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文档简介

2023年江苏省镇江市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

2.

3.当x→0时,2x+x2与x2比较是A.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小

4.当a→0时,2x2+3x是x的().A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小,但不是等价无穷小D.低阶无穷小

5.

6.

7.

8.A.A.1

B.3

C.

D.0

9.设∫0xf(t)dt=xsinx,则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

10.A.

B.

C.-cotx+C

D.cotx+C

11.

12.

13.设函数/(x)=cosx,则

A.1

B.0

C.

D.-1

14.方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是()

A.椭球面B.锥面C.旋转抛物面D.柱面

15.

16.当x→0时,3x是x的().

A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶无穷小量,但不是等价无穷小量D.低阶无穷小量

17.

在x=0处()。A.间断B.可导C.可微D.连续但不可导

18.

19.

20.A.f(1)-f(0)

B.2[f(1)-f(0)]

C.2[f(2)-f(0)]

D.

二、填空题(20题)21.

22.

23.设f(x)=x(x-1),贝f'(1)=_________.

24.

25.设y=ln(x+2),贝y"=________。

26.

27.28.

29.

30.设,则y'=______.

31.

32.设区域D:0≤x≤1,1≤y≤2,则

33.

34.曲线y=x3-3x+2的拐点是__________。

35.

36.∫x(x2-5)4dx=________。37.

38.

39.

40.微分方程y'+4y=0的通解为_________。

三、计算题(20题)41.

42.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.43.证明:44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.46.求微分方程的通解.47.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.48.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.49.

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

(1)写出S(x)的表达式;

(2)求S(x)的最大值.

52.53.

54.

55.求曲线在点(1,3)处的切线方程.56.57.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.59.

60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)61.求,其中D为y=x-4,y2=2x所围成的区域。62.

63.

64.求曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程.并求该曲线与所求切线及x=0所围成的平面图形的面积.

65.

66.

67.设f(x)为连续函数,且68.计算69.设y=x+arctanx,求y'.70.求由曲线y=2-x2,y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S,以及此平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序.

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为:

0≤x≤1,0≤y≤1-x,

其图形如图1-1所示.

交换积分次序,D可以表示为

0≤y≤1,0≤x≤1-y,

因此

可知应选A.

2.B解析:

3.B

4.C本题考查的知识点为无穷小阶的比较.

应依定义考察

由此可知,当x→0时,2x3+3x是x的同阶无穷小,但不是等价无穷小,故知应选C.

本题应明确的是:考察当x→x0时无穷小卢与无穷小α的阶的关系时,要判定极限

这里是以α为“基本量”,考生要特别注意此点,才能避免错误.

5.A

6.B

7.C

8.B本题考查的知识点为重要极限公式.可知应选B.

9.A

10.C本题考查的知识点为不定积分基本公式.

11.B解析:

12.D解析:

13.D

14.B对照二次曲面的标准方程,可知所给曲面为锥面,故选B。

15.D

16.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较.

应依定义考察

由此可知,当x→0时,3x是x的同阶无穷小量,但不是等价无穷小量,故知应选C.

本题应明确的是:考察当x→x0时无穷小量β与无穷小量α的阶的关系时,要判定极限

这里是以α为“基本量”,考生要特别注意此点,才能避免错误.

17.D①∵f(0)=0,f-(0)=0,f+(0)=0;∴f(x)在x=0处连续;∵f-"(0)≠f"(0)∴f(x)在x=0处不可导。

18.B

19.C解析:

20.D本题考查的知识点为定积分的性质;牛顿-莱布尼茨公式.

可知应选D.

21.

22.y=-e-x+C

23.1

24.

25.

26.127.0.

本题考查的知识点为定积分的性质.

积分区间为对称区间,被积函数为奇函数,因此

28.3xln3

29.30.解析:本题考查的知识点为导数的四则运算.

31.032.本题考查的知识点为二重积分的计算。

如果利用二重积分的几何意义,可知的值等于区域D的面积.由于D是长、宽都为1的正形,可知其面积为1。因此

33.

34.(02)

35.[e+∞)(注:如果写成x≥e或(e+∞)或x>e都可以)。[e,+∞)(注:如果写成x≥e或(e,+∞)或x>e都可以)。解析:

36.

37.

38.1/3

39.

40.y=Ce-4x

41.

42.

43.

44.由二重积分物理意义知

45.

46.47.函数的定义域为

注意

48.

49.

50.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,

51.

52.

53.

54.

55.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点

(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为

56.

57.由等价无穷小量的定义可知

58.

列表:

说明

59.由一阶线性微分方程通解公式有

60.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%

61.62.利用洛必达法则原式,接下去有两种解法:解法1利用等价无穷小代换.

解法2利用洛必达法则.

本题考查的知识点为两个:“”型极限和可变上限积分的求导.

对于可变上(下)限积分形式的极限,如果为“”型或“”型,通常利用洛必达法则求解,将其转化为不含可变上(下)限积分形式的极限.

63.64.本题考查的知识点为:求曲线的切线方程;利用定积分求平面图形的面积.

Y-2=2(x-1),

y=2x.

曲线y=x2+1,切线y=2x与x=0所围成的平面图形如图3—1所示.

其面积

65.

66.67.设,则f(x)=x3+3Ax.将上式两端在[0,1]上积分,得

因此

本题考查的知识点为两个:定积分表示一个确定的数值;计算定积分.

由于定积分存在,因此它表示一个确定的数值,设,则

f(x)=x3+3Ax.

这是解题的关键!为了能求出A,可考虑将左端也转化为A的表达式,为此将上式两端在[0,1]上取定积分,可得

得出A的方程,可解出A,从而求得f(x).

本题是考生感到困难的题目,普遍感到无从下手,这是因为不会利用“定积分表示一个数值”的性质.

这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中.

68.本题考查的知识点为不定积分的换元积

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