四川省南充市芭蕉乡中学2023年高三数学文测试题含解析

四川省南充市芭蕉乡中学2023年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的展开式中的系数等于A.-48

B.48

C.234

D.432参考答案：B所以展开式中的系数为.选B.2.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（

）A.③④ B.①② C.②④ D.①③④参考答案：A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.3.已知函数的最小正周期为π，f（x）的图象向左平移个单位后关于直线x=0对称，则的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．C． D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得的单调递增区间．【解答】解：∵函数的最小正周期为=π，∴ω=2．f（x）的图象向左平移个单位后，得到y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，根据所得图象关于直线x=0对称，可得函数y=sin（2x++φ）为偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，故φ=﹣，所得函数的解析式为y=sin（2x+﹣）=cos2x．则=cos2（x+）+cos2（x﹣）=cos（2x+）+cos（2x﹣）=cos（2x+）+sin[（2x﹣）+]=cos（2x+）+sin（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，故选：A．4.的值为A．

B.

C.

D.参考答案：D5.为定义在上奇函数，时，，则（

）A

3

B

1

C

-1

D

-3

参考答案：D6.设p：f（x）=x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数求导，由f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增，可得f'（x）≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，从而可求m的取值范围，即可判断【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+4x+m∵f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增，则f'（x）≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立．即3x2+4x+m≥0恒成立从而△=16﹣12m≤0∴当f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞内单调递增，故选B．7.已知抛物线人的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为，则等于

A.

B.

C.1

D2参考答案：8.设为双曲线：（，）的右焦点，，若直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B9.（5分）已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8D．24参考答案：C【考点】：基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．【点评】：本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式，属于中档题．10.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为

A．

B．

C．3

D.

4参考答案：B．由及图象知：得，由知，由图象知，即，得，又为正整数，故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知过点的直线交抛物线于A、B两点，直线OA、OB（O为坐标原点）分别交直线于点M、N，则以MN为直径的圆截x轴所得的弦长为______.参考答案：【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出点、的坐标，求出圆心的坐标以及，利用勾股定理可计算出圆截轴所得的弦长.【详解】设点、，设直线的方程为，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，直线的方程为，联立，得点，同理可得点，设以为直径的圆的圆心为，则，所以，圆心为，，圆的半径为，因此，以为直径的圆截轴所得的弦长为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了直线截圆所得弦长的计算，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.12.设数列{an}满足：a1=1，an=e2an+1（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为．参考答案：﹣【考点】数列递推式．【分析】a1=1，an=e2an+1（n∈N*），可得an=e﹣2（n﹣1）.﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=的单调性，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵a1=1，an=e2an+1（n∈N*），∴an=e﹣2（n﹣1）．﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）?，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，∴h（x）min=h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）min=f（3）=﹣．故答案为：﹣．13.函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．参考答案：2略14.设为锐角，若，则的值为

．参考答案：略15.若双曲线的渐近线方程为y=x，则双曲线的焦点坐标是．参考答案：（）

【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，m=3．由此可以求出双曲线的焦点坐标．【解答】解：由题意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（）．故答案：（）．16.已知函数在处取得极值，且函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为

.参考答案：17.设定义在上的奇函数，满足，且时，，则的值是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．参考答案：考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解答： 解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．19.已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．参考答案：考点： 参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题： 选作题；坐标系和参数方程．分析： （1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答： 解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评： 本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．20.

已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中

抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在之内）作为样本（样

本容量为n）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直

方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础

知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．参考答案：（Ⅰ），，；（Ⅱ）.考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【易错点睛】本题主要考查了频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．21.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，当时，△MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．参考答案：（1）（2）为定值，详见解析【分析】(1)根据菱形的面积和焦点建立方程组，解方程组可得；(2)先求弦长和三角形的高，再求面积的表达式，求出定值.【详解】解：（1）由题意可知，，

圆的圆心为，所以，

因此，联立，解之，故椭圆的方程为.（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，由，消可得，则有，即，，所以.

点到直线的距离，所以.

又因为，所以，化简可得，满足，代入，当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设，则点的坐标分别为,此时，综上，的面积为定值.

法二：设，由题意，可得，所以，

而

因为，所以，故为定值.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和定值问题，侧重考查数学运算的核心素养.22.（本题满分14分）设是抛物线上相异两点，到y轴的距离的积为且．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．参考答案：解：（1）∵·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，--------------------------1分又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2--------------------------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:------------5分（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a 联立方程组消去x得y2－2my－2a＝0∴