四川省绵阳市吴家中学2022年高三数学理期末试题含解析

四川省绵阳市吴家中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（A）

（B）2

（C）

（D）参考答案：C2.若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数满足，则下列不等式一定成立的是（）。A．

B．

C．

D．.参考答案：A知识点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．解析：解：令，则；

又∵，∴；∴函数在上是增函数．

又∵，∴，即，∴．

故选：A.思路点拨：构造，求，利用利用导数判定g（x）的单调性，可以得出结论．3.下列说法错误的是

(A)在线性回归模型中，相关指数取值越大，模型的拟合效果越好(B)对于具有相关关系的两个变量，相关系数r的绝对值越大，表明它们的线性相关性越强(C)命题“．使得”的否定是“，均有”(D)命题-若x=y，则sin.r=siny”的逆否命题为真命题参考答案：C略4.已知f（1+logax）=．若f（4）=3，则a=（）A． B． C． D．2参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数的解析式，转化为方程组，求解即可．【解答】解：f（1+logax）=．f（4）=3，可得：，解得x=2，a=，故选：C．5.抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点则的最小值是（

）．A．

B． C． D．参考答案：B6.设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A?B C．A?B D．A∩B=?参考答案：C【考点】15：集合的表示法．【分析】化简集合A，即可得出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A?B．故选：C．7..若函数为奇函数，，则不等式的解集为（）A．

B．

C.

D．参考答案：B8.若α为第二象限角，则()．A．1

B．0

C．2

D．－2参考答案：C9.已知，则（

）A． B．

C．

D．参考答案：B略10.若的值(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．专题：计算题．分析：利用诱导公式求得cos（α+）=，利用二倍角的余弦公式求得的值．解答： 解：∵，∴cos（α+）=sin=．∴=cos2（α+）=2﹣1=，故选A．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若，A＋C＝2B，则sinA＝＿＿＿＿参考答案：12.已知函数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___．参考答案：由题意可得，且，由于，所以当时，，函数在上单调递增，则，所以，故，即，应填答案。点睛：解答本题的关键是借助等价转化的数学思想，先将问题等价转化为求函数在区间的最大值和最小值的问题。然后运用导数的知识先求函数的导数，在借助函数的单调性求出其最大值和最小值，从而使得问题获解。13.（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是

．参考答案：（1，）考点： 二次函数的性质．专题： 作图题；压轴题；数形结合．分析： 在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．解答： 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）点评： 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．14.已知方程有四个根，则实数的取值范围是

▲

.参考答案：15.如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

．参考答案：4【知识点】选修4-1

几何证明选讲N1连接OC，BE，如下图所示：

则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°

又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC

故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4【思路点拨】连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．16.已知函数，若，且，则

▲

．参考答案：2略17.设变量满足约束条件，则的最小值是

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥2； （Ⅱ）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】计算题；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|=，解不等式f（x）≥2即可求得答案； （Ⅱ）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则F（x）=函数先单调递减，再单调增，从而可得实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|=， 而f（x）≥2，解得x≤或x≥． （Ⅱ）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则F（x）= ∵y=F（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在[1，a）∪[a，+∞）上单调递增， ∴当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1， ∴a﹣1≥1，解得a≥2， ∴实数a的取值范围为[2，+∞）． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查运算求解能力，属于中档题． 19.已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)若(为坐标原点)，求的值；(3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：解(1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，

故圆与轴交与两点，.所以，在椭圆中或，又，所以，或(舍去，∵),于是，椭圆的方程为.（3分）

(2)设，；直线与椭圆方程联立,

化简并整理得.∴，,∴，.∵，∴,即得

∴，，即为定值（7分）

(3)∵，,∴直线的方程为.令，则

,

∴

当且仅当即时等号成立.故的面积存在最大值.(或:,

令，

则.

当且仅当时等号成立，此时.故的面积存在最大值.解法二：.点到直线的距离是.

所以，.令，

,当且仅当时，此时,故的面积存在最大值，其最大值为.（12分）略20.(本题满分12分）已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD^平面ABCD，PD=8(1)连接PB、AC，证明：PB^AC(2)连接PA，求PA与平面PBD所成的角的大小(3)求点D到平面PAC的距离。参考答案：(1)证明：连接BD，在正方形ABCD中，AC^BD，又PD^平面ABCD，所以，PD^AC，所以AC^平面PBD，故PB^AC。(2)解：因为AC^平面PBD，设AC与BD交于O，连接PO，则DAPO就是PA与平面PBD所成的角在DAPO中，AO=3，AP=10所以sinDAPO=DAPO=arcsinPA与平面PBD所成的角的大小为arcsin(3)解：连接PC，设点D到平面PAC的距离为h，则有VD–PAC=VP–ACD，即：′SDPAC′h=′PD′AD′DC在DPAC中，显然PO^AC，PO=h=所以点D到平面PAC的距离为21.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|的最大值．参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转化．（2）利用极径对三角函数关系式进行恒等变换，利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-2）2=4．①将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①，化简得：ρ=4sinθ，即C1的极坐标方程为ρ=4sinθ；将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入C2的方程（x-1）2+（y-1）2=2，得ρ=2cosθ+2sinθ，化简得，即C2的极坐标方程为；（2）由极径的几何意义，|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinβ-2cosβ-2sinβ|=，当时，，所以：|AB|的最大值为．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最值问题，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.

请你设计一个LED霓虹灯灯箱．现有一批LED霓

虹灯灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的

正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆

心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹