四川省自贡市光第中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

四川省自贡市光第中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在处取极值10，则a=(

)A.4或－3

B.4或－11

C.4

D.－3参考答案：C2.已知a、b、c、p为空间的任意向量，O、A、B、C为空间的任意点，有下列命题①a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb②向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb③若向量{a、b、c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，c}也可构成空间的另一个基底④若OA、OB、OC不构成空间的一个基底，则O、A、B、C一定共面其中真命题的个数是（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略3.的值为

(

)

参考答案：D4.两个集合A与B之差记作“A/B”，定义为：A/B＝{x｜x∈A，且xB}，如果集合A＝

{x｜logx＜1，x∈R}，集合B＝｛x｜｜x－2｜＜1，x∈R｝，那么A/B等于

（

）A.｛x｜x≤1｝

B.｛x|0＜x≤1｝

C.｛x｜1≤x＜2｝D.｛x｜x≥3｝参考答案：B5.圆与圆位置关系是().A.相离

B.相交

C.外切

D.内切参考答案：B略6.复数z=﹣2+2i，则的虚部为(

) A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2参考答案：D考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：首先求出，根据复数的概念求虚部．解答： 解：因为复数z=﹣2+2i，则=﹣2﹣2i，所以的虚部为﹣2；故选：D．点评：本题考查了共轭复数的虚部；熟练掌握复数的有关概念是关键．7.已知函数y=ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为(

)A．4 B． C．2 D．1参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】根据指数函数的性质，可以求出定点，把定点坐标代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，可得定点坐标（1，1），∵定点在一次函数y=mx+n的图象上，∴m+n=1，∵m，n＞0，∴m+n=1≥2，∴mn≤，∴+==≥4（当且仅当n=m=时等号成立），∴+的最小值为4，故选A；【点评】此题主要考查的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型8.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，若，则x+y+z=

(A)

(B)

(C)

(D)1参考答案：C9.设a,b∈R,集合{1，a+b,a}={0,,b}，则b-a=(

)A.1

B.-1

C.2

D.-2参考答案：C10.双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x参考答案：C【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，整理，得y=．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是

参考答案：12.已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则＝．参考答案：13.全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,3}，N＝{1,2}，则?U(M∪N)＝

▲

参考答案：{4,5}略14.椭圆的离心率为，直线l：x﹣y+1=0交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若，则椭圆的方程是．参考答案：x2+4y2=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆的离心率为，故设椭圆方程为，λ＞0，联立，得5x2+8x+4﹣4λ2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，…①，C（0，1），，可得5x2=3x1．…②，把②代入①得λ2【解答】解：∵椭圆的离心率为，∴，设a=2λ，（λ＞0），则c=，b=λ，∴椭圆方程为，λ＞0，联立，得5x2+8x+4﹣4λ2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，…①，C（0，1），∵，∴5x2=3x1．…②，把②代入①得λ2=，可得x2+4y2=1．故答案为：x2+4y2=1．15.直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线、与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为____________．参考答案：

16.或.16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则△ABC的周长为__________．参考答案：由题意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周长为.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

17.双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】由双曲线渐近线的方程可知，=，离心率e=，从而利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，∴=，又离心率e=，∴e2=1+=4，∴===+≥2=2=．即的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查基本不等式，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，，，且DB平分，E为PC的中点，,（Ⅰ）证明

（Ⅱ）证明（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

参考答案：（Ⅰ）设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又由题设，E为PC的中点，故,又,所以（Ⅱ）因为，，所以由（Ⅰ）知，,故(Ⅲ)由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。由,在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。略19.已知函数图像上的点处的切线方程为．（1）若函数在时有极值，求的表达式；（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.参考答案：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，2分因为函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，1分

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1.2分(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0解得a＝－2，b＝4，c＝－35分所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.6分(2)因为函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分则，得b≥4，10分所以实数b的取值范围为[4＋∞)

略20.已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：（1）l在x轴、y轴上的截距之和等于0；（2）l与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．参考答案：【考点】直线的一般式方程．【分析】本题（1）分类写出直线的方程，根据要求条件参数的值；（2）写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：（1）①当直线l经过原点时在x轴、y轴上的截距之和等于0，此时直线l的方程为，②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为∵P（2，3）在直线l上，∴，a=﹣1，即x﹣y+1=0．综上所述直线l的方程为3x﹣2y=0或x﹣y+1=0．（2）设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为∵P（2，3）在直线l上，∴．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为16，可得ab=32，∴a=8，b=4或．∴直线l的方程为或．综上所述直线l的方程为x+2y﹣8=0或9x+2y﹣24=0．21.（本题满分14分）已知椭圆:长轴长是短轴长的倍，且经过点,直线与椭圆交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆与轴相交，求实数的取值范围；（3）设是圆上的动点，当变化时，求的最大值．参考答案：

解：（1）依题意得：，

-----1分

且经过点

所以

--------3分

即椭圆的方程为．

--------4分（2）由题意知．

，

--------5分

所以圆的半径为．

----------6分

因为圆与轴相交，且圆心到轴的距离，

----------7分

所以，

即实数的取值范围．

-----------8分（3）圆的的方程为．因为点在圆上，所以．

-----------9分因为，

----------10分故只需求的最大值．

-----------11分（时，等号成立）．

--------12分