2024年圆锥曲线复习题含答案解析

2024年高考圆锥曲线复习题%?y2叵.已知椭圆C：—+—=\(6/>/?>0))的离心率e=一■,直线x+V5y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为(1)求椭圆。的方程;(2)过点M(4,0)的直线/交椭圆于4B两个不同的点，且入=愕:喘,求入的取值范围.【分析】(1)求得原点到直线工+遥)，-1=0的距离，运用弦长公式可得儿再由椭圆的离心率公式可得〃，进而得到所求椭圆方程;(2)讨论直线A3的斜率为0,求得M4|,\MB\,可得入；当直线/的斜率不为。时，设直线/：x=my+4,A(xi,yi),B(X2,y2),代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式,化简整理，结合不等式的性质，即可得到所求范围.解：(1)原点到直线"By7=0的距离为仁患日,1所以(一)2+(一)2=b2(/?>0),解得b=l,22又7=%=1-5=1得。=2,%2%2所以椭圆C的方程为丁+y%2所以椭圆C%2所以椭圆C的方程为丁+y2=1;(2)当直线/的斜率为0时，直线/：y=0即x轴,(2)当直线/的斜率为0时，直线/：y=0(2)当直线/的斜率为0时，直线/：y=0即x轴,\MA\^\MB\=S,\MA\^\MB\=n,则入=微声霜82•123'当直线/的斜率不为。时，设直线/：x—my+4,A(xi,yi),B(必>2),(x=my+4彳+y2=i(x=my+4彳+y2=i得(m2+4))2+8my+12=0,(x=my+4彳+y2=i得(m2+4))2+8my+12=0,由△=64/n2-48(m2+4)>0,得小>12,所以yi+”=-8m12m2+4，"[2m2+4>0,显然yi,”同号,/.|AM|+|MB|=Vl+m2(|yi|+|”|)=Vl+m2|—8mm2+4I，\MA\9\MB\=Vl+m2*|^i|*Vl+m2e|y2|=—(1+：),

4+m故入=将魁m2故入=将魁m2+4|2m|_23jm2+l§1m2+l，<1,V/7?>12,Al一一1一一^―mz+l13mz+l12_4V39U<1,13—13kA<3J4a/392故人的取值范围是（二一，-].133【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，考查方程思想，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力..设抛物线C：＞2=2〃%（〃〉0）的焦点为凡点p（4,m）（机〉o）是抛物线。上一点，且|PF|=5.（1）求抛物线C的方程；（2）若A,3为抛物线。上异于P的两点，且如，尸以记点A,5到直线＞=-4的距离分别为。，b,求证：。。为定值.【分析】（1）运用抛物线的性质，即可求解，（2）设直线%的方程（x-4）="y-4）,将直线与抛物线进行联立，可得p=4-4,再结合点A到直线y=-4的距离为〃，可得〃=|4/|,由于％_1_尸3,可用一代入3可求得公臣，即可求解.L1/解：（1）尸（4,m）（m＞0）是抛物线C上一点，|PF|=5,p+4=5,即p=2,••・抛物线。的方程为『=4七（2）证明TP（4,m）是抛物线。上一点，.\m2=16,设A（xi,yi）,B（X2,”），设直线PA的方程（x-4）=t（y-4）,联立直线与抛物线方程—4）,化简整理可得，/-4^+16（?-1）=0,即（y-4）（y-4什4）=0,^.y\=4t-4,•・•点A到直线y=-4的距离分别为a,：.a=\y\-（-4）|=|4力，

144・••用一彳代入3可得丫2=-彳-4,b=\y2-(-4)|=门,4/.ab=|4tx-1=16,即ab为定值.【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了计算能力，需要学生熟练掌握公式，属于中档题.3.已知直线y=x-2与抛物线y=2内相交于A,3两点，满足定点。(4,2),£>(-4,0),M是抛物线上一动点，设直线CM,DM与抛物线的另一个交点分别是E,F.(1)求抛物线的方程；(2)求证：当M点在抛物线上变动时(只要点£、尸存在且不重合)，直线所恒过一个定点；并求出这个定点的坐标.【分析】(1)将直线A3的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，由04与垂直可得数量积为0,可得p的值，进而求出抛物线的方程；(2)设M,E,歹的坐标，由C,M,E三点共线可得EM的坐标的关系，同理可得八M的坐标关系，进而求出直线七b的方程，将E尸的坐标代入即可得到直线£尸恒过的定点的坐标.解：(1)设A(xi,yi),B(x2,”)，联立整理可得：y-20-4〃=0,所以可得yi+”=2p,-4p,进而可得xix2=yiy2+2(yi+y2)+4=-4p+2X2p+4=4,—>—>由OAJ_OB,可得：。4・08=0,即4-4p=0,可得p=l,所以抛物线的方程为：y=2七(2)证明：设M(呼，yo),E(呼，ji),F(呼，”),由由C,M,£三点共线可得,由C,M,由C,M,£三点共线可得,_yp~2

yi2yo2-yo24"

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yi+yo2(y°—2)

y02-8'整理可得：yoy\=2(yo+yi)-8,所以v=与啰，Vo乙同理可得。，M,尸三点共线，”=言，为所以直线的方程：y-y\=(x-xi)=”(x-xi),♦_匕yi+及整理可得：y\y2=y(yi+”)-2%,将yi,”的值代入直线方程可得：(2x-