吉林省长春市九台市第一中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

吉林省长春市九台市第一中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列

命题中，逆命题不成立的是A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b?α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c参考答案：B当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.2.若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数m的取值范围为 A． B． C． D．参考答案：A3.已知，那么等于

A.

B.

C.

D.参考答案：D由，得，即，解得，所以，选D.4.已知i是虚数单位，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A因为时，，即充分性成立，时，可能，所以必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A．

5.在中，角A、B、C的对边分别为，且满足，则角B的大小为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知抛物线，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为A．

B．

C．

D．参考答案：.试题分析：由题意知，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程可得：，解之得：，，所以，而原点到直线的距离为，所以，故应选.考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；7.如图，AB是半圆O的直径，C，D是孤AB的三等分点，M、N是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是A．2 B．5

C．26

D．29参考答案：C8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多参考答案：D【分析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,互联网行业从业人员中后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B,互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的，所以该选项正确；对于选项C,互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，比前多，所以该选项正确.对于选项D,互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数后不一定比后多.所以该选项不一定正确.故选：D【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.定义在R上的函数满足，对任意，都有，非零实数a，b满足，则下列关系式中正确的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先构造函数，易得为偶函数，且在上单调递减，然后将不等式等价转化我，得，即，得出选项.【详解】解：记，则因为当时，，所以在上单调递减又因为，所以为偶函数因为所以，即故选：D.【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的应用，结合条件特点巧妙构造函数是解题关键.10.设函数，则()（A）在单调递增，其图象关于直线对称（B）在单调递增，其图象关于直线对称（C）在单调递减，其图象关于直线对称（D）在单调递减，其图象关于直线对称参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为

．参考答案：﹣1【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题．【分析】由题意得求出函数的导数f′（x）=+1，因为函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，所以f′（1）=0进而可以求出答案．【解答】解：由题意得f′（x）=+1因为函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，即a+1=0，所以a=﹣1．故答案为﹣1．【点评】解决此类问题的关键是熟悉导数的作用即判断单调性，求极值，求切线方程等，解题时要正确利用公式求函数的导数．12.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，，其中____________.参考答案：因为E和F分别是边CD和BC的中点，所以,又，所用,又,所以，即，所以，所以.13.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为

。参考答案：

14.若表示不超过x的最大整数（如：等等），则

．参考答案：2017所以，因此2017

15.已知一个样本，其标准差，另一样本，其标准差为．参考答案：16.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是

.参考答案：0617.在△ABC中，AB=4，AC=6，且，则BC= ．参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前n项和为且．（Ⅰ）求表达式；

（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，，前n项和为，（恒成立，求的取值范围．参考答案：解:（Ⅰ）的解集有且只有一个元素，当时，函数上递减，故存在，使得不等式成立；当时，函数上递增，∴不存在，使得不等式成立．综上所述：得，

………4分（II）由（Ⅰ）可知，当n=1时，当时，∴

………………7分（Ⅲ），∴

，当

]

=，对恒成立，可转化为：对于恒成立，=是关于n的增函数，∴当n=2时，其取得最小值18，∴m<18

………………12分

19.（本小题满分12分）已知函数，直线与曲线切于点且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1））．（I）求a，b的值和直线的方程．（II）证明：参考答案：（Ⅰ）f’（x）＝aex＋2x，g’（x）＝cos＋b，f（0）＝a，f’（0）＝a，g（1）＝1＋b，g’（1）＝b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为y＝ax＋a，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线为y＝b（x－1）＋1＋b，即y＝bx＋1．依题意，有a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝ex＋x2，g（x）＝sin＋x． …5分设F（x）＝f（x）－（x＋1）＝ex＋x2－x－1，则F’（x）＝ex＋2x－1，当x∈（－∞，0）时，F’（x）＜F’（0）＝0；当x∈（0，＋∞）时，F’（x）＞F’（0）＝0．F（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增，故F（x）≥F（0）＝0． …8分设G（x）＝x＋1－g（x）＝1－sin，则G（x）≥0，当且仅当x＝4k＋1（k∈Z）时等号成立． …10分由上可知，f（x）≥x＋1≥g（x），且两个等号不同时成立，因此f（x）＞g（x）． …12分20.（本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；

(2)若cosB=，,求的面积.参考答案：（Ⅰ）由正弦定理得所以=,

即,即有,即,所以=2.…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知:=2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.…13分21.（12分）已知点A（-4,4）、B（4,4）,直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2,点M的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程;（Ⅱ）Q为直线y=-1上的动点,过Q做曲线C的切线,切点分别为D、E,求△QDE的面积S的最小值。参考答案：（Ⅰ）x2=4y(y≠)（Ⅱ）4【知识点】抛物线及其几何性质H7（Ⅰ）设M（x，y），则kAM=，kBM=∵直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为2∴-=2∴x2=4y(y≠)

（2）设Q(m，-1)因为切线斜率存在且不为0，故可设切线的斜率为k，则切线方程为y+1=k(x-m)得由相切得，代入得，即x=2k,从而得到切点的坐标为（2k,）在关于k的方程中，所以方程有两个不相等的实数根，分别为故,S=,记切点（2k,）到Q(m,-1)的距离为d则=，故，S==即当m=0，也就是Q（0，-1）时面积的最小值为4.【思路点拨】根据斜率关系求出轨迹方程，再联立根与系数的关系求出面积的最小值。22.已知数列{an}满足Sn=2an－1(n∈N*)，{bn}是等差数列，且b1=a1，b4=a3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若cn=(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析