反常积分与含参变量的积分

反常积分与含参变量的积分第一页，共一百二十三页，2022年，8月28日第一节无穷积分&无穷积分收敛与发散的概念&无穷积分与级数&无穷积分的性质&无穷积分的敛散性判别法第二页，共一百二十三页，2022年，8月28日一、无穷限的广义积分第三页，共一百二十三页，2022年，8月28日类似定义第四页，共一百二十三页，2022年，8月28日注：若f(x)的原函数为F(x),无穷积分的牛顿莱布尼兹公式写作第五页，共一百二十三页，2022年，8月28日证第六页，共一百二十三页，2022年，8月28日由函数极限的柯西准则，得定理11.1（Cauchy准则）

二、无穷积分的性质第七页，共一百二十三页，2022年，8月28日性质1第八页，共一百二十三页，2022年，8月28日性质2若f在任何有限区间[a,u]上可积，a<b,

则推论证第九页，共一百二十三页，2022年，8月28日第十页，共一百二十三页，2022年，8月28日性质3若f在任何有限区间[a,u]上可积，且证再由柯西准则，第十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日证毕。绝对收敛的无穷积分必是收敛的，但反之不然。性质4无穷积分有类似的分部积分法和换元法第十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日观察下表：收敛收敛发散发散无穷积分与广义调和级数都收敛，都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.对三、无穷限广义积分与级数的关系第十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日定理

.无穷积分收敛证明提示:级数对任意数列收敛于同一个数，且第十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日四、无穷积分的判别法定理1

注：由于关于上限u是单调递增的

第十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日证：第十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日解第十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日第十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日由定理3（Cauchy判别法）

设f定义于且在任何有限区间上可积，则有：第十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日设f定义于且在任何有限区间[a，u]上可积，且：推论（Cauchy判别法极限形式）第二十页，共一百二十三页，2022年，8月28日例３解反常积分发散．第二十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日例5解反常积分收敛.第二十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日定理

（积分第二中值定理）设函数f在[a,b]上可积，

（i）若函数g在[a,b]上减，

（ii）若函数g在[a,b]上增，

推论设函数f在[a,b]上可积，若g为单调函数，第二十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日推论设函数f在[a,b]上可积，若g为单调函数，证：若g为单调递减函数，则h为非负、递减函数。

第二十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日若g为单调递增函数，只须令

同样可证得。证毕。第二十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理（狄利克雷（Dirichlet)判别法）

证第二十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日又因g为单调函数，

利用积分第二中值定理，根据柯西准则，证得收敛。

第二十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日定理（阿贝尔（Abel）判别法）

证第二十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日由狄利克雷（Dirichlet)判别法，第二十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日解：（1）当p>1时，由比较判别法请同学记忆本题结果。第三十页，共一百二十三页，2022年，8月28日由狄利克雷（Dirichlet)判别法，第三十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日例3证明下列无穷积分都是条件收敛的：解由例1，得条件收敛。由（1），得条件收敛。第三十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日

作业P275.34（2、4、6）

5（2、3）第三十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日第二节瑕积分&瑕积分收敛与发散的概念&瑕积分敛散性判别法第三十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日一、无界函数的广义积分-瑕积分第三十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日第三十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.第三十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日证第三十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。广义积分中的N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。第三十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日如无穷限积分再如瑕积分第四十页，共一百二十三页，2022年，8月28日瑕积分和无穷积分之间的关系式--可以相互转化第四十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日二、瑕积分的性质与收敛判别法一瑕积分的性质假设为函数的瑕点.瑕积的柯西收敛准则:定理11.1收敛即定理11.5收敛第四十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日性质1若和都收敛,为常数,则也收敛,且性质1若和都收敛,为常数,则也收敛,且第四十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日性质2若在任何有限区间上可积,则与同时收敛或同时发散,且有性质2若为的瑕点,则与同时收敛或同时发散,且有第四十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日性质3若在任何有限区间上可积,且有收敛,则亦必收敛,并有性质3若在任何有限区间上可积,且有收敛,则亦必收敛,并有绝对收敛的瑕积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立.称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.第四十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日二比较判别法定理11．2(比较法则)设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,且满足则当收敛时收敛.

(或者,当发散时,必发散).定理11．6(比较法则)设同为两个函数和的瑕点,且在任何区间上可积,且满足则当收敛时收敛.

(或者,当发散时,必发散).第四十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日推论1设定义于且在任何有限区间上可积，则有:(i)当且时收敛;(ii)当且时发散.推论1设定义于且在任何有限区间上可积，则有:(i)当且时收敛;(ii)当且时发散.第四十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日比较法则的极限形式推论2若和都在任何上可积,且则有:(i)当时,与同敛态;(ii)当时，由收敛可推知也收敛;(iii)当时，由发散可推知也发散.推论2若且则有:(i)当时,与同敛态;(ii)当时，由收敛可推知也收敛;(iii)当时，由发散可推知也发散.第四十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日柯西判别法选用作为比较对象推论3设定义于且在任何有限区间上可积,且则有:(i)当时,收敛;(ii)当时,发散.推论3设定义于且在任何有限区间上可积,且则有:(i)当时,收敛;(ii)当时,发散.第四十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日例1讨论下列瑕积分的收敛性:2)2)瑕点为又故发散.第五十页，共一百二十三页，2022年，8月28日三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别一般瑕积分收敛时,也有相应的狄利克雷判别狄利克雷判别法

阿贝尔（Abel）判别法

若在上有界，则收敛．若以a为瑕点的瑕积分收敛，

收敛．只叙述如下．由于证明与无穷积分的类似，法与阿贝尔判别法.故在此当时,单调趋于０,在上单调有界，则第五十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日第五十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日首页×含参量积分：称为格马(Gamma)函数（写作Γ函数）.它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，称为贝塔(Beta)函数（写作B函数）.下面分别讨论这两个函数的收敛域四Γ函数与Β函数第五十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日首页×1、Γ函数1.积分区间为无穷;特点:Γ函数2.当

s-1<0时，x=0为瑕点;写Γ函数为如下两个积分之和：第五十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日首页×当

s≥

1时，为正常积分，当0<s<1时收敛.所以Γ函数在

s>0时收敛.即Γ函数的定义域为s>0

对任何实数

s，都是收敛的，特别当s>0时收敛.第五十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日2、B函数首页×当

p≥

1时，I(p,q)为正常积分，当0<p<1时收敛.当

q≥

1时，J(p,q)为正常积分，当0<q<1时收敛.所以，当p>0,q>0时,B(p,q)收敛.即B(p,q)函数的定义域为p>0,q>0第五十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日第三节含参量积分&含参量有限积分&含参量的无限积分第五十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日§1

含参量正常积分

对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.

一、含参量正常积分的定义返回五、例题四、含参量正常积分的可积性三、含参量正常积分的可微性二、含参量正常积分的连续性第五十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日一、含参量正常积分的定义设是定义在矩形区域上的

定义在上以

y为自变量的一元函数.倘若这时

在上可积,则其积分值

是定义在上的函数.一般地,设为定义在区域二元函数.当

x取上的定值时,函数是第五十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日上的二元函数,其中c(x),d(x)为定义在上的连续函数(图19-1),

若对于上每一固定的

x值,

作为

y的函

第六十页，共一百二十三页，2022年，8月28日数在闭区间

上可积,则其积分值

是定义在上的函数.用积分形式

(1)和

(2)所定义的这函数与通称为定义在上的含参量

x的(正常)积分,

或简称为含参量积分.

第六十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日二、含参量正常积分的连续性定理19.1

()

若二元函数在矩

形区域上连续,则函数在[a,b]上连续.证

设对充分小的(若

x为区间的端点,

则仅考虑),于是

第六十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日由于在有界闭区域

R上连续,从而一致连续,

即对任意总存在对R内任意两点

只要就有所以由(3),(4)可得,第六十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日即I(x)在上连续.同理可证:

若在矩形区域

R上连续,则含参

量的积分

在[c,d]上连续.注1

对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:第六十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日若在矩形区域

R上连续,则对任何

都有

这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.为任意区间.

注2由于连续性是局部性质,

定理19.1中条件第六十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日定理19.2

()

若二元函数在区

域上连续,其

中c(x),d(x)为

上的连续函数,则函数

在上连续.证对积分(6)用换元积分法,令当y在c(x)与d(x)之间取值时,t在[0,1]上取值,且第六十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日所以从(6)式可得由于被积函数在矩形区域上连续,

由定理19.1得积分

(6)所确定的函数F(x)在[a,b]连续.

第六十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日三、含参量正常积分的可微性定理19.3

()若函数

与其偏导

数都在矩形区域

上连续,

则函数

在上可微,且第六十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日证对于内任意一点x,设(若

x为区间的端点,则讨论单侧函数),则由微分学的拉格朗日中值定理及在有界闭

域

R上连续(从而一致连续),对只要

就有第六十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日这就证明了对一切有第七十页，共一百二十三页，2022年，8月28日上连续,c(x),d(x)为定义在上

定理19.4

(的可微性)设在

其值含于[p,q]内的可微函数,则函数在上可微,且第七十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日证把F(x)看作复合函数:由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有第七十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日注由于可微性也是局部性质,定理19.3中条件

f与其中为任意区间.

第七十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:定理19.5

()

若在矩形区域

上连续,则

I(x)与

J(x)分别在和上可积.

这就是说:在连续性假设下,同时存在两个求积顺序不同的积分:与第七十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日为书写简便起见,今后将上述两个积分写作与前者表示先对y求积然后对x求积,后者则表示求积顺序相反.它们统称为累次积分.在连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.定理19.6若在矩形区域上

连续,则

第七十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日证记其中对于则有因为与都在R上连续,由

第七十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日定理19.3,故得因此对一切有当

时,即得取

就得到所要证明的(8)式.第七十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日例5

求解因为又由于函数上满足定理19.6的

第七十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日条件,所以交换积分顺序得到第七十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日首页×例7解:

第八十页，共一百二十三页，2022年，8月28日复习思考题1.

参照定理19.1的证明,定理19.1中条件是否可减弱为:

(1)则

(2)验证你的结论.2.若在上一致连续

,第八十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日能否推得在上一致连续?第八十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日§2含参量反常积分第八十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日设是定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分都收敛,则它的值是在区间上取值的函数,表为称为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称为含参量反常积分.第八十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日由反常积分收敛的定义其中N

与x

有关.如果存在一个与无关的使得该不等式成立，就称反常积分在区间[a,b]上一致收敛使得第八十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日对于含参量反常积分和函数则称含参量反常积分在上一致收敛于.第八十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日注1

由定义,在上一致收敛的充要条件是

注2

由定义,

在上不一致收敛

的充要条件是

第八十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日例1

讨论含参量反常积分的一致收敛性.

解若则

于是第八十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日因此,含参量积分在上非一致收敛.而因此,含参量积分在上一致收敛.第八十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日一致收敛的柯西准则:含参量反常积分在上一致收敛的充要第九十页，共一百二十三页，2022年，8月28日

一致收敛的充要条件;含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数在一致收敛.第九十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若一致收敛。证明因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于第九十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日从而所以关于一致收敛。第九十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日证因为，有并且反常积分收敛所以第九十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日

狄利克雷判别法;证第九十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日于是,

由积分第二中值定理，第九十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日由一致收敛的柯西准则,在上一致收敛.

阿贝尔判别法;第九十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日证因为，反常积分收敛，从而对于参量y

它在[0,d]上一致收敛，函数对每个y，关于变量x

单调减少，且在[0,d]上一致有界：故由阿贝尔判别法，知在[0,d]上一致收敛第九十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日1.连续性定理设在上连续，关于在上一致收敛，则一元函数在上连续。证明因为在内一致收敛，所以因此，当时，第九十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日又在上连续，所以作为的函数在连续，于是从而，当时，有定理证毕。第一百页，共一百二十三页，2022年，8月28日2.积分顺序交换定理设在上连续，关于在上一致收敛，则在可积，并且第一百零一页，共一百二十三页，2022年，8月28日3.积分号下求导的定理设在上连续，收敛，关于在上一致收敛，则在可导，且第一百零二页，共一百二十三页，2022年，8月28日证明因为在连续，由连续性定理在连续，沿区间积分，由积分顺序交换定理，得到在上式两端对求导，得定理证毕。第一百零三页，共一百二十三页，2022年，8月28日连续性即:第一百零四页，共一百二十三页，2022年，8月28日

可微性可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即第一百零五页，共一百二十三页，2022年，8月28日

可积性表明在一致收敛的条件下,积分可交换顺序第一百零六页，共一百二十三页，2022年，8月28日第一百零七页，共一百二十三页，2022年，8月28日(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的判别;一致收敛的柯西准则:一致收敛的充要条件;魏尔斯特拉斯M判别法;第一百零八页，共一百二十三页，2022年，8月28日阿贝耳判别法;狄利克雷判别法;(4),含参量反常积分的性质;(i),连续性;(ii),可微性;(iii),可积性;第一百零九页，共一百二十三页，2022年，8月28日§3

欧拉积分

在本节中我们将讨论由含参量反常积分定义的两个很重要的非初等函数

——一、函数函数二、返回函数和

函数.

三、函数与函数之间的关系

第一百一十页，共一百二十三页，2022年，8月28日一．函数

含参量积分：称为格马函数.

函数可以写成如下两个积分之和：

其中时是正常积分,当时是收敛

的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);

第一百一十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西

判别法推得).所以含参量积分(1)在时收敛,即函数的定义域为.

1.在定义域内连续且有任意阶导数在任何闭区间上,对于函数当

时有由于收

敛,

从而在上也一致收敛,对于当

第一百一十二页，共一百二十三页，2022年