弯曲内力-第四章

材料力学第四章弯曲内力2第四章弯曲内力§4-1弯曲的概念和实例§4-2梁的支座和载荷的简化§4-3剪力和弯矩§4-4剪力和弯矩方程剪力图和弯矩图§4-5剪力图和弯矩图的简便画法§4-6平面刚架和曲杆的内力习题解答3§4-1弯曲的概念和实例4起重机大梁5车削工件6火车轮轴7外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.受力特征:变形特征:变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.qFFRFRqFFRFRFF以弯曲变形为主的杆件通常称为梁8常见弯曲构件的横截面类型9平面弯曲具有纵向对称面外力都作用在纵向对称面内,垂直于轴线弯曲变形后轴线变成对称面内的一条平面曲线10§4-2梁的支座和载荷的简化载荷

FMeq(x)集中载荷分布力集中力偶支座的类型

固定铰支座活动铰支座固定端集中力11静定梁的基本形式FMeq(x)简支梁FMeq(x)外伸梁FMeq(x)悬臂梁静定梁12火车轮轴简化简化的实例

梁的简化：用梁的轴线代替杆件本身。FF13被车削工件的简化14吊车大梁简化FFq均匀分布载荷简称均布载荷15§4-3剪力和弯矩F1F2F3ABxyFByFAy梁横截面上的内力截面法xmmxymmF1aFAyxFNFSMCFS剪力，平行于横截面的内力的合力。M弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。剪力和弯矩合称为梁横截面上的内力。FSM无16内力符号规定取左段与取右段所得结果等值反向！按变形左上右下错动趋势“+”左下右上错动趋势“-”“FS”mmmmFFFF若外力对截面中心取矩为顺时针方向，则引起的剪力为正；反之为负。顺为正，逆为负按外力：17按变形“M”mmmm凹向上“+”凹向下“-”按外力（包括外力和外力偶）FFFFmmmm截面左侧的外力对截面中心取矩为顺时针，截面右侧的外力对截面中心取矩为逆时针，则引起的弯矩为正；反之为负。左顺右逆为正，反之为负18某一截面剪力和弯矩的计算简便方法某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力（外力和外力偶）引起内力的代数和顺为正；逆为负左顺右逆为正；反之为负每一个外力引起剪力的大小等于该外力，符号按如下规定确定：每一外力（包括力偶）引起弯矩的大小等于外力或外力偶对截面中心的矩，符号按如下规定确定：19例4－1、求下图1-1、2-2、3-3、4-4、5-5的FS、M值。qABCD12345aaaa/2解：1、外力分析FyCFyD2、内力分析1-1截面FS1M1某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力引起内力的代数和202-2截面3-3截面qABCD12345aaaa/2FyCqABCD12345aaaa/2FyC214-4截面qABCD12345aaaa/2FyDqABCD12345aaaa/2FyD5-5截面22例4－2、下图悬臂梁1-1、2-2截面上的FS、M值。ABC1122q0aa解：1、外力分析2、内力分析1-1截面2-2截面ABC1122q0aa23课堂练习：计算梁中1-1与2-2截面内力。AB112aLb2FAFB某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力引起内力的代数和24计算梁中1-1与2-2截面内力。AB122ab1解：1-1截面2-2截面25§4-4剪力和弯矩方程剪力图和弯矩图1、剪力方程2、弯矩方程FS=FS(x)M=M(x)表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律的函数，分别称作剪力方程和弯矩方程。一、剪力方程和弯矩方程

26弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧二、剪力图和弯矩图剪力图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFs(x)FS

图的坐标系OM

图的坐标系xOM(x)27例4－3、如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。ABl解:(1)

将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程和弯矩方程集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点或终点为分段点xFSxFxMFl对应于无均布载荷作用的梁，剪力图为平直线，弯矩图为斜直线28列剪力方程和弯矩方程，并利用剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图的步骤；1、求支反力；悬臂梁一般不必求支反力2、找出分段点将梁分段；集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点或终点为分段点。3、取好坐标原点，写出每一段的剪力方程及弯矩方程；写某一段的剪力方程及弯矩方程，只需在这一段任取一截面，假设该截面到坐标原点的距离为x，写出这个截面的剪力和弯矩就是这一段的剪力方程及弯矩方程。4、根据剪力方程及弯矩方程画剪力图和弯矩图。29例题4－4、图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.lqAB解：(1)求支反力FBFA(2)列剪力方程和弯矩方程x30lqAB剪力图为一倾斜直线绘出剪力图.x=0处，x=l处,ql/2+FSx31lqAB弯矩图为一条二次抛物线。由令得驻点弯矩的极值绘出弯矩图+l/2xM32由图可见，对应于作用有均布载荷的梁，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线剪力等于零的截面，弯矩取最大值lqAB33例4－5、图示的简支梁在C点处受集中荷载F作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。解：求梁的支反力集中力作用点C为分段点，必须分段写剪力方程和弯矩方程。ABalbC将坐标原点取在梁的左端FAFB

AC段x34ABalbCFAFBCB段x由(1),(3)两式可知,AC,CB两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线FSx++35ABalbCFAFB由(2),(4)式可知,AC,CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线。+xM36ABalbCFAFBFSx++在集中荷载作用处的左，右两侧截面上剪力值(图)有突变，突变值等于集中荷载F。+xM弯矩图形成尖角，该处弯矩取极值。37FAABalbCm例4－6、图示的简支梁在C点处受矩为m的集中力偶作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图.解：求梁的支反力FB将坐标原点取在梁的左端因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程

x+FSx可见，梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。绘出剪力图38AC段和BC段的弯矩方程不同ABalbCmAC段

xCB段xFAFB两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。AC段CB段+xM39梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化。40例4－7、一简支梁受移动荷载F的作用如图所示，试求梁的最大弯矩为极大时荷载F的位置。xABl解:先设F在距左支座A为x的任意位置C。FAFB令当移动荷载F在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。最大弯矩值41

以下各梁应分几段列弯矩方程及剪力方程ABCABCDABEFCDGH

若仅列剪力方程，应分几段

列剪力方程时，集中力偶作用点不是分段点42§4-5剪力图和弯矩图的简便画法xyF1F2ABMexdxCdxq(x)

略去二阶微量后得：43几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小。（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。载荷集度、剪力和弯矩微分关系：44q图FS图水平直线M图斜直线斜直线抛物线抛物线立方抛物线三图形状口诀：0—平—斜—抛—抛451）两截面的剪力之差等于两截面之间的载荷图的面积2）两截面的弯矩之差等于两截面之间的剪力图的面积载荷集度、剪力和弯矩积分关系：46集中载荷FS图M图FFFF有转折有转折mm无变化m无变化m从左到右，集中力作用处，剪力图有突变，突变幅度为集中力的大小，突变方向与集中力方向一致。弯矩图在该处为尖点。

从左到右，集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变幅度为集中力偶的大小，力偶顺时针向上突变，反之向下突变。剪力图在该点没有变化。

弯矩图为抛物线时，极值出现在剪力等于零处47载荷、剪力和弯矩之间关系绘制剪力图与弯矩图的方法1、外力分析（求约束反力）；约束反力的方向为实际方向2、建立FS一x和M一x坐标系；3、找出分段点将梁分段；对应每一段，根据载荷集度、剪力及弯矩之间的微分关系（0—平—斜—抛—抛），确定剪力图及弯矩图的形状；4、对应每一段，确定相应控制面的剪力值或弯矩值，并在坐标系中描点；分段点左右两侧面均为控制面5、根据剪力图及弯矩图的形状连线画出剪力图及弯矩图。控制面上的剪力或弯矩可根据集中载荷与剪力和弯矩之间的关系，截面法或积分关系求得48例4-8、试作梁的FS、M图解：外力分析建立坐标系并根据微分关系画图FSx+-xM+ABllCFAFB左端左截面，右端右截面的内力为零49例4-9、试作悬臂梁的FS、M图。ACBaa解：外力分析建立坐标系并根据微分关系画图FSx-xM-50例4-10、简支梁受力如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：外力分析FAFB建立坐标系并根据微分关系画图xFS(kN)O0.891.11(-)(+)xM(kN.m)O1.665(-)1.3350.335AB1.5m1kN.m2kN1.5m1.5mCD51例4-11、试画出梁剪力图和弯矩图。

AB4aaCFA解：外力分析FB从A截面左侧开始画剪力图

FSx-+52AB4aaCFAFBFSx-+从A截面左侧开始画弯矩图xM+53例4-12、试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开xFS(kN)Oqa/2qa/2qa(-)(+)(+)xM(kN.m)Oqa2/2qa2/2(-)(-)中间铰处弯矩等于零DaACBqaaaFBFA54课堂练习1ABaLbC

AC段CB段xFSO+xMO+FAFB55课堂练习2ABabm=FaC

剪力方程

AC段CB段弯矩方程xFSOxMO56课堂练习3

AC段CB段ABaam=3FaCxFSOxMO+FBFA57课堂练习420kNA40kN.m1mB10kN/m4m35kN25kNC

AC段AB段xFSO+1.5mxMO58课堂练习5AB2m1mCD9q/43q/4

AC段CB段xFSO++3/4xMO+59课堂练习6ABaDCaa

AC段

CB段BD段xFSO++xMO60（+）解：1)作FS图例4-13已知M图，试作FS图和载荷图。2)载荷图利用微分关系AC段：M图平直线FS=0Mc-MA=0CD段：M图斜直线FS=-4/2MD-MC=-4FS图平直线DB段：M图斜直线FS=3/1=3MB-MD=3FS图平直线AC段：M图平直线A端有集中力偶C点：FS图向下突变C点有集中力同理分析D、B两点。OFsx（-）2KN3KN1kN.m2KN5KN3KN61

例4-14、已知简支梁的剪力图。作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解(1)画荷载图q=2kN18kN14kN20kN62(2)弯矩图abcd18kN2kN14kN3m3m6m+48kN.m54kN.m+OMxq=2kN18kN14kN20kN631、平面刚架某些机器的