2015届高考数学文科一轮总复习资源2篇函数与基本初等

第4讲幂函数与二次函数知

识

梳

理1．幂函数

(1)幂函数的定义 形如

的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

y＝xα(3)常见的5种幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR{x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数

(1)二次函数的定义 形如f(x)＝

的函数叫做二次函数．

(2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．ax2＋bx＋c(a≠0)

(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0辨

析

感

悟1．对幂函数的认识

(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数． (×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)． (×) (3)幂函数的图象不经过第四象限． (√)[感悟·提升]

三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n∈N*，如(6).

规律方法

(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．考点二二次函数的图象与性质【例2】

(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.

其中正确的是________．规律方法

解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．

考点三二次函数的综合运用【例3】

若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)

满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 审题路线f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围．

规律方法

二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调