(完整word版)《点集拓扑讲义》第七章紧致性学习笔记

页** 共26页第第io页** 共26页证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X一Y是一个连续映射.如果A是紧致空间X中的一个闭子集.则它是紧致的（参见定理7.1.5）,因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4）,所以又是闭集（参见推论7.2.2）.这证明f是一个闭映射.因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即一一的）连续映射都是同胚.作业：P1921.2.n维欧氏空间那中的紧致子集定义7.3.1设（X,p）是一个度量空间，AZX.如果存在实数g0使得p（x,y）<M对于所有x,yCA成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X,p）是一个有界度量空间.定理7.3.1 紧致度量空间是有界的.证明设(X,p)是一个紧致度量空间.由球形邻域构成的集族 {B(x,|xCX}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B(x1,1),B(x2,1),…，B(xn,1)}•令M=rnax{p(xi,xj)|1<i,j<n}+2如果x,y€X,则存在i,j,1&i,j&n,使得xCB(xi,l)和yCB(xj,l).于是p (x, y) <p(x,xi)+p (xi ,xj)十p (xj , y) <M因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集.特别n维欧氏空间P的每一个紧致子集都是有界的.下面作为引理给出单位闭区间［0,1］是一个紧致空间的证明.尽管读者可能早已熟知这个结论.引理7.3.2单位闭区间［0,1］是一个紧致空间.证明设A是［0,1］的一个开覆盖.令P=｛xC［0,l］|A有一个有限子族覆盖［0,x］｝它是［0,1］的一个子集.对于集合P,我们依次证明，）PH0.因为显然0CP;P是一一个开集.设xCP.则A有一个有限子族，设为｛二.二一..』」｝,覆盖［0,x］.当x=1时，易见P=［0,l］,它是一个开集.因此x是P的一个内点.下设x<1.这时对于某一个i0,1&i0&n,有xC4。.由于4。是［0,1］中的一个开集，所以存在实数e>0使得［x,x+e）匚4.于是［0,x+e）-f二..这蕴涵［0,x+e）匚P.由于［0,x+e）是［0,1］中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点.以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.P是一一个闭集.设xeP=［0,1］-P.根据集合P的定义可见，［x,1］UP.另外根据（1）可见.0Vx.选取选取ACA使彳mxCA.由于A是一个开集，所以存在实数&>0使得（x—£,x］UA.假如（x—£,x］APW0,设zC（x—e,x］nP.则A有一个有限子族A1覆盖［0,z］,因此A的有限子族人1。伏｝覆盖［0,x］,这与x即矛盾.所以（x-£,x］np=0，即（x-£,x］uP,从而（x-8,1］uF,因此x是p的一个内点.这证明F"是一个开集，即p是一个闭集.根据上述三条，P是［0,1］中的一个既开又闭的非空子集.由于［0,1］是一个连通空间，所以P=［0,1］,特别，1CP.这也就是说A有一个有限子族覆盖［0,1］.以上证明了［0,1］的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故［0,1］是一个紧致空间.任何一个闭区间［a,b］(a<b),由于它和单位闭区间［0,1］同胚，所以是紧致的.并且作为紧致空间的积空间，可见n维欧氏空间片中任何一个闭方体值句,(a<b)也是紧致空间.定理7.3.3设A是n维欧氏空间必中的一个子集.则A是一个紧致子集当且仅当A是一一个有界闭集.|证明设p是n维欧氏空间R”的通常度量.“=>"：如果AC?是一个紧致子集，则根据定理7.3.1,它是有界的；由于R"是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2,它是一个闭集.“U”：设AUF是一个有界闭集.如果A=0,则A是紧致的.下设AH0.于是存在实数M>0使得对于任何x,yCA有p(x,y)<M任意选取X0CA,并且令N=M^p(0,x0),其中0=(0,0,…，0)£R.容易验证(根据三角不等式)A匚［一设阴］因此A作为紧致空间［-MM”中的一个闭子集必定是紧致的.定理7.3.4 设X是一个非空的紧致空间，f:X-R是一个连续映射.则存在x0,x1€X使得对于任意xCX有f(x0)<f(x)<f(x1)换言之，从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点.证明由于X紧致，故根据定理7.1.4可见f(X)是实数空间R中的一个紧致子集.由于R是一个Hausdorff空间，所以f(X)是一个闭集.设m和M分别为集合f(X)的下，上确界，则①MEf(X).因此存在x0,x1CX使得f(x0)=m和f(x1)=M.根据上，下确界的定义立即可见，对于任何xCX有f(x0)<f(x)<f(x1).止匕外，由于m维单位球面S鲍是一个有界闭集，所以是紧致的，n维欧氏空问？不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：定理7.3.5设m，nCZ+.则m维单位球面S期与n维欧氏空间K*不同胚.这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子.作业：P1961.2.几种紧致性以及其间的关系本节重点:掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系.读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间？中的一个子集A如果满足以下条件(l)〜(4)中的任何一条，则满足其他的几条.A是一一个有界闭集；A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点.这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了.不难发现这四条中以惟有（1）中涉及的概念有赖于度量，其余（2）,（3）和（4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑.我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2）,（3）和（4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事.本节我们研究这个问题.为了研究问题时的方便，引进以下条件（5）作为讨论的中间站.（5）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖.定义7.4.1 设X是一个拓扑空间.如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间.以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证.定理7.4.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间.定理7.4.2每一个Lindeloff的可数紧致空间都是紧致空间.定义7.4.2设X是一个拓扑空间.如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间.定理7.4.3每一个可数紧致空间都是列紧空间.证明设X是一个可数紧致空间.为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点.假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点.首先这蕴涵A是一个闭集.此外对于每一个aCA,由于a不是A的凝聚点，所以存在a的一个开邻域 使得"anA={a}.于是集族{Qi|aCA}U{4}是X的一个开覆盖.由于X是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为｛,「」17由于A与A无交，所以—｝必定覆盖A.因此，A二（/叫3…口05）CA=｛a1,a2,…七口｝是一个有限集.这是一个矛盾.定义7.4.3设｛4｝/*是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：474+1对于每一个iCZ+成立，即4口4口…则称序列（4｝以+是一个下降序列.在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列.引理7.4.4设X是一个拓扑空间.则拓扑空间X是一个可数紧致空间当且仅当由X中任何一个非空闭集下降序列｛⑷g,有非空的交，即证明设可数紧致空间X中的非空闭集下降序列冉）良力使得E-。于是1kb处是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为｛可，*，…用｝由此可得0=了”：.闻'=&%=%皿网这是一个矛盾.另一方面，设拓扑空间X中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交.如果X不是一个可数紧致空间，则X有一个可数开覆盖，设为｛5，%，…｝，没有有限子覆盖.对于每一个iCZ+,令

则｛7，匕「｝也是X的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：匕Mu…因此片，《…是一个非空闭集下降序列，所以。小；*。由此可见V%匕*X.也就是说｛7，匕4｝不是X的一个覆盖，这是一个矛盾.定理7.4.5每一个列紧的4空间都是可数紧致空间.证明设X是一个列紧的4空间.如果X不是一个可数紧致空间，则根据引理7.4.4,X中有一个非空闭集下降序列｛用小,使得小以耳二⑦在每一个4中选取一点人,并且考虑集合A=｛力际一｝如果A是一个有限集，则必有一点xCA和一个正整数的严格递增序列n1,n2,…使得广n2,…使得广3飞广于是对于任何iCZ+有x€这是因为,16F-cF.1c-cF-nJ£量J'思一】J-11于是xen小耳，这与反证假设矛盾.设A是一个无限集.由于X是一个列紧空间，所以A有一个凝聚点，设为y.由于X是一个％空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个iCZ+,点y也是集合4=品1，'"的一个凝聚点；又由于4匚月二彩旦二入小立』.这也与反证假定矛盾.定义7.4.4设X是一个拓扑空间.如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，称拓扑空间X是一个序列紧致空间.定理7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间.证明设X是一个序列紧致空间，｛6,月，…｝是X中的一个非空闭集下降序列.在每月3｛赤孙…｝35mL…｝加/■.对于每一个iCZ+,,筋…0了£门曲斗-G/+4’0,根据引理7,4,4X是一个可数紧致空间.定理7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空问.证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设⑻皿匚】.对于每一个iez+,令区-（为小山…）和耳-耳.于是&&…是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理7.4.4,我们有门.宇0,证2+?由于X满足第一可数性公理，根据定理5.1.8,在点x处有一个可数邻域基｛%%,,"｝满足条件：4°4°"百工4nU,0鸟,°对于任意j€Z+成立.令M=mm｛|中£用力百）对于每一个i>1,令用二画/eZ+l4吗门“.田）,于是用,必■■是一个严格递增的正整数序列.并且与叫对于每一个iCZ+成立.我们来证明序列｛&｝的子序列｛电｝收敛于x：设U是x的一个邻域.存在某一个kCZ+,使得"跖匚"，于是当i>k时我们有以叫匚工3根据本节中的各个定理，我们可以得到图表 7.2.= =>紧致空间.何数紧向空间一网紧空间

取於切 rt。J4一列紧致空司根据这个表立即可以知：推论7.4.8设X是一个满足第二可数性公理的Z空间，A是X的一个子集.则下列条件等价：A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；A中的每一个序列都有子序列收敛于A中的点；A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中.特别，对于n维欧氏空间K*的子集以上推论成立，并且推论中的每一个条件都等价于A是一个有界闭集.作业：P2011度量空间中的紧致性本节重点：掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之问的关系.由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是Z空间，所以上一节中的讨论(参见表7.2)因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间.但由于度量空间不一定就是 Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间.本节研究这个问题并给出肯定的回答.定义7.5.1设A是度量空间(X,p)中的一个非空子集.集合A的直径diam(A)定义为diam(A)=sup{p(x,y)|x,yCA}若A是有界的diam(A)=00若A是无界的定义7.5.2设(X,p)是一个度量空间，A是X的一个开覆盖.实数入>0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A,只要diam(A)(入，则A包含于开覆盖A的某一个元素之中.Lebesgue数不一定存在.例如考虑实数空间 R的开覆盖{(-00,1)}U{(n-1/n,n+1+1/n)|nCZ+}则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数.(请读者自补证明.)定理7.5.1[Lebesgue数定理]序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数.证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖.假若开覆盖A没有Lebesgue数，则对于任何iCZ+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam(E)<1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中.在每一个用之中任意选取一个点人,由于X是一个序列紧致空间，所以序列飞际…有一个收敛的子序列々V”，…TJ.由于A是X的一个开覆盖，故存在ACA使得yCA,并且存在实数c>0使得球形邻域B(y,e)UA.由Err-4V W于叫所以存在整数g0使得当i>M时1 2.令k为任意一个整数，使得k>M+2/e,则对于任何"E%有p（x,y）wP（x,'如）+p（'蛇，y）<e这证明与一厂一；-a与“用的选取矛盾.定理7.5.2 每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间.证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖.根据定理7.5.1,X的开覆盖A有一个Lebesgue数，设为人>0.令上｛B（x,入/3）｝.它是X的一个开覆盖.我们先来证明B有一个有限子覆盖.假设B没有有限子覆盖.任意选取一点 CX.对于i>1,假定点1卜田二口对已经取定，由于（贴，⑶贴疝3）广月（如㈤幼不是X的覆盖，选取' J33,按照归纳原则，序列小际…已经取定.易见对于任何i,jCZ+,iwj,有PJ"j）>入/3.序列…没有任何收敛的子序列.（因为任何y€X的球形邻域B（y,入/6）中最多只能包含这个序列中的一个点.）这与 X是序列紧致空间相矛盾.现在设｛（峋而无峋㈤犷g*#3）｝｝是开覆盖B的-个有限子覆盖.由于其中每一个元素的直径都小于入，所以对于每一个i=1,2,…,n存在4*'使得bJl入⑶-4.于是｛ ｝是A的一个子覆盖.因此，根据定理7.5.2以及前一节中的讨论可见：定理7.5.3 设X是一个度量空间.则下列条件等价：X是一个紧致空间;X是一个列紧空间；X是一个序列紧致空间；X是一个可数紧致空间.我们将定理7.5.3的结论列为图表7.3以示强调.紧致空间今可数紧致空质Q序列紧致空间O列紧空间作业：P2051.本章总结:(1)重点是紧致性、紧致性与分离性的关系.(2)度量空间(特别是？)中的紧致性性质要掌握.(3)紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集.局部紧致空间，仿紧致空间本节重点：掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义.性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系;掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系.定义7.6.1设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域，则称拓扑空间X是一个局部紧致空间.由定义立即可见，每一个紧致空间都是局部紧致空间，因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域.n维欧氏空间也是局部紧致空间，因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的.定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间.证明设X是一个局部紧致的Hausdorff空间，设xCX,U是x的一个开邻域.令D是x的一个紧致邻域，作为Hausdorff空间X的紧致子集，D是X中的闭集.由推论7.2.4,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间，所以是一个正则空间.印门是x在子空间D中的一个开邻域，其中是集合D在拓扑空间X中的内部.从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W一方面V是子空间D中的一个开集，并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集，而W是X中的一个开集，所以V也是X中的开集.另一方面，由于D是X的闭集，所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包7因此点x在X中的开邻域V使得了匚郎匚U.因此X是一个正则空间.定理7.6.2设X是一个局部紧致的正则空间,x€X,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基.证明设U是xCX的一个开邻域.令D为x的一个紧致邻域，则是x的一个开邻域.因为X是正则空间，所以存在x的开邻域V使得「匚？门。°.闭集了是x的一个闭邻域，并且作为紧致空间D中的闭子集，它是紧致的.以上证明了在x的任何开邻域U中包含着某一个紧致邻域 V.从前面两个定理立即可以推出：推论7.6.3设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,xCX.则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基.定理7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间.证明设X是一个局部紧致的正则空间.我们验证X是一个完全正则空间如下：设xCX和B是X中的一个闭集，使得=3'是x的一个开邻域.由定理7.6.2,存在x的一个紧致闭邻域V,使得『UU.V作为X的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的)，因此是完全正则的.因而存在连续映射g:V-[0,1],使得g(x)=0,和对于任何,一「。有g(y)=1.定义映射h:片TO口使得快吸舱)二1.显然h是一一个连续映射定义映射f:X一[0,1],使得对于任何zCX既)严I首先，映射f的定义是确切的，因为如果2W泮C，,则有g(z)=1=h(z).其次，匕那’都是X中的闭集，从而根据黏结引理,f是连续的.最后，显然有f(x)=0及对于」-/--I根据定理7.6.1,定理7.6.4及图表6.1,立即可得图表7.4

局部整问:空间完全正则空间7；空间oUTn局部整问:空间完全正则空间7；空间oUTn正则空间I与空间定义7.6.2设集族A和B都是集合X的覆盖,如果A中的每一个元素包含于B中的某一个元素之中，则称A是B的一个加细.显然，如果A是B的一个子覆盖，则A是B的一个加细定义7.6.3 设X是一个拓扑空间,A是X的子集A的一个覆盖.如果对于每一个xCA,点x有一个邻域U仅与A中有限个元素有非空的交,即：{ACA|AnUw0}是一个有限集，则称A是集合A的一个局部有限覆盖.有限覆盖当然是局部有限覆盖.定义7.6.4设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细，则称X是一个仿紧致空间.紧致空间自然是仿紧致的.离散空间也是仿紧致的 ，因为所有单点集构成集集族是离散空间的一个开覆盖并且是它的任何一个开覆盖的局部有限的加定理7.6.5每一个仿紧致的正则空间都是正规空间.证明：设X