四川省绵阳市老马乡中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析

四川省绵阳市老马乡中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3

【答案解析】B

解析：向量，，∵===3．===．=+﹣9=9+2﹣9×=8．∴cosβ===．故选：B．【思路点拨】利用数量积的运算性质即可得出．2.复数，则在复平面上对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D3.已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M（1，m）（m>0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为 A．（x－1）2+（y－4）2=1 B．（x－1）2+（y+4）2=1

C．（x－l）2+（y－4）2=16 D．（x－1）2+（y+4）2=16参考答案：A抛物线的焦点为，准线方程为，所以，解得，即抛物线为，又，所以，即，所以半径为1，所以圆的方程为，选A.4.若是锐角，且cos（）=﹣，则sin的值等于（）A．B．C．D．参考答案：B5.设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A6.函数的定义域为A.

B．(2，＋∞)

C.∪(2，＋∞)

D.∪[2，＋∞)参考答案：C7.已知，则复数z=（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴=（1+i）（2+i）=1+3i．则复数z=1﹣3i．故选：A．8.“”是“复数（）为纯虚数”的

（

）A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A：为纯虚数，则＝0，，所以，反之也成立.9.为虚数单位，复平面内表示复数的点在

(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参考答案：C10.已知命题命题,则下列命题中为真命题的是:（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列（）满足，则=_____________.参考答案：12.有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少?”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第一日读的字数为

．

参考答案：495513.设变量满足约束条件:,则的最小值

参考答案：-814.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是

参考答案：15.在等比数列中，若，，则公比__________，当__________时，的前项积最大．参考答案：，在等比数列中，，，设前项积为．，，∵此等比数列各项均为负数，当为偶数时，为正，故当取最大值时为偶数．设当时，取得最大值，，∵，∴，∴，整理后：，又∵，∴，解出，∵，∴，故取时，取得最大值．16.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________．参考答案：9作可行域，则直线z=x+y过点A(5,4)时取最大值9.

17.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的侧面积为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）

已知函数（）.

（1）若，试确定函数的单调区间；

（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.

（3）若，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）解：当时，，所以，

由，解得，

由，解得或，

所以函数的单调增区间为，减区间为和.

（Ⅱ）解：因为，

由题意得：对任意恒成立，

即对任意恒成立，

设，所以，

所以当时，有最大值为，

因为对任意，恒成立，

所以，解得或，

所以，实数的取值范围为或.

（III）.19.某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P．（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．利用“超几何分布列”即可得出．【解答】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．P（X=5a）===，P（X=6a）===，P（X=7a）===，P（X=8a）===．X5a6a7a8aP

E（X）=5a×+6a×+7a×+8a×=a．20.如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点．（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；（2）求证：CN∥平面AMB1．参考答案：.证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴AA1⊥CN，∵AC=BC，N是棱AB的中点，∴CN⊥AB，∵AA1∩AB=A，AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，∴CN⊥平面ABB1A1…………7分（2）取AB1的中点P，连结NP、MP．∵P、N分别是棱AB1、AB的中点，∴NP∥BB1且NP=BB1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱CC1的中点，且CC1∥BB1，CC1=BB1，∴CM∥BB1，且CM=BB1，∴CM∥NP，CM=NP．∴四边形CNPM是平行四边形，∴CN∥MP．∵CN平面AMB1，MP?平面AMB1，∴CN∥平面AMB1．…………14分21.在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图所示的五棱锥，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.参考答案：（1）因为点分别是边的中点，所有，因为菱形的对角线互相垂直，所以，故.翻折后即有因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）分别延长和相交于点，连，设，连接，∵∴为等边三角形.∴，，，，在中，，在中，，∴，∵，∴平面，又，∴平面，过点做，连，则为平面与平面所成二面角的平面角.在中，，，，∴，∴，∴.22.已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．参考答案：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得.…2分于是当直线与轴垂直时，，解得.

………3分所以抛物线的方程为.

………………4分（2）因为抛物线的准线方程为，所以.

………5分设直线的方程为，联立消