2023年新高考数学模拟卷(二)含答案解析

2023年新高考模拟卷（二）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.2B铅笔将试卷类型(A)在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2B用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､12560中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足izai2，若z在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）A．1,0【答案】A

B．1, C．0,1 D．1,0a22a22iiiiaai2i【详解】因为z

a2i2ai2a2a0

a21i，因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以

得1a0，a210所以实数a的取值范围为1,0，故选：A.2．已知实数集R，集合A2xB3x，则ðAB（ ）R．{4x5} B．{∣x2或x3} ．4x．{∣x2或x3}【答案】B【详解】因为集合A2x所以ðA(,2) (4,)，而B3x，R所以ðAB{∣x2或x3，故选：BR设OFy24xP10A．2【答案】B

B．3 C．4 D．5Py2,y，由10P4 4 y24y24y24【详解】解：F1,0，设P ,y，P ,yF1,0 1,y24y24y24 y24因为10y24

,yy24y24

1,y10，y412y21600,y28,y222

1,y1,223故选：By24y24【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题.ABCABC的各顶点都在表面积为的球OAB43，111AB23，则正三棱台ABCABC的高为（ ）C．3或3C．3或33A．3【答案】D

B．4

D．3或4654【分析】由外接球的表面积可得R2 ，分别求出正三棱台ABCABC654111面在球心O的同侧和异侧两种情况求解即可.【详解】解析：设点OO分别是正ABCVABC的中心，球的半径为R，1 2 111则4R265，即R2

，且OOOABCABC的高为OO，6546542AO

111 12ABsinABsin604332在等边VABC中，由AB43，由正弦定理可得： 2

，得AO42在等边ABCAB23

2AO11

AO2ABsin11233211ABsin112332RtVOOAOO2OA2R2，即OO2465，得OO7，11 1 11

1 4 1 2在Rt△OOA中，OO2OA2R2，即OO21665，得OO

1，2 2 2

2 4 2 2如果三棱台的上下底面在球心O的两侧，则正三棱台的高为OOOOOO

714，12 1

2 2 2如果三棱台的上下底面在球心O的同侧，则正三棱台的高为OO

OO

713，ABCABC的高为34，故选：D．

12 1

2 2 2111 医用口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊x~N(0.94，(P(„2)0.954P(„0.9970.86)．则()A．P(x„0.9)0.5 B．P(x0.4)P(x1.5) C．P(x0.96)0.023D．假设生产状态正常，记X表示抽取的100只口罩中过滤率大于3的数量，则P(X…1)0.14【解析】解：对于A，P(x„0.9)P(x„0.94)0.5，故选项A正确；对于B，因为P(x0.4)P(x„0.94)P(0.4„(x„0.94)，又P(x1.5)P(x0.38)，12所以P(x1.5)P(x„0.94)P(0.38„x„0.94)，显然P(x0.4)P(x12对于CP(x0.96)P(x0.940.02)P(x

0.023，故选项C正确；对 于 D， P(x3)

0.0015， 则12P(x„3)1P(x3)112由P(x…1)1P(x0)10.998510010.860.14，故选项D正确．故选：ACD．π3北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制，多面体面上非顶点π33

，所以正四面体在各顶点的曲率为

2π3ππ3

，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426，故总曲率为5264．故选：B.已知

x

ex4,x4

x0

2x

x2的大小关系（ ）(x16)2143,x4

2x

x2

2x

x2

2x

x2

不确定【答案】B【详解】解：由函数fx

ex4,x„4，(x16)2143,x4得函数fx在,4上递增，在4,16上递减，在16,上递增，作出函数y2x和y=x2的图像，如图所示，令2xx2，得x2或4，结合图像可知，当0x2时，42xx20，则f

2x

x2，当2x442xx216

2x

x2x42xx216，则f2x

x2，

x0

2xf

x2.故选：B.fxtanxsinxcosx，现有下列四个命题：2①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于( ，0)2④f(x)的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（ ）A．①②③【答案】C

B．②③④ C．①②③④

D．①②④【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】因为ytanx与ysinxcosx1sin2x的最小正周期均为π，所以f(x)的最小2正周期是π.因为fxfx，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.fxtanxsinxcosxfxf(x)的图象关于，0)对称.2fxtanxsinxcosxfxf(x)的图象关于(π，0)对称.所以①②③④均正确，故选：C4520520分．下列四个表述中，正确的是（）将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；35xx1y5个单位；xy的相关系数为rr0xy之间的线性相关程度越高；在一个22列联表中，根据表中数据计算得到K2的观测值k，若k的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．【答案】AD【解析】A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数CDXC)DX变，正确；B．设有一个回归方程y35x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，错误；xy的相关系数为rr1xy之间的线D22K2k若k的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确．故选：ADN1ABCDVECDECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）BMEN是异面直线217CBMECD217

B．BMEN324D．三棱锥NECD324【答案】BD【详解】对于A选项，连接BD，则点N为BD的中点，E、N平面BDE，EN平面BDE，同理可知BM平面BDE，所以，BM与EN不是异面直线，A选项错误；对于C选项，四边形ABCD是边长为1的正方形，BCCD，ABCDECD，交线为CDBCABCD，BCECD，BMECD所成角为BMC，32M为DE的中点，且是边长为1的正三角形，则CM 32BM

sinBMC BC2CM272BC2CM272BCBM172277

，C选项错误；对于B选项，取CD的中点O，连接ON、OE，则ON//BC且ON1BC1，OE3，2 2 2OE2ON2BC平面CDE，ON平面CDE，OE平面CDE，OE2ON234EN34

1，BMEN，B选项正确；34对于D选项，ON平面CDE，的面积为S 34VCDE

，NECD的体积为V

1S

ON1

31

3，D选项正确.NECD

3

3 4 2 24已知圆M:x2y221PxPM的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）3PAMB周长的最小值为2CAB过定点3【答案】ACD【详解】如图示：AB的最大值为2DNCN设|MP|t，则|AP||BP|t21，所以四边形PAMB周长为2t212，当Pt取值最小2t取最小值2时，四边形B周长取最小值232，A正确；由SPAMB

2S

V

可得：1|MP||AB|21|PA|1，2 211t2则|AB|2t211t2t

，而t2，则3|AB|2,故B错误；P(x,0),A(xyB(xy)PAxxy2)(y2)1PB的方程为0 11 2 2 1 1xx(y2

2)(y2)1，P(x,0)PAPBx

(y2)(2)1，x

(

2)(2)1，0 10 1 20 2ABxx0

y2)(2)1，当x0y3，即AB3），故C正2 2确；03由圆的切线性质可知MPBB（，,2，则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则N(07),，4则|CN|为定值，即D正确，故选：ACD.对于正整数n,n是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数n以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如96，则（ ） log7

6log67

3n

为等比数列C

n n．数列

单调递增 D．数列的

项和恒小于4【答案】ABD

777【详解】因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，…，77，共有 76777所以log7

77

log7

7776

6log7

6，故A正确；因为与3n23n，共有(31)3n123n1 个，所以3n

23n1，则数列3n

为等比数列，故B正确；.因为21，42，62，所以数列2n不是单调递增数列，故C错误；.

i

i2ni因为

2n1，所以 i i2ii1

2i1

2i1设Snni1

1 i2i22i2i222

，则1Sn2n2n2n

n1 ，122223n122223n2n11112222312nn212222312nn2n1n2n12n

12

2 2n1112

1n2，2n1S2n2

n n

2S4n24所以n 2n从而数列的

项和为n

2n1

，故D正确.故选：ABD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知函数fx的定义域为R，且满足fx1fx1，f-x)+f(x)=1，则fx的最小正周期为 ，fx的一个解析式可以为 .【答案】2 fx1cosx(答案不唯一)2【分析】通过fx1fx1得出fxfx2，即可求出fx的最小正周期； f-x)+f(x=1fx关于点11对称，然后列举一个满足关于点 22 1,1对称以及最小正周期为2的方程即可. 22 【详解】因为fx1fx1，所以fxfx2，fx的最小正周期为2.f-x)+f(x=1fx关于点11对称，22 22 满足关于点1,1对称以及最小正周期为2的方程可以为fx1cosx.22 2 故答案为：2；fx1cosx（答案不唯一）.2x2a2已知双曲线Cx2a2

1a0,b0的左､FF，点M在C的左支y2y2b2M作CNMFMN10时，△FNF252252【答案】

2 1 2【解析】由题意得MF2

MF1

2a，故MF2

MF1

2a，如图所示， MFMNMF2aMNFN2ab2aMFN三点共线时取等2 1 1 1号，∴MF2

MN的最小值为b2a10，∴1022ab，即ab25，当且仅当b2a5时，2等号成立，bcc而Fc,0到渐近线bxay0的距离FN b，又OFc，故ONabcc1 1 1∴S 2S

21NOab25，即△FNF25.△FNF

△FNO 2 1

2 1 2 2已知为单位向量，平面向量,满足||1则的最小值为 ．【答案】12【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】不妨设(1,0)(x,y),(x,y)11 2 2(x21)y(x21)y21 1(x21)y22 2则|ca|1

1，|bc|1

1即(x21)y21，1 1(x21)y212 2所以(x,y),(x,y)在圆(x21)y21上 xxyy11 2 2 12 12ysin设圆的参数方程为x1s（为参数）则(1,sin),(1ysin222222b(1)(1s)nn22222212cos

cos

2cos2

12cos

(coscos )令ab2m(mn)2m2

n2n2mn[1,1]所以当mn时，()

min

n2，n[1,1]2

2(m+)2 2 2所以(b)

1，故答案为：1min 2 2【点睛】运用平面向量数量积的运算性质及换元思想是解题的关键.ex212ex已知f(x) 的图象在点A处的切线为l,g(x)x(lnx11x)的图象在点ex212ex1 2的切线为l,若ll，则直线AB的斜率为 2 1 2【答案】32exexfxgxf(x)1(exexexex2 2

1，再由l1

l得出2kk1，进一步确定g(x)lnxx的值域，从而确定k12

1,k1

1B的坐标，再求斜率.【详解】解：易知l,l的斜率均存在，设直线l,l的斜率分别为12 12k,k,f(x)

(exex) 2

1x0

1.因为

l，1212ex1212exex所以k×k1

1，所以1k2

0.g(x)lnxx,令h(x)lnxx,则h(x)11，令h(x)0，则0x1，hx递增，x令h(x)0，则x1，hx递减，易知h(x)在x1处取得最大值1，所以k2

1.因为1k2

0，所以k2

1,k1

1，当k1时，即f(x)1

(exex1x0x1212

0，当k1，g(x)lnxx1，则x1，即x1，2 B所以xA

0,xB

1,可得A(0，0)，B(1,3)，所以k2

3.故答案为：3.2 2从而确定出切线斜率的具体值；难题.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.sin2BsinAC；②3acosBbsinAS 3acB为锐角.在VABCABCa，4b，c，面积为S，若b3， ，asinAcsinCsinB.(1)求角B；(2)求VABC的周长.注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.【解析】(1)选条件①∵sin2BsinAC，∴2sinBcosBsinB，3又B0,，sinB0∴cosB1，故B32选条件②（1）∵3acosBbsinA，由正弦定理得：3sinAcosBsinBsinA，又A0,，sinA0∴3cosBsinB，即tanB3，3又B0,，故B 332选条件③（1）∵S 3ac且S1acsinB，∴1acsinB 3ac，即sinB ，3234 2 3又B为锐角，故B .3(2)根据（1）的结果可得：B ∵asinAcsinCsinB且b33∴由正弦定理得：a2c22b218，①b2a2c22accosB，即32182accos3

18ac，∴ac9，②ac3，故VABC的周长abc9.已知数列满足

1,a

a1(1)n.3(1)n23(1)n2设ba ，求数列b的通项公式（）求数列a的前2n项和S.n 2n1 n

n 2n3(1)n2123(1)n212【解析（1）由已知有：a

a n 所以b+1an

2n1

+1，

n1 n

a1，n2k,kZnbn1

1

2n1

1=2a2n

22a2n11

2

2n1

2

2n1

1)2(bn

1)，其中b+1a+12，所以数列b

1为以2为首项，公比为2的等比数列.1所以bn

1122n12n，得bn

n2n1.（2）由（1）bn

a2n1

2n1，a2n

2a

2n1

2(2n1)， 所以S (211)(221)(231) (2n1)1)(221)(231) (2n 2(12(12n)121)(221)(231)(2n1)]3(2122232n)3n3 3n32n13n6.ABCABCABCABBAAAAB2.111 1 11 1(1)求证：ABBC；(2)若直线AC与平面ABC所成的角为，请问在线段AC上是否存在1 6 1点E，使得二面角ABEC的大小为2，若存在请求出E的位置，不存在请说明理由.3【答案】(1)证明见解析(2)存在，点E为线段AC中点1【分析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明BC侧面AABB，从而证明结论；1 1,EAB的法向量.ABABDAAABADAB1 1 1 1ABCAABBABCAABB

AB，1 1 1 1

1 1 1得AD平面ABC，又BC平面ABC，所以ADBC.1 1三棱柱ABCABC是直三棱柱，则AA底面ABC，所以AABC.111 1 1又AAADA，从而BC侧面AABB，又AB 侧面AABB，故ABBC.1 1 1 1 1由(1).ADABC，则ACDACABC所成的角,1 1所以ACD，又AD2，所以AC22,BC26假设在线段AC上是否存在一点E，使得二面角ABEC的大小为2,1 3由ABCABC是直三棱柱，所以以点A为原点，以ACAA所在直线分别为x，z轴,以过A111 1点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A0,0,2，1C22,0,0,B(0),B2,2,21且设0(22,0,2)E22,0,221 1 1所以22,0,222,2,0B的一个法向量x,y,z，由1EB得：1 122x(2)z

，取1,1,2,2x2y0

1 1 由(1BAC，所以平面B的一个法向量2,2,2,1 1 1所以cos

1，解得1,22ABn3ABn1122|1|11222(1)22∴点E为线段AC中点时，二面角ABEC的大小为2.1 3某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.np，n3p1X的分布列和均值：3某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；k份（kN*且k2）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果kkk份血液样本究竞哪份为阳性，就要对kkk+1次.p1

1313eXX0123P8274929127合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数k围.ln20.6931ln31.0986ln41.3863ln51.6094ln61.7918.1 1（1）n＝3，p＝3XX～B(33)，1 2从而P(Xi)Ci()i()3-i，i＝0，1，2，3．33 3随机变量X的分布列为：随机变量X的均值为E(X)311．3（2）ζ1P((1p)k，P(k11p)k， ∴E1pk+k11pkkk1pk 1又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴k＜(1－p)k，13e1k13e1k13e∵p＝1－ ，∴ ＜( )k，∴lnk＞3k．3x3x1x设fxlnx1x，则f'x 1 ，所以0x3时，f'x>0，3x3x1x3 3f'x0，f(x)在上单调递减，由于f(1)＝12＞3 30，f(4)＝ln4－4＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－5＝－0.0573＜0，故k的取值范围为2k4且k∈3 3N*“工艺折纸”(如下图)步骤1EF步骤2F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．4FE的距离为2（）以点Ex痕围成的椭圆的标准方程；2（2）直线l过椭圆CF，交该椭圆于ABAB中点为Q，射线OQ(O为坐标原点P，若，求直线l的方程．2y23（1）x21（2）x2y1y234FExFE的中点OMF+ME=AE=4=2a求出aEF2c求出c的值，再由b2a2c23求出b（由已知可得B，不合题意；当AB斜率存在时，设Ax,y，Bx,y，直线方程为ykx1，利用点11 2 2差法求出k kAB

3OPy34k34k

x分别与椭圆、ykx1联立求PQ横坐标，再结合列方程求出k的值即可求解.（1）如图，以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系设Mx,y为椭圆上一点，由题意可知MF+ME=AE=4EF2，所以M点轨迹是以F,E为左右焦点，长轴长2a4的椭圆，因为2c2，2a4，所以c1，a2，则b2a2c23，所以椭圆的标准方程为x24y23 x24y23（2）因为，所以B，不合题意；ABykx1AxyBxy，x2y24 11yyxx1 2yyyxx1 2yyxx1 234y23y232x2

，两式作差得：

，即k kAB

，42 1

1 2 1 2434k故直线OPy34k

y x34k34ky23xy23x2 4

，解得x2 ，16k16k234k234ky34k联立

x

，因为

P 4xP 4k234k2y4k234k24k344k34k2

k21k1，所以直线ABy1(x4k234k234k2x2y10.fx3lnxx3ax22axaR.(1)fxx1处的切线方程；(2)若xxfx1P,fxQ,fxPQ的斜12 1 1 2 2率为k，求证：k2xx.1 2【答案】(1)y1a (2)证明见解析（1）f1（）首先求出函数的导函数，依题意3x232ax30在0,上有两个不等于1的正根，即可得到韦达定理，不妨设xx，所以0x1x，根1 2 1 2据两点斜率公式得到k

1

x

3

x

2，即证3lnxx23lnxx2xx13lnx3lnxx2xx16xx

2 2 13lnx2x3lnx2xxx 2112

xx2212

40，根据对数平均不等式可得

，只需2 1 2 1 2 16x6xx

xx2

xx40，令x

xt，依题意即证t3t28t120，121212122 1t2,，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证；(1)解：因为fx3lnxx3ax22ax,aR，所以f13ln113a122a11a，fx33x22ax2a，所以f10，所以切点为1,1a，切线的斜率k0，所以xxx3x232ax3x(2)解：因为

fx

3x22ax