内蒙古自治区呼和浩特市武川县哈乐乡中学2023年高三数学理期末试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市武川县哈乐乡中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99 B．i＜99 C．i≥99 D．i＞99参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．【解答】解：∵该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：i≤99故选A．2.已知实数满足约束条件若函数的最大值为1，则的最小值为A. B. C. D.参考答案：A略3.设为坐标平面上三点（其中），O为坐标原点，若在方向上的投影相同，则实数a与b满足的关系式为A、4a－5b＝3B、5a－4b＝3C、4a＋5b＝14D、5a＋4b＝12参考答案：A4.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值为（A）0

（B）1

（C）

（D）3参考答案：

B

由，得。所以，当且仅当，即时取等号此时，.，故选B.5.设是等差数列，项和，令的最小值为

A．6

B．

C．

D．参考答案：6.已知向量，，若与共线，则的值为()A.

B.

C.

D.参考答案：D7.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为

A．102

B．410

C．614

D．1638参考答案：B略8.下列说法中，正确的是

（

）

A．命题“若，则”的否命题是假命题.B．设为两个不同的平面，直线，则“”是“”成立的充分不必要条件.C．命题“存在”的否定是“对任意”.D．已知，则“”是“”的充分不必要条件.参考答案：B略9.命题“对任意，”的否定是（

）A.不存在， B.存在，C.存在， D.存在，，参考答案：C【分析】命题“对任意的，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】解：命题“对任意的，”是全称命题，否定时将量词对任意的实数变为存在，再将不等号变为即可，即存在，，故选:.【点睛】考查全称命题的否定，属于基础题.10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=12，S5=90，则等差数列{an}公差d=（）A.2 B. C.3 D.4参考答案：C【分析】根据等差数列的求和公式即可得出．【详解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=3．故选：C．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是

．参考答案：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题．分析：依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．解答： 解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又a＞0，∴a=2，∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1；故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．点评：本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为

cm3．参考答案：【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．G7【答案解析】6

解析：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以，所以四棱锥A-BB1D1D的体积为故答案为：6．【思路点拨】过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．13.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）。在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中，，，，则阳马的外接球的表面积是

。参考答案：50π14.若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_

参考答案：15.在区间上任意取一个数x，则的概率为

。参考答案：１／３略16.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程为_______________．参考答案：因为到点的距离与它到直线的距离相等，所以动点的轨迹为抛物线，其中焦点为，即，所以轨迹方程为。17.（几何证明选讲选做）如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝_________.参考答案：试题分析：因为在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，所以又∠ABD＝30°，所以因为AD＝1，所以又因为∠BDC＝45°，所以在等腰直角三角形中，可求得所以考点：圆的内接四边形性质三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，DE⊥x轴，垂足为D，点M满足当点E在圆上运动时（1）求点M的轨迹方程；（2）过点F引（与两坐标轴都不平行的）直线l与点M的轨迹交于A、B两点，试在y轴上求点P，使得PF是∠APB的角平分线.

参考答案：解析：（1）解：设点，点，轴，,又点E在圆上，有，就是点M的轨迹方程.（2）设点直线l的方程为代入中得设则∵PF是∠APB的角平分线，，即

即又代入得，解得即所求P坐标为（0，）.19.（本小题满分14分）已知函数．(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)若，数列满足．（1）若首项，证明数列为递增数列；（2）若首项为正整数，且数列为递增数列，求首项的最小值．参考答案：(Ⅰ)∵，∴（），当时,则在上恒成立，当时,若，则，若或，则，当时,若，则，若或，则，

综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增．

(Ⅱ)若，则，由(Ⅰ)知函数在区间上单调递增，（1）因为，所以，可知，假设（），因为函数在区间上单调递增，∴，即得，由数学归纳法原理知，对于一切正整数都成立，∴数列为递增数列．（2）由（1）知：当且仅当，数列为递增数列，∴，即，设，则，∴函数在区间上递增，由于，，又为正整数，∴首项的最小值为．20.（本小题满分13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期.假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关.（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.参考答案：见解析【考点】随机变量的期望与方差独立重复试验某事件发生的概率【试题解析】解：（Ⅰ）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件，所以，则.

法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期，所以,

所以.

（Ⅱ）随机变量可以取，所以,,

所以.

21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且是首项和公差均为的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）是首项和公差均为的等差数列，可得=，即Sn=．利用递推关系即可得出an．（2）==+=2+﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵是首项和公差均为的等差数列，∴==，∴Sn=．∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n．n=1时也成立．∴an=n．（2）==+=2+﹣，∴数列{bn}的前n项和Tn=2n+++…+=2n+﹣．22.已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2k