四川省自贡市城北中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

四川省自贡市城北中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，，，则，设，则，两式相减得到：，，，即，，，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.2.设向量满足，，则＝()A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．4.年，我校从国外引进一套新型教学设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费用+年均保养费）．设买该装备总费用为元，前年总保养费用满足．则这种设备最佳使用年限为A．年

B．年

C．年

D．年参考答案：B5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.

B.

C.

D.参考答案：B【知识点】由三视图求面积、体积．BG2

解析：几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，所以体积为,故选B.【思路点拨】几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，用圆柱的体积减去圆锥的体积即可．6.已知等差数列的前项和是,若三点共线,为坐标原点，且(直线不过点)，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知集合A={x|y=lg（5﹣x）}，B={y|y=lg（5﹣x）}，则A∩B=（）A．?? B．R C．（﹣∞，5） D．[0，5]参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】求出y=lg（5﹣x）中x的范围确定出A，求出y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（5﹣x），得到5﹣x＞0，即x＜5，∴A=（﹣∞，5），由B中y=lg（5﹣x），得到y∈R，即B=R，则A∩B=（﹣∞，5），故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.直线分别与曲线，相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A.1 B.2 C. D.参考答案：B【分析】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．【详解】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），∴|AB|＝，令y，则y′1，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x＝1时，函数y的最小值为，∴|AB|＝，其最小值为2.故选：B．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．9.已知所确定的平面区域记为，若圆上的所有点都在区域内，则圆的面积的最大值为A.

B.

C.

D.

参考答案：答案：B10.已知函数f（x）=，若f[f（0）]=a2+4，则实数a=(

) A．0 B．2 C．﹣2 D．0或2参考答案：D考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数的表达式，先求f（0），再求f[f（0）]，解关于a的方程即可．解答： 解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20+1=2，∴f[f（0）]=f（2）=4+2a=a2+4，∴a=0或a=2．故选：D．点评：本题考查分段函数及应用，考查分段函数值，应注意各段的范围，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（﹣1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是

．参考答案：﹣16＜m＜【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】对函数进行求导，令导函数等于0在区间（﹣1，2）上有解，然后建立关系式，解之即可．【解答】解：y′=3x2+2x+m∵函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（﹣1，2）上不是单调函数∴y′=3x2+2x+m=0在区间（﹣1，2）上有解，即△=4﹣12m＞0，f（2）＞0∴﹣16＜m＜．故答案为：﹣16＜m＜．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调．12.过椭圆左焦点且不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于点，则

；参考答案：略13.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是___________．参考答案：

考点：函数性质

【思路点睛】函数单调性的常见的命题角度有：?1?求函数的值域或最值；?2?比较两个函数值或两个自变量的大小；?3?解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内；?4?求参数的取值范围或值.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为

.参考答案：略15.设等比数列的前n项和为=

。参考答案：略16.已知四面体ABCD的顶点都在球O球面上，且球心O在BC上，平面ADC平面

BDC,AD=AC=BD，DAC=90,若四面体ABCD的体积为，则球O的体积为________.参考答案：17.设,则函数的值域是__________.参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，其中．(I)若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值；(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．参考答案：0)………………(1分)

略19.已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx－(ω＞0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．【解答】解：（1）===．因为函数f（x）的最小正周期为π，所以，得ω=1．（2）由（1）可得，f（x）=sin（2x﹣），把函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得．当k=0时，；当k=1时，．所以函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为．20.已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．（Ⅰ）确定与的关系；

（II）若，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）证明：.参考答案：（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴

----------------4分（2）由（1）得∵函数的定义域为①当时，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；②当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增.

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

--------------------9分（3）依题意得，证，即证因，即证.令（），即证（）令（）,则∴在（1，+）上单调递增，∴=0，即（）①再令m(t)=lnt-t+1,=-1<0,m(t)在（1，+∞）递减，∴m(t)<m(1)=0，即lnt<t-1

②

综合①②得（），即．

-----------------14分略21.(本小题满分12分)已知复数,,i为虚数单位).(1)若,且(0,,求与的值;(2)设复数在复平面上对应的向量分别为,若,且,求的最小正周期和单调递减区间.参考答案：解:(1)由,可得,又,∴又,

故或

ks5u(2),由,可得,

又,故

故的最小正周期,

又由Z),可得,故的单调递减区间为22.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。

（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ

（II）求二面角Q-BP