山东省威海市南黄中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

山东省威海市南黄中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下有关线性回归分析的说法不正确的是(

)A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱D．越接近1，表明回归的效果越好ks5u参考答案：C略2.若方程在内有解，则的图象可能是(

)

参考答案：D3.已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别化简解出甲乙的不等式，即可判断出结论．【解答】解：≥0，?x（x+1）（x﹣1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．由log3（2x+1）≤0，∴0＜2x+1≤1，解得：．∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选：B．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得答案．【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，其底面面积S=×1×1=，柱体的高为：2，锥体的高为1，故组合体的体积V=×2﹣××1=，故选：A．5.设函数f（x）=若f（f（t））≤2，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞）参考答案：A【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用换元法，令a=f（t），则f（a）≤2，即有或，分别解出它们，再求并集可得a≥﹣2．即有f（t）≥﹣2，则或，分别解出它们，再求并集即可得到．【解答】解：令a=f（t），则f（a）≤2，即有或，即有﹣2≤a≤0或a＞0，即为a≥﹣2．即有f（t）≥﹣2，则或，即有t≤0或0＜t，即有t≤．则实数t的取值范围是（﹣∞，]．故选A．【点评】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．6.设，，则“”是“”的

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件参考答案：A7.已知点在第三象限,则角的终边在

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略8.二项式展开式中的第三项与第五项的系数之比为，其中为虚数单位，则展开式的常数项为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知椭圆C：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于A，B两点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为（）A．4 B． C．8 D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：离心率e==，即4c2=3a2，根据菱形的面积公式可知S=×2a×2b=4，即ab=2，由a2=c2+b2，解得：a=2，b=1，由椭圆的定义可知：四边形AF1BF2的周长4a=8．【解答】解：由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，由椭圆的离心率e==，即4c2=3a2，由四个顶点构成的四边形的面积为4，根据菱形的面积公式可知S=×2a×2b=4，即ab=2，由a2=c2+b2，解得：a=2，b=1，则椭圆的标准方程为：，由椭圆的定义可知：四边形AF1BF2的周长4a=8，故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．10.设是公差为正数的等差数列，若，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与直线2x－y－4＝0平行且与曲线相切的直线方程是

．参考答案：12.（14）已知等比数列

.参考答案：6313.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）17.参考答案：（Ⅰ）5030；（Ⅱ）由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故.从而由上述规律可猜想：（为正整数），，故,即是数列中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.14.已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，则a﹣b的值为．参考答案：﹣7【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，∴，∴或当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；∴a﹣b=﹣7故答案为：﹣7．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．15.已知，则不等式的解集为

．参考答案：【知识点】分段函数的性质；一元二次不等式的解法。E3

【答案解析】

解析：由，可得或，解得，所以原不等式的解集为．【思路点拨】把原不等式转化为不等式组，再求并集即可。16.已知函数

若函数有3个零点，

则实数的取值范围是___________．参考答案：画出函数的图像如右，有3个零点，即是直线与函数的图像有三个交点，由图可知：17.已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=

．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z=a+1=3，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，∴z=x+ay看化为：y=﹣x+，结合图象直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是z=a+1=3，解得：a=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值.参考答案：（Ⅰ）…………2分

由及勾股定理可知，即………4分

因为，所以，解得……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知是边长为的正三角形，所以

解得…………………8分

由可知直角三角形的外接圆以为圆心，半径

即点在圆上，………………………10分

因为圆心到直线的距离为…………………12分

故该圆与直线相切，所以点到直线的最大距离为…………13分19.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明:在R上单调递减;参考答案：(1)证明:令,则

∵当时,,故,∴,∵当

时,∴当时,,则(2)证明:任取,则∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函数是R上的单调减函数略20.已知函数f（x）=ln（ax）+x2﹣ax（a为常数，a＞0）（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）当y=f（x）在x=处取得极值时，若关于x的方程f（x）﹣b=0在[0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[，1]，使不等式f（x0）＞m（a2+2a﹣3）成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；其他不等式的解法．【分析】（1）a=1时求出f′（x），则切线斜率k=f′（1），求出切点，利用点斜式即可求得切线方程；（2）求导数f′（x），令f′（）=0可得a，利用导数可求得函数f（x）在[0，2]上的最小值、最大值，结合图象可知只需满足直线y=b与y=f（x）的图象有两个交点即可；（3）先利用导数求出f（x）在[，1]上的最大值f（1）=ln（）+1﹣a，则问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1﹣a﹣m（a2+2a﹣3）成立，然后利用导数研究不等式左边的最小值即可；【解答】解：（1）a=1时，，∴，于是，又f（1）=0，即切点为（1，0），∴切线方程为；（2），，即a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2，此时，，∴上递减，上递增，又，∴；（3）f′（x）=+2x﹣a==，∵1＜a＜2，∴=＜0，即，∴f（x）在[，2]上递增，∴f（x）max=f（1）=ln（）+1﹣a，问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1﹣a＞m（a2+2a﹣3）成立，设h（a）=ln（+a）+1﹣a﹣m（a2+2a﹣3）（1＜a＜2），则h′（a）=﹣1﹣2ma﹣2m=，又h（1）=0，∴h（a）在1右侧需先增，∴h′（1）≥0，m≤﹣，设g（a）=﹣2ma2﹣（4m+1）a﹣2m，对称轴a=﹣1﹣≤1，又﹣2m＞0，g（1）=﹣8m﹣1≥0，所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，∴h（a）在（1，2）上单调递增，h（a）＞h（1）=0，即ln（）+1﹣a＞m（a2+2a﹣3），于是，对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[，1]，使不等式f（x0）＞m（a2+2a﹣3）成立，m．21.（本小题满分14分）已知三次函数为奇函数，且在点的切线方程为.(1)求函数的表达式.(2)求曲线在点处的切线方程，并求曲线在点处的切线与曲线围成封闭图形的面积.(3)如果过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围；参考答案：（1）解：恒成立又在点的切线方程为，即

………5分（2）解：设切点为，则切线方程是：，

…………7分令得

所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是

…9分时时时，切线与曲线恰有一个公共点，

（此步不扣分）综上：曲线在点处的切线与曲线围成封闭图形的面积

.

………10分（3）解：令切线过，代入整理得：

关于有三个不同的解；

设即有三个不同的零点；

………2分又时递减；在区间上分别递增，故

………14分

略22.（本小题满分14分）

己知向量，．

(1)若，求的值：