2021-2022学年山东师范大学附属高二下学期期中考试

2021-2022学年山东师范大学附属高二下学期期中考试数学试题一、单选题.在(1-1)6的展开式中，V的系数为()A.-20B.20C.-15D.15【答案】A【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】(工-的展开式中：乙产品工口㈠)、取,=3得到F的系数为C：-(-l)3=-20.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力..函数/(x)="+x+2,其导函数为/*),则/(0)=()A.2B.3C.4D.e+1【答案】A【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入计算可得；【详解】解：因为/*)="+工+2,所以r(x)=e'+l,所以/'(0)=2故选：A.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若X，),线性相关，线性回归方程为)，=06t+。，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为()A.7.2万盒B.7.6万盒C.7.8万盒D.8.6万盒【答案】C【详解】分析：由题意，根据表格中的数据求得样本中心为(3,6),代入回归直线y=o.6x+a,解得。=4.2,得到回归直线的方程，即可作出预测.详解：由题意，根据表格中的数据可知：元J+2+；4+5=3j=5+5+：+6+8=6,即样本中心为(3,6),代入回归直线*=0.6x+d,解得4=4.2,BPy=0.6x+4.2令x=6,解得》=0.6x6+4.2=7.8万盒，故选C.点睛：本题主要考查了回归直线分析问题，其中牢记回归直线的特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力..将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同

17.已知函数/（另=/+加/+云+。-1在工二一1处取得极值0,其中（I）求〃力的值;（II）当工«-1』时，求/（x）的最大值.【答案】（D。=〃=1；（II）4【分析】【分析】（D利用【分析】（D【分析】（D利用1:(一)=。列方程组，解方程组求得。力的值.（II）利用导数，通过比较f（x）在区间［TJ］的端点的函数值,由此求得了（%）在区间［TJ］上的最大值.【详解】（D/（力=3/+4，次+仇依题意可知依题意可知依题意可知-\+2a-b+a-\=03-4a+/，=0'解得〃=〃=L依题意可知(II)由⑴得/(力=丁+2/+尤/(x)=3f+4x+l=(3x+l)(x+l),上递增,令/（》）=。解得x=-;或x=-l.所以“力在（—1g）上递减，在上递增,所以在区间［-1』上，的最大值为〃-1）或"1），而〃-1）=（），/（1）=1+2+1=4.所以〃力在区间［T1］上的最大值为4.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值、最值，属于中档题..某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取4。名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下表格：完成任务工作时间(60,70](70,80](80,90](90,100]甲种生产方式2人3人10人5人乙种生产方式5人10人4人1人（I）将完成生产任务所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入下面列联表:

生产方式工作时间合计超过80min不超过80min甲乙合计（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值。=0.01的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？（3）若从完成生产任务所需的工作时间在（60,70］的工人中选取3人去参加培训，设X为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.n(ad-bc)'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a0.10.050.010.0050.001%2.7063.8416.6357.89710.828【答案】（1）答案见解析：（2）认为甲，乙两种生产方式的效率有差异：（3）分布列见解析，E（X）=*【分析】（1）根据已知数据即可补全2x2列联表：（2）由公式计算/的值与临界值6.635比较即可判断；（3）X的所有可能取值为0,1,2,分别求M对应的概率即可得分布列与数学期望.【详解】（1）根据已知数据可得列联表如下：生产方式工作时间合计超过80min不超过80加〃甲15520乙51520合计202040（2）设“。：甲，乙两种生产方式的效率无差异

根据根据（1）中列联表中的数据，经计算得/=根据（1）中列联表中的数据，经计算得/=40(15x15-5x5/20x20x20x20=10>6.635=x001根据（1）中列联表中的数据，经计算得/=40(15x15-5x5/20x20x20x20=10>6.635=x001（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2P（X=。）系吟P（X=1）=等g户”）卷+所以X的分布列为X012P27477.教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通TOC\o"1-5"\h\z1212过的概率分别为：，；，；，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为33-5（1）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”求事件A发生的概率；（2）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望.443【答案】（1）急；（2）分布列见解析，期望为：・【分析】（1）至少通过二门科目即通过二门或通过三门，由此计算概率；（2）X的可能值为01，2,3,分别计算概率后可得分布列，由期望公式计算期望.【详解】（1）由题意夕（4）=由令*（1一1）+（令3=黑：JJJ14J（2）X的可能值为0J2,3,P（X=0）=-x-x-=-,3329P(X=1)=1x(1-|)x(l-l)+(l-l)x|x(l-1)+(1-1)x(l-|)xl=-j^.1211211917P(X=2)=-x-x(1--)4--x(1--)x-+(1-：-)x-x-=-,332332332Ion/v1211P(X=3)=—x—x—=—,3329X的分布列为X0123P97l8718J9£：(X)=0xl+lx—+2x—+3x1=-.918189220.已知函数/(x)=w+1+(l-")lnx.X（1）当〃=2时，求曲线y=〃x）在x=l处的切线方程;（2）若“W0,讨论函数/（力的单调性.【答案】（1）），=3；（2）答案见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义得到了'（T）=OJ（1）=3,进而得到切线方程;（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性.【详解】⑴当。=2时，/（x）=2.r+l-lnx,广⑺二2-4」，又/'（1）=0,/⑴=3,XXX所以曲线./■（%）在x=l处的切线方程为，=3.⑵广（力=.-+）i=（i）y+i）J〉。），v7x2xX-x2①当a=0时，/（力在（0,1）上单调递减，在（1，+8）上单调递增；②当一1<〃<0时，/3）在（04）和卜+8）上单调递减，在（"J上单调递增：③当a=T时，/（力在（0,+。）上单调递减：和°”）上单调递减’在bf上单调递增•④当，<一1时，和°”）上单调递减’在bf上单调递增•【点睛】本题考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性.21.2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构.某环保机器制造商为响应号召，对•次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费f元；制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器维修次数0123机器台数20408060超过保修期后5年内共需维修的次数.(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算,应把/定在什么范围？【答案】(1)答案见解析；(2)[(),1500).1123【分析】(1)根据统计表，维修0、1、2、3次的机器的比例分别为正、二、而2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数可能有｛0,1,234,5,6｝,对应的基本事件为｛(0，。)｝、[(0,1),。,。)｝、｛(0,2),(2,0),(11)｝、｛(0,3),(3,0),(1,2),(2,1)｝、｛(1,3),(3,1),(2,2)｝、｛(2,3),(3,2)｝、｛(3,3)｝,进而可求各可能值的概率，写出分布列即可.(2)根据两个方案的描述，结合(1)所得的分布列，分别写出方案一、方案二所需费用的分布列，进而求它们的期望，要使选择方案二对客户更合算有石化)</年)，即可求，的范围.【详解】(1)由题意得，X=0.1,2,14,5.6,p(x=o)=—X—=—,P(X=1)=—xlx2=—,p(x=2)=—x-x2+-xl=—,'71010100v710525'71055525…013cl2cli'710105550P(X=4)=—x—x2+—x—=—,P(X=5)=—x—x2=—P(X=6)=—x—=,'710555251f10525'71010100••・x的分布列为X0123456P110012532511507256259Too（2）选择方案一：所需费用为X元，则XK2时，匕=5000,X=3时，\=6000；X=4时，X=7000；X=5时，％=8000,X=6时，X=9（X）0,・・・x的分布列为X50006000700080009000P17Too115072569loox—+6000x—+7000x—+8000x—+9000x—=6860,10()5025251(X)选择方案二：所需费用为八元，则XW4时，K=6230；X=5时，K=6230+r；X=6时，八=6230+2L则力的分布列为=6230x—+(6230+/)xA+(6230+2r)x—=6230+—,100v725v710050y262306230+/6230+2/P67Too6259Too要使选择方案二对客户更合算，则石化）＜E（X）,o1/.••6230+孟＜6860,解得,〈1500,即/的取值范围为［0,1500）.【点睛】关键点点睛：（1）由题设描述确定2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数的可能值，并确定对应的基本事件，进而求各可能值的概率，写出分布列.（2）根据（1）所得分布列，由各方案的费用与维修次数的关系写出费用的分布列，并求期望，通过期望值的大小关系求参数的范围.22.已知函数/&）=和-涓（e=2.718…）.⑴若/"）在（0,y）有两个零点，求实数。的取值范围；⑵设函数以外=的/（幻+/一］—幻，证明：g（x）存在唯一的极大值点.%,且【答案】（2）见解析【分析】（1）/（X）在（。,+8）有两个零点，即函数"与），=£"的图象有两个不同的交x点，令心）=0”（。,+00）,求出函数碎）的单调区间及最值，从而可得出答案；X（2）求导/Cr）=e'（2e、7-2）,二次求导，从而可得出/（"的符号分布情况，再根据极值点的定义即可得证，再根据/（/）=。，结合基本不等式即可得证.【详解】⑴解：令/*)=，一ad=0,xe(O,+cc),贝lJq=M，X'因为f（x）在（0,+oo）有两个零点,所以函数丁=。与），=彳的图象有两个不同的交点,令/7（X）=*,X€（0,+8），W（0,+8），则/（.1）=邑=也与21,x~X当xg(0,2)时，//(x)<0;当W（0,+8），所以力（x）在（。，2）单调递减，在（2,+8）单调递增,所以〃3而、?（2）=?.又当X.0+时，/7（x）f*o,当X-＞长©时，/7（X）-＞+o0,⑵证明：g(x)=e\ex-x-\),故8'(1)=©'(2。'一工一2),令〃心)=2e1-x-2,m\x)=2e'-1,当Ing时，in(x)<0,当x>ln；时，in(x)>0,TOC\o"1-5"\h\z所以tn(x)在(-co,Ing)上单调递减，在(In：,+oc)上单调递增,22।।।2又6(0)=0,6(in-)=2en2-ln--2=ln2-l<0,w(-2)=2e-2-(-2)-2=—>0,22e'由零点存在性定理及加用的单调性知，方程m(x)=0在(-2/ng)上有唯一根，设为小且2e%-/-2=0,从而〃口)有两个零点七和0,当或x>0时，g'(x)>0,当Xo<x<O时，g'(x)<0,所以g(X)在(-8，小)单调递增，在50，。)上单调递减，在(。，+8)单调递增,从而以幻存在唯一的极大值点见,由2产-毛-2=0,得小二主生，2口/匚八+2+211(—k+2+%)~1g(Xo)=e"(e"-x。-1)=(-^—―/一D=-(-x0)(2+%)<--~~—=-»224444当且仅当-％=2+见，即天=-1时，取等号，若%=-1,则2e"—%—2=2e--1/0,与题意矛盾，故"T,所以取等不成立，所以g(x0)<J得证，4又一2</<In；,g(x)在(-8,%)单调递增，所以g(%)>g(-2)=ei一(—2)—1］二屋+e">之得证，e21所以不<8(%)<了.e4【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题及极值点的定义和不等式的证明问题，考查了分离参数法，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，属于难题.的安排方法共有()A.252种B.112种C.70种D.56种【答案】B［分析】因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把7名学生分成2组,再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生，所以可按一组2人，另一组5人分，也可按照一组3人，令一组4人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就是两组的全排列.【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，一种是：一组2人，另一组5人，有(V=21中分法；另一种是：一组3人，另一组4人，有C/=35中分法，・・・共有21+35=56种分组法.第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有A?2=2种分配方法，最后，把两步方法数相乘，共有(C7+C为A22=(21+35)X2=U2种方法，故选8.【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类,属于中档题.5.某高三(5)班要从8名班干部(其中5名男生，3名女生)中选取3人参加优秀班干部评选，事件A:男生甲被选中，事件8:有两名女生被选中，则P(同A)=()A.-B.-C.1D.-8787【答案】B【解析】计算出事件A、A8的概率，利用条件概率公式可求得P(8|A)的值.【详解】由题意可得尸(4)=与=。Coo事件A8:男生甲与两名女生被选中，贝,=/।、P(AB\381因此，y-^=—x-=-.V17P(A5637故选：B.【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中等题.6.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲

厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为］，［，焉，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()A.0.08B,0.1C.0.15D.0.2【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以4,A2,4分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，8表示取得的X光片为次品，P⑷哈,P⑷■P⑷*夕(硒卜P(同&)=t，P(说A)=看；则由全概率公式，所求概率为2(8)=p(A)P(仇4,)+p(4)P(%)+P(AJ尸(仇4J513I21AO=—x—I—x—I—x—=0.08.101010151020故选：A7.若某随机事件的概率分布列满足「(*=。=々.用=1,2,3,4),则£>(*)=()A.3B.10C.9D.1【答案】D【分析】根据分布列性质，求得。=1,再根据期望与方差的公式，即可求解.【详解】由题意，随机事件的概率分布列满足P(X=i)=a•而(i=l,2,3,4),可得於耕芋Ml，解得一I’TOC\o"1-5"\h\z1234贝|JE(X)=J2x*+3x3+4x;=3,10101010所以“x2)=-!-+4x2+9x3+16xg=10,V710101010所以O(X)=E(X2)-E(X)2=10-9=1.故选：D.8.已知/")是定义在(0,+8)上的函数，且/⑴=1,导函数/'⑴满足/'(力>/(X)恒D.(D.(0,1)D.(0,1)成立,则不等式不x)<ei的解集为()A.(1,+°0)D.(0,1)【答案】D【分析】等价于华＜1，构造函数尸（"=］半，对其求导结合已知条件

eev可判断尸（"="在（。,内）上的单调性，所要解的不等式等价于「（力＜尸⑴，根据单调性即可求解.【详解】令尸（力=华，则尸’（力二尸二r（力：/（司,eee因为导函数/'（“满足/'（x）＞/（x）恒成立且e、＞0，所以9（x）＞0,所以F（x）二驾在。y）单调递增，e因为尸⑴=*=:,所以不等式誓＜一等价于网力＜41）,因为所以F（.i）=写在（0,y）单调递增，所以xvl,所以不等式的解集为（0,1）,故选：D二、多选题.在（2x-9）的展开式中，下列说法正确的有（）A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项D.有理项共3项【答案】AB【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可.【详解】解：选项A：所有项的二项式系数和为2?=128,故A正确；选项B：令x=l,则（2x1-中7=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确；选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；选项D：二项式的展开式的通项为J=c;（2x广（-：y=G（-i）2-"音，V-v当r=0时，7-y=7,二项式的展开式的第一项为有理项，当厂=2时，7-y=4,二项式的展开式的第三项为有理项，当厂=4时，7-^=1,二项式的展开式的第五项为有理项，当r=6时，7-y=-2,二项式的展开式的第七项为有理项，所以有理项有4项，故D不正确,故选：AB..对具有相关关系的两个变量x和)，进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本点数据&，x)(i=12…㈤,则下列结论正确的是()A.若两变量X,y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(25)C.若以模型_y=双桁拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性方程z=6x+ln3,则小力的估计值分别是3和6.江―城D.用斤=1-号r来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜1=1率为非零实数的直线上，则配的值为1【答案】BCD【分析】分别根据线性相关关系及拟合曲线关系对选项一一分析•.【详解】若两变量《y具有线性相关关系，即满足)，=八+々，则一定满足》=应+々，样本点不一定在拟合直线上，故A错误，B正确；若以模型)，=〃*拟合该组数据，z=lny=fev+ln«=6.v4-ln3,故a=3,〃=6,故C正确;ta-可用尿=1_々——二来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为r=l非零实数的宜线上，则y=即W=1-三二一=1-0=1,故D正确；/=!故选：BCD11.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(〃,3O2)和N(280,4()2),则下列选项正确的是()附：若随机变量X服从正态分布，则P(//-<r<X0.6827.A.若红玫瑰日销售量范围在(4-30,280)内的概率是0.6827,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰口销售最范围在(280,320)内的概率约为0.34135【答案】ABD【分析】由已知结合3。原则求得〃，判断A正确；比较方差的大小判断4正确，C错误；再由3b原则求得白玫瑰日销售量范围在(28(),320)的概率可判断。正确.【详解】对于A,若红玫瑰日销售量范围在(〃-30.280)的概率是0.6827,则〃+30=280,即〃=250..•.红玫瑰日销售量的平均数约为250,正确：对于BC,由于红玫瑰日销售量的方差5=900,白玫瑰日销售量的方差%=1600，红玫瑰FI俏售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰FI销售量比白玫瑰H销售量更集中，故B正确,C错误；对于D,白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率P=(//<X<//+o-)=-P(//-<T<X<〃+。)之0.34135,故。正确.故选：ABD.12.已知函数/(x)=lnx-or有两个零点七，巧，且$<七，则下列选项正确的是()A.aefo,-lB.y=/*)在(0,e)上单调递增Ie)(91A2-aC.芭+42>6D.若贝1］七一用<^——【答案】ABD【分析】A.将问题转化为。=也有两根，然后构造函数屋》)=处，根据)=〃的图XX象与>1=R")的图象有两个交点求解出〃的取值范围；B.先求解出/(工)的单调递增区间，然后判断出(。0与外”的单调递增区间的关系，由此可完成判断；C.考虑当。一1时百心的取值情况，故内+/的取值情况可分析出，由此作出判断；eD.根据与0的大小关系结合了(“的单调性判断出中毛的取值范围，由此确定出巧-为与三的大小关系.aInYInY【详解】令"v)=0得。=3,记g*)=4XX=令g，(x)=0得』X当xe(0,e)时，g\x)>0,g(x)单调递增;

当xe(e,+co)时，g'(x)<0,g(x)单调递减;且x->0时，g（x）m,g（e）=-，x->+oo时，g（x）fOe据题意知y=〃的图象与y=g（x）的图象有两个交点，且交点的横坐标为七，々，所以.《。.吕，故4选项正确；因为/（X）=‘-〃=L^XX所以当xjo-］时，r（A-）>o,“九）递增,Ia所以所以X+Wf2e<6,所以。选项错误；因为/“）在fo,~所以』w（0,£）,因为/⑴=一。<0=/（内），所以玉>1因为声〕=1/一2<"-2=。=/（占），所以占一TOC\o"1-5"\h\z\a）aa22-a所以乂―％<*—l=r一,故。选项正确aa故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.三、填空题.中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有种.【答案】10【分析】分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书,则甲只能选《大学》，丁只能选《论语》，此时选法种数为用利I;（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学