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文档简介
2023年江苏省镇江市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________
一、单选题(20题)1.二次积分等于()A.A.
B.
C.
D.
2.
3.当x→0时,2x+x2与x2比较是A.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小
4.当a→0时,2x2+3x是x的().A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小,但不是等价无穷小D.低阶无穷小
5.
6.
7.
8.A.A.1
B.3
C.
D.0
9.设∫0xf(t)dt=xsinx,则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)
10.A.
B.
C.-cotx+C
D.cotx+C
11.
12.
13.设函数/(x)=cosx,则
A.1
B.0
C.
D.-1
14.方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是()
A.椭球面B.锥面C.旋转抛物面D.柱面
15.
16.当x→0时,3x是x的().
A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶无穷小量,但不是等价无穷小量D.低阶无穷小量
17.
在x=0处()。A.间断B.可导C.可微D.连续但不可导
18.
19.
20.A.f(1)-f(0)
B.2[f(1)-f(0)]
C.2[f(2)-f(0)]
D.
二、填空题(20题)21.
22.
23.设f(x)=x(x-1),贝f'(1)=_________.
24.
25.设y=ln(x+2),贝y"=________。
26.
27.28.
29.
30.设,则y'=______.
31.
32.设区域D:0≤x≤1,1≤y≤2,则
33.
34.曲线y=x3-3x+2的拐点是__________。
35.
36.∫x(x2-5)4dx=________。37.
38.
39.
40.微分方程y'+4y=0的通解为_________。
三、计算题(20题)41.
42.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.43.证明:44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.46.求微分方程的通解.47.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.48.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.49.
50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
52.53.
54.
55.求曲线在点(1,3)处的切线方程.56.57.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.59.
60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
四、解答题(10题)61.求,其中D为y=x-4,y2=2x所围成的区域。62.
63.
64.求曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程.并求该曲线与所求切线及x=0所围成的平面图形的面积.
65.
66.
67.设f(x)为连续函数,且68.计算69.设y=x+arctanx,求y'.70.求由曲线y=2-x2,y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S,以及此平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.五、高等数学(0题)71.
六、解答题(0题)72.
参考答案
1.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序.
由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为:
0≤x≤1,0≤y≤1-x,
其图形如图1-1所示.
交换积分次序,D可以表示为
0≤y≤1,0≤x≤1-y,
因此
可知应选A.
2.B解析:
3.B
4.C本题考查的知识点为无穷小阶的比较.
应依定义考察
由此可知,当x→0时,2x3+3x是x的同阶无穷小,但不是等价无穷小,故知应选C.
本题应明确的是:考察当x→x0时无穷小卢与无穷小α的阶的关系时,要判定极限
这里是以α为“基本量”,考生要特别注意此点,才能避免错误.
5.A
6.B
7.C
8.B本题考查的知识点为重要极限公式.可知应选B.
9.A
10.C本题考查的知识点为不定积分基本公式.
11.B解析:
12.D解析:
13.D
14.B对照二次曲面的标准方程,可知所给曲面为锥面,故选B。
15.D
16.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较.
应依定义考察
由此可知,当x→0时,3x是x的同阶无穷小量,但不是等价无穷小量,故知应选C.
本题应明确的是:考察当x→x0时无穷小量β与无穷小量α的阶的关系时,要判定极限
这里是以α为“基本量”,考生要特别注意此点,才能避免错误.
17.D①∵f(0)=0,f-(0)=0,f+(0)=0;∴f(x)在x=0处连续;∵f-"(0)≠f"(0)∴f(x)在x=0处不可导。
18.B
19.C解析:
20.D本题考查的知识点为定积分的性质;牛顿-莱布尼茨公式.
可知应选D.
21.
22.y=-e-x+C
23.1
24.
25.
26.127.0.
本题考查的知识点为定积分的性质.
积分区间为对称区间,被积函数为奇函数,因此
28.3xln3
29.30.解析:本题考查的知识点为导数的四则运算.
31.032.本题考查的知识点为二重积分的计算。
如果利用二重积分的几何意义,可知的值等于区域D的面积.由于D是长、宽都为1的正形,可知其面积为1。因此
33.
34.(02)
35.[e+∞)(注:如果写成x≥e或(e+∞)或x>e都可以)。[e,+∞)(注:如果写成x≥e或(e,+∞)或x>e都可以)。解析:
36.
37.
38.1/3
39.
40.y=Ce-4x
41.
42.
43.
44.由二重积分物理意义知
45.
46.47.函数的定义域为
注意
48.
49.
50.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
51.
52.
53.
则
54.
55.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
56.
57.由等价无穷小量的定义可知
58.
列表:
说明
59.由一阶线性微分方程通解公式有
60.需求规律为Q=100ep-2.25p
∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,
∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
61.62.利用洛必达法则原式,接下去有两种解法:解法1利用等价无穷小代换.
解法2利用洛必达法则.
本题考查的知识点为两个:“”型极限和可变上限积分的求导.
对于可变上(下)限积分形式的极限,如果为“”型或“”型,通常利用洛必达法则求解,将其转化为不含可变上(下)限积分形式的极限.
63.64.本题考查的知识点为:求曲线的切线方程;利用定积分求平面图形的面积.
Y-2=2(x-1),
y=2x.
曲线y=x2+1,切线y=2x与x=0所围成的平面图形如图3—1所示.
其面积
65.
66.67.设,则f(x)=x3+3Ax.将上式两端在[0,1]上积分,得
因此
本题考查的知识点为两个:定积分表示一个确定的数值;计算定积分.
由于定积分存在,因此它表示一个确定的数值,设,则
f(x)=x3+3Ax.
这是解题的关键!为了能求出A,可考虑将左端也转化为A的表达式,为此将上式两端在[0,1]上取定积分,可得
得出A的方程,可解出A,从而求得f(x).
本题是考生感到困难的题目,普遍感到无从下手,这是因为不会利用“定积分表示一个数值”的性质.
这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中.
68.本题考查的知识点为不定积分的换元积
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