程通解.解将代入方程易证满足方程.由

证由与分别为非齐次方程的特解和齐次2.二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构

定理设是方程的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解.方程的通解，得

证由与分别为非齐次方程的特解和齐次2.二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构

定理设是方程的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解.方程的通解，得所以为非齐次方程的解，且含有两个独立的任意常数，故为通解.

此定理说明：二阶常系数线性非齐次方程通解可以表达成其特解和相应齐次方程通解之和的形式.

定理设分别是二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，则是微分方程的特解，其中p，q是常数.证明由题设知二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法求方程

分析：欲求方程的解，考虑到方程左端为未知函数及其导数的线性组合形式，不妨设方程具有指数形式的解通解.将代入方程整理，得（称为特征方程）特征方程特征根的讨论解特征方程的根为于是都是方程的解，且即

线性无关.方程通解为为其两个相等实根所以为方程的一个特解.为了找到方程的另一个线性无关的特解.不妨取u=x，可得方程的另一个特解为线性无关的两个特解所以，方程的通解为因为即方程的通解为此时方程的有两个复数形式特解.现确定两个实函数特解.由欧拉公式上式相加减，得这里为方程的两个特解.即为线性无关特解，故得方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程通解两个不相等实根两个相等的实根一对共轭复根的通解特征根1.写出特征方程3.根据两个特征根的不同情况，由通解公式写出微分方程的通解.求方程通解步骤2.求出特征方程的两个根两个不相等实根两个相等的实根一对复根的通解特征根例求下列微分方程的通解

解（1）特征方程为（2）特征方程为

例

求方程

y-4y+4y=0

的满足初始条件

y(0)=1，y(0)=4的特解.解

该方程的特征方程为

r2

-4r

+4=0，它有重根

r=2.