山东省临沂市蒙阴县常路中学2021年高一数学理期末试题含解析

山东省临沂市蒙阴县常路中学2021年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

(

)

参考答案：A略2.设集合,则满足的集合的个数是(

)

参考答案：C略3.圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（）A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=0参考答案：B【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线3x﹣4y+5=0为所求圆的切线，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程，整理后即可得到正确的选项．【解答】解：∵圆心（2，﹣1）到直线3x﹣4y+5=0的距离d==3，∴所求圆的半径r=3，则所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=9，即x2+y2﹣4x+2y﹣4=0．故选B4.已知整数的数对列如下:(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，，则第60个数对是A．(3,8)

B．(4,7)

C．(4,8)

D．(5,7)参考答案：D5.已知集合，，则A∩B=（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】直接由交集的定义进行求解即可．【详解】由，，可得.故选B.6.已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A． B．y=f（2x﹣1） C． D．参考答案：B【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可．【解答】解：由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项C，D对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选：B7.若不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根据不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，可得f（）≤g（），从而可得0＜a＜1且a≥，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax，（0＜x＜）∵不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，∴f（）≤g（）∴3?﹣loga≤0．∴0＜a＜1且a≥，∴实数a的取值范围为[，1）．故选：A．8.若，则=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求cos（α+）=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.在△ABC中，若A=30°，B=60°，b=，则a等于（）A．3 B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得a的值．【解答】解：△ABC中，∵A=30°，B=60°，b=，由正弦定理可得=，=，∴a=1，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．10.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为

（

）A、 B、 C、 D、参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设i为虚数单位，复数z满足|z|﹣=2+4i（为z的共轭复数），则z=

．参考答案：3+4i．【考点】复数求模．【分析】设z=a+bi，a，b∈R，复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得a，b，进而得到所求复数．【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，复数z满足|z|﹣=2+4i，即为﹣（a﹣bi）=2+4i，可得b=4且﹣a=2，解得a=3，b=4．即有z=3+4i，故答案为：3+4i．12.已知sin(a＋)＋sina＝－，－＜a＜0，则cosa＝

．参考答案：略13.已知，且对于任意的实数有，又，则

。参考答案：2018对于任意的实数有，又，令又，故答案为2018

14.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为________．参考答案：15.若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是______．参考答案：幂函数的图象经过点，设幂函数为常数，，故，故答案为.16.已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为__________．参考答案：略17.已知α是第二象限角，，则sin2α=．参考答案：﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．【解答】解：∵α是第二象限角，，∴cosα=﹣=﹣=﹣，可得：sinα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，.（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；（2）若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足概率.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）设事件，利用古典概型概率公式求满足的概率；（2）利用几何概型的概率公式求满足的概率.【详解】（1）基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个.设事件，则事件包含2个基本事件（1,3），（2,5），所以，即满足的概率是.（2）总的基本事件空间，是一个面积为25的正方形，事件，则事件所包含的基本事件空间是，是一个面积为的多边形，所以，即满足的概率是.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．参考答案：【考点】函数的值域；偶函数；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据偶函数的定义建立恒等式f（﹣x）=f（x）在R上恒成立，从而求出a的值即可；（2）将a=4代入，令f（x）=0然后解对数方程，先求出4x的值，然后利用对数表示出x的值即可．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）即f（﹣x）﹣f（x）=0∴[log2（4﹣x+1）﹣a（﹣x）]﹣[log2（4x+1）﹣ax]=0﹣2x+2ax=0即a=1（2）若a=4，f（x）=log2（4x+1）﹣4x令f（x）=0，log2（4x+1）=4x4x+1=24x（4x）2﹣4x﹣1=0或（舍）∴【点评】本题主要考查了偶函数的性质，以及函数的零点，同时考查了对数方程的求解，属于中档题．20.（12分）已知定义在正实数集R+上的减函数f（x）满足：①f（）=1；②对任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）．（1）若f（x）=﹣2，求x的值；（2）求不等式f（2x）+f（5﹣2x）≥﹣2的解集．参考答案：考点： 抽象函数及其应用．专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析： （1）令x=y=1得f（1）=0，令x=2，y=，求得f（2）=﹣1，再令x=y=2，得到f（4）=﹣2，再由单调性，即可得到x的值；（2）原不等式等价为f[2x?（5﹣2x）]≥f（4），再由函数的单调性，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们，求交集即可．解答： （1）由于对任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），则令x=y=1得，f（1）=2f（1），即f（1）=0，又f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=f（2）+1=0，即有f（2）=﹣1，则f（4）=2f（2）=﹣2，由于f（x）在R+上是单调递减函数，则f（x）=﹣2时，即有x=4；（2）f（2x）+f（5﹣2x）≥﹣2=f（4），即f[2x?（5﹣2x）]≥f（4），又由于f（x）是R+的减函数，则，即，故原不等式的解集为（0，]∪[2，）．点评： 本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及运用：解方程和解不等式，注意定义域的限制，考查运算能力，属于中档题．21.已知函数．（1）求证：是奇函数；（2）判断的单调性，并证明；（3）已知关于t的不等式恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：解：（1）证明：由，得，∵，∴是奇函数；（2）解：的单调减区间为与没有增区间，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∴在上是减函数，同理，在上也是减函数；（3）是奇函数，∴，∴化为，又在上是减函数，∴，∴，即．

22.已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）求函数的单调区间．参考答案：【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函