2021-2022学年度下学期期中考试高二试题

2021-2022学年度下学期期中考试高二试题数学第I卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）.已知数列｛4｝的前〃项和公式为"=21+2%则数列｛%｝（）A.是公差为4的等差数列B.是公比为2的等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列.用数学归纳法证明1+2+2?+…+2"2<2〃+3（〃£乂）时，第一步需要验证的不等式是（）A.1<24B.1+2<24C.1+2+22<24D.1+2+22+23<24.函数y=-ln（cos光）的导数是（）11A.B.C.—tanxD.tanxcosxcosx4.以模型y=c声去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=Iny,其变换后得到线性回归方程z=2%+1,则c=（）A.2B.y[eC.eD.e1.做一个容积为8〃立方米的圆柱形无盖（有底）水箱，为使用材料最省，它的底面半径，为（）A.1米B.血米C.2米D.2亚米为正奇数）一〃（几+2）'7-.已知数列｛4｝满足％=彳'7，则数列｛4｝的前10项和为（）为正偶数）\nJ8-101「101c81小A.—FIn6B.FIn6C.In2D.—In2TOC\o"1-5"\h\z911119.已知数列｛4｝满足：Q〃+1—4=（—4=2,若存在〃£N+使得不等式4・2〃2〃2〃成立，则实数2的取值范围是（）1343A.4〉B.22—1C.2〉D./I>0832（2、r2-i-4r+f7—5.若不等式4+-Inx<。对任意X£（l,+8）恒成立，则实数。的取值范围是（）所以函数/(x)在区间［l,e］上的最小值为/(〃)=——a2-a+a\na；③当时，函数/(x)在区间［l,e］上单调递减，所以函数〃尤)在区间［1,4上的最小值为=—e”+——e.1/n3(a«l)即：mlaJL,—cC—a+aInq2(a>e)易知当QMl时机(Q)G3——,+oo

2e2e-oo,2当leave时,m(6z)-a2-a+alna92则m'(a)=lna—a,由(1)证明过程得知Inx〈光一1vx,即m'(q)vO,所以函数加在Q£(l,e)上单调递减，此时机(。)£综上"2(〃)e(e2—00,I2‘上_3、3一,+002=R,函数m(a)的值域为尺.A.a>\B.a>\C.a>0D.a>0二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）9.下列选项错误的有（）••A.两个变量线性相关性越强，则相关系数，就越接近1.B.若1,x,歹，z,4成等比数列，则实数y=±2.C.线性回归方程对应的直线y=+a至少经过其样本数据点中的一个点.D.函数=一/+x+i没有极值点.10.已知函数/。）=/任7—1）,则下列选项正确的有（）A.函数/（X）极小值为,极大值为3.B.函数存在3个不同的零点.C.当丁三［一2,2］时,函数八％）的最大值为D.当一时'，方程〃司二左恰有3个不等实根.11.数列｛4｝的前〃项和为S〃，且q=l,S川=44+1（〃£乂），则下列选项正确的有（）A.a.=12.B.数列也用一2。〃｝是等比数列.D.数列%｝的前10项和为1024.5gC.数列｛4｝的通项公式为4二—D.数列%｝的前10项和为1024.12.已知函数/（x）=xln（x+l）,g（x）=ex（l-x）+a,则下列选项正确的有（）A.函数/（x）在原点（0,0）处的切线方程为y=0.B.存在实数1仪―1,+8）,使得不等式成立，则实数〃的取值范围是1.C.当x£（0,+oo）H寸，不等式xln（x+l）—，/一］<o恒成立.D.设王，/£尺且若g（xj=g（x2），则西+々〉。.第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设偶函数在R上存在导函数/'（X）,且/（%）在点（2,/（2））处的切线方程为y=3x,则/（—2）=14.小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25,则小李每年所要还款的钱数是元.15.已知定义在A上的函数/（x）=2023?15.已知定义在A上的函数/（x）=2023?x3898J73H2022’2022、<1949>.已知函数%）=*2+二+上+小则不等式/（九+3）2/（2九+1）的解隼为四、解答题（本题共6小题，共70分）.（本题10分）已知函数/（x）=，x2-Qx-21nx（Q£R）.（1）当4=1时，求函数/（X）的单调区间和极值；（2）若函数/（X）在区间［1,+8）上单调递增，求实数4的取值范围..（本题12分）2022年北京冬奥组委会发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占口,统计后得到20如下2x2列联表:销售额不少于30万兀销售额不足30万兀合计线上销售时间不少于8小时75100线上销售时间不足8小时合计200（1）完成上面的2x2列联表；（2）根据2x2列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.0.10.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.8790.10.050.010.005k2.7060.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.879附:Z2二1.（本题12分）已知数列｛4｝满足：+（〃£N+J且q（1）求数列｛%｝的通项公式；

（（2）设数列也〃｝满足:（2）设数列也〃｝满足:b（2）设数列也〃｝满足:b〃=——nen+V%）,求数列松〃｝的前〃项和S〃..（本题12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x（单位：°C）与反应结果歹之间的关系如下表所示:X2468y30405070（1）求化学反应结果歹与温度x之间的相关系数/（精确到0.01）；（2）求〉关于x的线性回归方程；（3）判断变量x与歹之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10℃时反应结果大约为多少.〃别为务二*-〃别为务二*-储:-〃（q/=!a-y-bx.相关系数r=1二Vi=lVi=i参考数据：2.646..（本题12分）已知数列｛%｝满足q=，，且3。〃+1—。〃。〃+]（1）求的，%，并猜想｛4｝的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想结果；（3）设数列｛bn｝满足bn=（2〃+3）♦3〃・an（九”），求数列｛2｝（几£N+）的前〃项和Sn..（本题12分）已知函数/（X）-（Q+i）x+q]nx（a£H）,（1）试比较In（2022e）与2022的大小关系，并给出证明；⑵设函数g（x）=ca-alnx+l（Q£H）,若函数/（%）的图像恒在函数g（x）的图像上方，求实数q的取值范围；（3）函数在上的最小值记为用（。），求函数加（。）的值域.2021-2022学年度下学期期中考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题（每题5分，共40分）1—5ADDCC6—8BAD二、多选题（每题5分，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）9.BC；10.AC；11.AB；12.AC.

三、填空题（每题5分，共20分）13.-3；14.6250；15.73；16.[-2,2].四、解答题（共70分）17.（本题10分）解（1）函数/（%）的定义域为（0,+oo）,当a=l时，/一%一21n%22求导得广（力=工—1——，整理得:2求导得广（力=工—2求导得广（力=工—1——，整理得:/，（%）=（%—2）（乂+1）JC由/'（x）＞0得x〉2；由/'（x）＜0得0＜x＜2从而，函数/（x）减区间为（0,2],增区间为：[2,十句极小值为：/（2）=-21n2,无极大值.（注：单调区间如果写成全开区间，不扣分）2（2）由已知x£[l,+oo）时,/'（%）20恒成立,即x—a——20恒成立,TOC\o"1-5"\h\z2（2、即怛成立，则X.X\-^7min22令函数g（x）=x——（x＞l）,由g'（x）=1+二〉。知g（x）在[l,+oo）单调递增,XJC从而。〈屋可疝产且⑴:一1.经检验知，当。=—1时，函数/（X）不是常函数，所以。的取值范围是。＜—1.（注：第（2）问结果为。＜—1的，扣1分，未检验〃=—1不扣分）18.（本题12分）解（1）由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家，那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占口,共有100xU=55家.2020完成2x2列联表如下:销售额不少于30万兀销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时7525100线上销售时间不足8小时4555100合计12080200

―/?200x(75x55-25x45)(2)由题意，得力?二\J120x80x100x100975计算得力？=18.75（结果写成假分数一、近似为19、近似为188以上情况只扣1分；其它情况按错误处4理，本档3分不给）由于18.75>7.879故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.（注：如果卡方结果错误，最后的2分不给；如果临界值选错，最后的2分不给）19.（本题12分）解(1)由已知％=(〃+1)4+](〃£乂)以及q=1可知％00,从而有3ann+1v-V/i根据累乘法得：4生。31114

an-\=X—X—x・・・x234*2)整理得：a2x3x4x・・・从而有3ann+1v-V/i根据累乘法得：4生。31114

an-\=X—X—x・・・x234*2)整理得：a2x3x4x・・・x〃=*2)由于该式对于〃=1也成立，于是数列｛%｝的通项公式为：%=«几5）（注：通项公式结果写成：a(2)•••4=t4〃£乂),〃n+r+7〃=1(〃£%)的形式，不扣分)Ix2x3x・・・x〃%=」(〃cN+)n\,n••bn=7-所以：20.（本题12分）,Im―r/rj—2+4+6+8―解(1)由题后可得x==5,y=430+40+50+70…二47.5，所以相关系数r二1301313a720x78755a35（2）根据（1）数据得4率x-4xy60+160+300+560-4x5x47.5130，-]4_2之X；-4xz=l22+42+62+82-4x52206.5,a==47.5-6.5x5=15,因此，回归直线方程为y=6.5x+15；（3）•••务=6.5>0,与y之间是正相关,当x=10时，y=6.5x10+15=80,J当温度达到10℃时反应结果大约为80.21.（本题12分）%=9,%=9,猜得:9%=9,猜得:%=9,猜得:92〃一1=〃2n+3（2）证明：（i）〃=1时，猜想成立,（ii）假设〃=左（左21）时猜想成立,即ak=2k—1则〃=k+1时,由3%+i2k—12k—14+i2k+312^+3解得以+i2^+12（左+1）—12攵+5-2亿+1）+3即几=后+1时猜想成立,2〃一1综上，时;猜想成立，即。〃=.〃2〃+3（3）由已知得2=（2〃一1）・3〃，则=1x3+3x32+5x33+・・・+（2几一1）x3〃记为①式3S〃=1x32+3x33+5x34+.・・+（2〃-1）x3〃*记为②式①式与②式相减得：整理得—25〃=-6+（2—2〃）3向所以5〃=（〃_1）3向+3（注：由于第（3）问依赖于第（2）问，如果第（2）问没有证明、证明错误、证明不完整，第使正确，也要扣1分）22.（本题12分）（1）ln（2022e）<2022.（3）问结果即证明：令函数"（x）=lnx-x-l（x＞0）求导得/（%）=上三，由“（X）＞0得X£（0,1）,即函数h（x｝在（0J］上单调递增；由由（x）＜0得％£（l,+oo），即函数在［1,+00）上单调递减,所以/2（x）＜/2⑴=0,即lnx＜x—1,当且仅当x=l时等号成立,从而In2022V2022—1,S|J1+In2022<2022,即ln(2022e)<2022.（注：如果结果正确，但未证明，给1分；如果结果写成民“ln（2022e）＜2022”按错误处理）（2）由已知V光£（0,+oO）,/（X）＞g（x）恒成立,一(〃+l)x+alnx>or—alnx+1恒成立,19整理得：—x1-lax-x+2a\nx-\>0.2法1：令函数/(%)=l%2—2度一1+2。111%—1(%>0),r\求导得：Ff(x)=x-26Z-1+—=JC3①〃>0时，由于歹(1)=—2〃—所以。>0不合题意.x2~^2a+\)x+2a(工-1)(尤-2〃)0,即耳（X）无法恒大于0.②〃（0时，易知尸（X）在区间（0,1］上单调递减，在区间［1,+8）上单调递增,为使函数*x）＞0恒成立，只需函（%）同=尸（1）＞0,由此解得:3ci<—4综上：ci<—4法2：2〃(x-lnx)由（1）证明过程得知lnx〈x-l＜九，即x-lnx＞0,—x2-X-1所以恒成立，x-lnx—x2-x-1令函数0（x）=2（%＞0）,则H(x)=(\\一x"—%—11—12X)—X2-X-12整理得H(x)=(x-lnx)23+1+」2x)_(x-lnx)2x1、--1HX+1+-(x-lnx)212(x-