吉林省长春市市第二实验中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析

吉林省长春市市第二实验中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果关于x的不等式（a﹣2）x+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）参考答案：C【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；转化思想；判别式法；函数的性质及应用．【分析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解．【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，当a=2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立；当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则，解得：﹣2＜a＜2．综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了不等式恒成立和系数之间的关系，是中档题．2.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（） A．1﹣log20132012 B．﹣1 C．﹣log20132012 D．1参考答案：B考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．专题： 计算题；导数的概念及应用．分析： 先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为xn，再求相应的函数值．解答： 解：∵函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=xn+1，∴y′=（n+1）xn，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=xn+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为xn=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选B．点评： 本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．4.已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（

）

A．2

B．3

C．4

D．6[参考答案：C5.已知等差数列的前n项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论：①数列是递减数列；

②

数列是递减数列；③

数列的最大项是；④

数列的最小的正数是．其中正确的结论的个数是（

）A．0个

B．1个

C．2个D．3个参考答案：D6.若直线与互相平行，则的值是（

）A.-3

B.2

C.-3或2

D.3或-2参考答案：A略7.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得

（）A．当n=6时该命题不成立

B．当n=6时该命题成立C．当n=8时该命题不成立

D．当n=8时该命题成立参考答案：A略8.对抛物线，下列描述正确的是（

）A开口向上，焦点为 B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为 D开口向右，焦点为参考答案：B9.已知数列是公比为2的等比数列，若，则=(

)A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B10.“sinx=”是“x=”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若x=满足sinx=，但x=不成立，即充分性不成立，若x=，则sinx=成立，即必要性成立，故“sinx=”是“x=”的必要不充分条件，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则1<t<4;

②若C为双曲线，则t>4或t<1； ③曲线C不可能是圆；

④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则. 其中真命题的序号为

（把所有正确命题的序号都填在横线上）.参考答案：②略12.P为所在平面外的一点，PA=PB=PC，则P在平面ABC上的射影O为的______心参考答案：外心13.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，那么cosC的值为．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理可得6a=4b=3c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=4：3：2，∴由正弦定理可得a：b：c=4：3：2，可得：a=，c=，由余弦定理可得cosC===．故答案为：．14.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则

．参考答案：由正弦定理和椭圆的定义可知15.动圆的方程是，则圆心的轨迹方程是 。参考答案：16.已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m?n≠0），若∥，则=

．参考答案：2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理用和表示和，由向量的共线可得=λ，代入比较系数可得．【解答】解：由题意可得==n﹣m，====，∵∥，∴?λ∈R，使=λ，即n﹣m=λ（），比较系数可得n=λ，﹣m=λ，解得=2故答案为：2【点评】本题考查向量的平行于共线，涉及平面向量基本定理，属基础题．17.=__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数，，实数m为常数.（I）求的最大值；（II）讨论方程的实数根的个数.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）直接对函数进行求导，研究函数的单调性，求最大值；（Ⅱ）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与轴的交点个数.【详解】（Ⅰ）的导数为.在区间，，是增函数；在区间上，，是减函数.所以的最大值是.（Ⅱ），方程的实数根个数，等价于函数的零点个数..在区间上，，是减函数；在区间上，，是增函数.在处取得最小值.①当时，，没有零点；②当时，有唯一的零点；③当时，在区间上，是增函数，并且.，所以在区间上有唯一零点；在区间上，是减函数，并且，，所以在区间上有唯一零点.综上所述，当时，原方程没有实数根；当时，原方程有唯一的实数根；当时，原方程有两个不等的实数根.【点睛】在使用零点存在定理时，证明在某个区间只有唯一的零点，一定要证明函数在该区间是单调的，且两个端点处的函数值相乘小于0；本题对数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等进行综合考查，对解决问题的综合能力要求较高.19.（本小题满分12分）函数，（1）若，解不等式；（2）如果对时都成立，求a的取值范围参考答案：解：

,…………5分

若，，的最小值为；……………8分若，，的最小值为。……………11分所以对于，的充要条件是，从而a的取值范是。…………………12分略20.已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.（1）若，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程.参考答案：（1）设，由条件可知，所以，解之得：，，故所求点P的坐标为或（2）设直线CD的方程为：，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得：或.故所求直线CD的方程为：或.

21.小明去上海参加科技创新大赛，只能选择飞机、轮船、火车、汽车这四种交通工具中的一种，已知他乘坐飞机、轮船、火车、汽车的概率分别为0.2、0.3、0.4、0.1．（1）求小明乘火车或飞机的概率．（2）求小明不乘轮船的概率．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用互斥