概率论与数理统计 计算公式

概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式，古典概型几何概型求逆公式，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B)加法公式减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）两个事件相互独立；；；二、随机变量及其分布1、分布函数2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律0–1分布二项分布泊松分布3、续型随机变量及其分布分布名称密度函数密度函数分布函数分布函数均匀分布分布名称指数分布正态分布标准正态分布4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：，连续型：①分布函数法，②公式法三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：分布函数边缘分布律：条件分布律：，2、连续型二维随机变量及其分布①分布函数及性质分布函数：性质：②边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：密度函数：③条件概率密度，3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立，离散型：，连续型：4、二维随机变量和函数的分布离散型：连续型：四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型，连续型②性质：，，，当X、Y相互独立时：2、方差①定义：②性质：，，当X、Y相互独立时：3、协方差与相关系数①协方差：，当X、Y相互独立时：②相关系数：，当X、Y相互独立时：(X,Y不相关)③协方差和相关系数的性质：，，4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布0-1分布数学期望p方差p(1-p)二项分布npnp(1-p)泊松分布均匀分布正态分布指数分布五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若对于任意有2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若相互独立，且，则：②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则，有：③辛钦大数定律：若独立同分布，且，则3、中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量，均值为，方差为，当n充分大时有：②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量，则对任意x有：③近似计算：六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体，则样本的联合分布函数，样本方差：2、统计量样本均值：样本标准差：，样本阶原点距：样本阶中心距：3、三大抽样分布(1)分布：设随机变量且相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记为性质：①②设且相互独立，则(2)分布：设随机变量，且X与Y独立，则称统计量：服从自由度为的分布，记为性质：①②(3)分布：设随机变量，且与独立，则称统计量，性质：设服从第一自由度为m，第二自由度为n的分布，记为七、参数估计，则1.参数估计①定义：用估计总体参数，称为总体的估计值。为的估计量，相应的②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法：基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数，它的前k阶原点矩即中包含了未知参数；又设，为总体X的n个样本值，用样本矩代替，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3.点估计中的极大似然估计的矩估计量。设取自的样本，设或，求法步骤：①似然函数：②取对数：或③解方程：，解得：4.估计量的评价标准估计量的评价标准设为未知参数的估计量。若E(无偏性和）=，则称为的无偏估计量。设有效性是未知参数的两个无偏估计量。若，则称设有效。是的一串估计量，如，有一致性则称为的一致估计量（或相合估计量）。5.单正态总体参数的置信区间估计条件枢轴量分布枢轴量置信水平为的置信区间参数已知未知已知未知八、假设检验1.假设检验的基本概念假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10。基本思想①提出原假设H0；②选择检验统计量；③对于基本步α查表找分位数λ，使，从而定出拒绝域W；骤④由样本观测值计算统计量实测值；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P{拒绝H0|H0为真}=；两类错误第一类错误当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。这时，第二类我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假错误设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：P{接受H0|H1为真}=。两类错人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n误的关