典型代数系统

典型代数系统第一页，共五十九页，2022年，8月28日7.1半群和群半群和群是两个较为简单的代数系统，它们都只有一个二元运算。群是特殊的半群。第二页，共五十九页，2022年，8月28日7.1半群和群设<S,*>是一个代数系统，其中的*为二元运算；如果*是可结合的，则称<S,*>为一个半群。如果半群的二元运算有单位元，则称此半群为独异点(或含幺半群)。如果独异点的每个元素都是可逆的，则称其为群。S对于运算*是封闭的*是可结合的存在单位元S中每个元素都是可逆的代数系统半群独异点群第三页，共五十九页，2022年，8月28日半群定义7.1

对于代数系统<S,﹡>，如果二元运算“﹡”满足结合律，则称它为半群(semigroup)。对于半群<S,﹡>，如果集合S为有限集合，则称<S,﹡>为有限半群(finitesemigroup)；如果集合S为无限集合，则称<S,﹡>为无限半群(infinitesemigroup)。代数系统<R,＋>,<Z,×>,<Nk,>,

<Nk,>都是半群；<R,＋>和<Z,×>是无限半群，<Nk,>和<Nk,>都是有限半群。代数系统<R,－>,<R-{0},÷>都不是半群，因为代数运算“－”和“÷”都不满足结合律。第四页，共五十九页，2022年，8月28日半群例7.2

对于集合A={1,2,3,4,5}上的代数运算“#”：x#y=max{x,y}，判断代数系统<A,#>是否为半群。解：对于x,y,z∈A，有(x#y)#z=(max{x,y})#z=max{max{x,y},z}=max{x,y,z}x#(y#z)=x#(max{y,z})=max{x,max{y,z}}=max{x,y,z}

所以，(x#y)#z=x#(y#z)即代数运算“#”在A上是可结合的。从而，代数系统<A,#>是半群。第五页，共五十九页，2022年，8月28日半群例7.3

设<A,﹡>是半群，且对于x,y∈A，如果x≠y，则必有x﹡y≠y﹡x，试证明：①A中每个元素都是等幂元；②对于x,y∈A，都有x﹡y﹡x=x;③对于x,y,z∈A，都有x﹡y﹡z=x﹡z。证明由已知条件“对于x,y∈A，如果x≠y，则必有x﹡y≠y﹡x”得出：对于x,y∈A，如果x﹡y=y﹡x，则必有x=y。①对于a∈A，由代数运算“﹡”满足结合律，知(a﹡a)﹡a=a﹡

(a﹡a)。从而，a﹡a=a，即A中任意元素都是等幂元。②对于x,y∈A，由代数运算“﹡”满足结合律以及①，知第六页，共五十九页，2022年，8月28日半群

(x﹡y﹡x)﹡x=(x﹡y)﹡(x﹡x)=(x﹡y)﹡x=x﹡y﹡xx﹡(x﹡y﹡x)=(x﹡x)﹡(y﹡x)=x﹡(y﹡x)=x﹡y﹡x从而(x﹡y﹡x)﹡x=x﹡(x﹡y﹡x)因此，根据题设可得x﹡y﹡x=x③对于x,y,z∈A，由代数运算“﹡”满足结合律以及①、②，知(x﹡y﹡z)﹡(x﹡z)=(x﹡y)﹡(z﹡x﹡z)=(x﹡y)﹡z=x﹡y﹡z(x﹡z)﹡(x﹡y﹡z)=(x﹡z﹡x)﹡(y﹡z)=x﹡(y﹡z)=x﹡y﹡z从而(x﹡y﹡z)﹡(x﹡z)=(x﹡z)﹡(x﹡y﹡z)因此，根据题设可得

(x﹡y﹡z)=(x﹡z)证毕。第七页，共五十九页，2022年，8月28日半群的性质性质1

有限半群<S,﹡>中必含有幂等元。证明由<S,﹡>为有限半群，知S为有限集合。不妨设S中有n个元素。在S中任取一个元素a，考察如下n+1个元素：a,a2,a3,…,an,an+1。由代数运算的封闭性知，这些元素都属于S，但S中仅有n个元素，所以，这些元素中至少有两个元素相同，不妨设为ai=ai+k（1≤k≤n)。下面分别讨论。当k=i时，则有ai=ai+i=ai﹡ai，所以ai是等幂元。当k>i时，则k-i>0，有ai=ai+k=ai﹡ak，ak-i﹡ai=ak-i﹡ai﹡ak

=ak﹡ak，又ak-i﹡ai=ak，所以ak是等幂元。当k<i时，则k-i<0，有ai=ai+k=ai﹡ak，ai﹡ak=ai﹡ak﹡ak

=ai﹡a2k，又ai=ai﹡ak，所以ai=ai﹡a2k，重复此过程可得ai=ai﹡a3k，ai=ai﹡a4k，…，ai=ai﹡apk(p为任意正整数)。取适当的p，使得pk>i，即pk-i>0，从而，apk-i﹡ai=apk-i﹡ai﹡apk

=apk﹡apk，又apk-i﹡ai=apk，所以apk是等幂元。综上所述，有限半群必有等幂元。第八页，共五十九页，2022年，8月28日半群的性质性质2

如果f为半群<S,﹡>到代数系统<T,◦>的同态映射，则<f(S),◦>也是半群。证明设f为半群<S,﹡>到代数系统<T,◦>的同态映射，那么，对于x,y,z∈S，有

(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡(y﹡z))

f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡y)◦f(z)=(f(x)◦f(y))◦f(z)

f(x﹡(y﹡z))=f(x)◦f(y﹡z)=f(x)◦(f(y)◦f(z))从而(f(x)◦f(y))◦f(z)=f(x)◦(f(y)◦f(z))即f(S)上的代数运算“◦”是可结合的，所以，<f(S),◦>是半群。第九页，共五十九页，2022年，8月28日子半群定义7.2

对于半群<S,﹡>，如果非空集合BS且代数系统<B,﹡>也是半群，则称代数系统<B,﹡>为半群<S,﹡>的子半群(sub-semigroup)。代数系统<R,＋>是半群，ZR且代数系统<Z,＋>也是半群，所以，<Z,＋>是半群<R,＋>的子半群。例7.4

对于半群<N7,>和N7的子集B={0,1,6}，判断代数系统<B,>是否为半群<N7,>的子半群。第十页，共五十九页，2022年，8月28日子半群定理7.1

对于半群<S,﹡>，如果非空集合BS且运算“﹡”在B上是封闭的，则代数系统<B,﹡>为半群<S,﹡>的子半群。证明设<S,﹡>为半群，BS且运算“﹡”在B上是封闭的，那么，对于x,y,z∈B，必有x﹡y∈B,y﹡z∈B,(x﹡y)﹡z∈B,x﹡(y﹡z)∈B,且x,y,z∈S，因此，(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)，即运算“﹡”在B上满足结合律。所以，代数系统<B,﹡>是半群。从而，代数系统<B,﹡>为半群<S,﹡>的子半群。证毕。

例7.5

对于半群<N8,⊕8>和N8的子集A={0,2,4,6}，判断代数系统<A,⊕8>是否为半群<N8,⊕8

>的子半群。第十一页，共五十九页，2022年，8月28日独异点定义7.3对于代数系统<S,﹡>，如果二元运算“﹡”满足结合律，且S中含有关于运算“﹡”的幺元，则称<S,﹡>为含幺半群，或独异点(monoid)。代数系统<R,＋>是半群，且含有幺元0，所以代数系统<R,＋>是独异点；代数系统<R,×>是半群，且含有幺元1，所以代数系统<R,×>是独异点。第十二页，共五十九页，2022年，8月28日独异点例7.7

对于整数集Z，判断如下哪些运算“﹡”构成的代数系统<Z,﹡>是独异点。①x﹡y=x·y+1;②x﹡y=y;③x﹡y=(x+1)(y+1)-1;④x﹡y=x+y-2.第十三页，共五十九页，2022年，8月28日独异点例7.8

如果f为独异点<S,﹡>到代数系统<T,◦>的同态映射，则<f(S),◦>也是独异点。证明设f为独异点<S,﹡>到代数系统<T,◦>的同态映射，那么，对于x,y,z∈S，有

(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡(y﹡z))

f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡y)◦f(z)=(f(x)◦f(y))◦f(z)

f(x﹡(y﹡z))=f(x)◦◦f(y﹡z)=f(x)◦(f(y))◦f(z))从而(f(x)◦f(y))◦f(z)=f(x)◦(f(y))◦f(z))即f(S)上的代数运算“◦”是可结合的。设e是S上关于运算“﹡”的幺元，那么x﹡e=e﹡x=x，因此，f(x﹡e)=f(e﹡x)=f(x)◦f(e)=f(e)◦f(x)=f(x)，即f(e)是f(S)上关于运算“◦”的幺元。综上所述，<f(S),◦>是独异点。第十四页，共五十九页，2022年，8月28日子独异点定义7.4

对于独异点<S,﹡>和集合BS，如果代数系统<B,﹡>是独异点，且S上关于运算“﹡”的幺元也是B上关于运算“﹡”幺元，则称代数系统<B,﹡>为独异点<S,﹡>的子独异点(sub-monoid)。代数系统<Z,＋>是独异点，自然数集N是整数集Z的子集，<N,＋>和<Z,＋>的幺元都为0，所以，代数系统<N,＋>是独异点<Z,＋>的子独异点。注意：独异点与其子独异点必须有相同的幺元。可能存在的情况：代数系统<S,﹡>是独异点，BS且<B,﹡>也是独异点，但B上关于“﹡”的幺元与S上关于“﹡”的幺元不同，则独异点<B,﹡>就不是独异点<S,﹡>的子独异点。第十五页，共五十九页，2022年，8月28日子独异点例7.10对于独异点<N10,>和N10的子集B={0,2,4,6,8}，判断代数系统<B,>是否为独异点<N10,>的子独异点。解：第十六页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.2群定义7.5

对于代数系统<G,﹡>，如果运算“﹡”是可结合的，G上存在关于运算“﹡”的幺元，x∈G都有关于运算“﹡”的逆元x-1，则称<G,﹡>为群(roup)。代数系统<R,＋>是群，因为运算“＋”是可结合的，元素0是关于运算“＋”的幺元，任意实数a关于运算“＋”的逆元为-a；代数系统<Nk,⊕k>是群，因为运算“⊕k”是可结合的，元素0是关于运算“⊕k”的幺元，0关于运算“⊕k”的逆元为0，任一其他元素x关于运算“⊕k”的逆元为k-x；代数系统<R,×>不是群，虽然运算“×”是可结合的，元素1是关于运算“×”的幺元，但是0没有逆元。第十七页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.2群例7.12

判断下列代数系统是否为群。①<R-{0},×>②<N7-{0},>③<N6-{0},>④<Z,﹡>,x,y∈Z,x﹡y=x+y-2第十八页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.2群例7.13

对于代数系统<A,﹡>,其中A={a,b,c,e}，运算“﹡”的运算表如下。证明代数系统<A,﹡>是群。﹡eabceeabcaaecbbbceaccbae运算在A上满足封闭性运算是可结合的关于运算的幺元为e各元素关于运算的逆元分别为其自身运算满足交换律该群称为Klein四元（阶）群。第十九页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.2群例7.15

设f为群<S,﹡>到代数系统<T,◦>的同态映射，证明<f(S),◦>是群。证明设f为群<S,﹡>到代数系统<T,◦>的同态映射，根据同态的性质知集合S上的运算“﹡”满足结合律，所以f(S)上的运算“◦”满足结合律。设元素e∈S为S上关于运算“﹡”的幺元，则f(e)为T上关于运算“◦”的幺元。设元素x∈S关于“﹡”的逆元为x-1，则元素f(x)∈f(T)关于运算“◦”的逆元为f(x-1)。综上述知，<f(S),◦>是群。第二十页，共五十九页，2022年，8月28日例子设<G1,*>和<G2,º>都是群；在G1×G2上定义二元运算·如下：

对于任意<a,b>,<c,d>G1×G2， <a,b>·<c,d>=<a*c,bºd>。求证：<G1×G2,·>是一个群。证明：封闭性结合律单位元可逆第二十一页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.2群定义7.6对于群<G,﹡>，如果G为有限集合，则称<G,﹡>为有限群(finitegroup)，此时集合G中元素的个数称为群G的阶数(order)，记为|G|；否则，称G为无限群(infinitegroup)。Klein四元群的阶数为4；群<R,＋>是无限群。第二十二页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.2群定义7.7

对于群<G,﹡>，如果a∈G，满足an=e(幺元)的最小正整数n称为a的阶数，简称为阶(order)，记作|a|=n，并称a是有限阶元素(finiteorderelement)。若不存在这样的正整数，则称a是无限阶元素(infiniteorderelement)。群<R,＋>中，幺元0的阶数为1，其他元素都是无限阶元素；群<N4,⊕4>中，幺元0的阶数为1，元素1的阶数为4，元素2的阶数为2，元素3的阶数为4。第二十三页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.2群例7.16

求群<N6,⊕6>中各元素的阶数。0是幺元，阶数为11的阶数为62的阶数为33的阶数为24的阶数为35的阶数为6第二十四页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质1

幺元是唯一的等幂元。证明：设e,a∈G分别是群<G,﹡>的幺元和等幂元，并设a的逆元为a-1，那么，

a﹡a=aa-1﹡a=ea-1﹡a=a-1﹡(a﹡a)=(a-1﹡a)﹡a=e﹡a=a从而，a=e由幺元的唯一性知，群中有唯一的等幂元，该等幂元就是幺元。注意：在独异点中，除幺元外还可能有多个等幂元。因此，可以把是否有唯一等幂元作为代数系统是群的必要条件。如果某个代数系统中有两个以上的等幂元，则此代数系统一定不是群。第二十五页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质2G中至少有2个元素时，不存在零元。根据逆元的性质“对于集合A上关于运算“﹡”的单位元和零元，如果A中至少有两个元素，则零元无逆元”，即零元无逆元。但是，群中任意元素均有逆元，所以，不存在零元。如果G={e}呢？则群<G,*>中的幺元与零元都为e。第二十六页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质3如果a﹡b=b或者b﹡a=b，则a是关于运算“﹡”的幺元。设a﹡b=b，元素b的逆元b-1，那么，b﹡b-1=eb﹡b-1=(a﹡b)﹡b-1=a﹡(b﹡b-1)=a﹡e=a所以，a=e，即幺元为a。同理，设b﹡a=b，元素b的逆元b-1，那么，b-1﹡b=eb-1﹡b=b-1﹡(b﹡a)

=(b-1﹡b)﹡a

=e﹡a=a所以，a=e，即幺元为a。该性质的意义在于：要验证群中元素a是否是幺元，只需要验证其中某一个元素，即可确定。而在一般代数系统中，必须对G中所有元素进行验证。第二十七页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质4任一元素都是可消去元。设x,y,a∈G，其元素a的逆元为a-1，那么，如果a﹡x=a﹡y，则a-1﹡(a﹡x)=a-1﹡(a﹡y)

a-1﹡(a﹡x)=(a-1﹡a)﹡x=e﹡x=x

a-1﹡(a﹡y)=(a-1﹡a)﹡y=e﹡y=y所以，x=y，即元素a是左可消去的。如果x﹡a=y﹡a，则(x﹡a)﹡a-1=(y﹡a)﹡a-1

(x﹡a)﹡a-1=x﹡(a﹡a-1)=x﹡e=x

(y﹡a)﹡a-1==y﹡(a﹡a-1)=y﹡e=y所以，x=y，即元素a是右可消去的。

综上述知，元素a是可消去的。注意：半群、独异点中的元素都不一定满足消去律。例如，在独异点<N8,8>中，虽然284=684=0，但26等价于：设<G,*>是一个有限群，则*的运算表中，每一行元素都不相同且每一列的元素也都不同。第二十八页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质5(a﹡b)-1=b-1﹡a-1，(an)-1=(a-1)n由于

(a﹡b)﹡(b-1﹡a-1)=a﹡(b﹡b-1)﹡a-1=a﹡e﹡a-1=a﹡a-1=e(b-1﹡a-1)﹡(a﹡b)=b-1﹡(a-1﹡a)﹡b=b-1﹡e﹡b=b-1﹡b=e所以，a﹡b的逆元为b-1﹡a-1，即(a﹡b)-1=b-1﹡a-1。用归纳法证明(a-1)n﹡an=e第二十九页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质6方程a﹡x=b，y﹡a=b都有解且有唯一解。设a﹡x=b，且元素a的逆元为a-1，那么，

a-1﹡(a﹡x)=a-1﹡ba-1﹡(a﹡x)=(a-1﹡a)﹡x=e﹡x=x所以，x=a-1﹡b

设c为a﹡x=b的解，则a﹡c=b，那么，

c=e﹡c=(a-1﹡a)﹡c=a-1﹡(a﹡c)=a-1﹡b=x

即a﹡x=b有唯一解x=a-1﹡b。同理可得，y﹡a=b有唯一解y=b﹡a-1。第三十页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质7|a|=|a-1|设元素a的阶为n，由(a-1)n=(an)-1=e-1=e，可知a-1的阶存在。设元素a-1的阶为t，由于(a-1)n=(an)-1=e-1=e，所以t≤n。又因为，

at=((a-1)t)-1=e-1=e，所以n≤t。因此，n=t。第三十一页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质8有限群的每个元素都是有限阶元素，且其阶数不超过群的阶数|G|。设群<S,﹡>的阶数为|S|=n。在S中任取一个元素a，考察如下n+1个元素

a,a2,a3,…,an,an+1

由运算的封闭性知，这些元素都属于S，但S中仅有n个元素，所以，这些元素中至少有两个元素相同，不妨设为

ai=ai+k=ai﹡ak(1≤k≤n)由性质3知，ak为幺元，即e=ak。由元素的阶数定义知|a|≤k≤n。由于对于任何元素都存在上述情形，所以，每个元素都是有限阶元素，且其阶数不超过群的阶数|S|=n。第三十二页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质（对于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性质9对于群G中阶数为r的元素a，那么an=e当且仅当r整除n。设元素a的阶为r。（充分性）设ar=e，r整除n，那么，n=kran=akr=(ar)k=ek=e

（必要性）设an=e，那么，n=mr+k(n除以r的商为m，余数为k)

因此，0≤k≤r

于是，e=an=amr+k=amr﹡ak=em﹡ak=e﹡ak=ak由r的最小性知k=0，a0=e，即r整除n。第三十三页，共五十九页，2022年，8月28日群的性质由半群、独异点、群的定义可知，独异点是含有幺元的半群，群是每个元素都有逆元的独异点。看起来，独异点比半群多了一个条件“含有幺元”；群比独异点多了一个条件“每个元素都有逆元”。但在性质方面，半群与独异点差异甚小，而群与独异点之间有着较大差异。群是一个具有很多实用性质的代数系统。S对于运算*是封闭的*是可结合的存在幺元S中每个元素都是可逆的代数系统半群独异点群第三十四页，共五十九页，2022年，8月28日子群定义7.8对于群<G,﹡>，如果H为G的非空子集，且<H,﹡>为群，则<H,﹡>称为群<G,﹡>的子群(subgroup)，记作H≤G。代数系统<R,＋>和<Z,＋>都是群，Z是R的子集，所以，<Z,＋>是<R,＋>的子群。注意：以幺元作为元素的集合{e}和集合G本身都是G的子集，所以<{e},﹡>和<G,﹡>都是<G,﹡>的子群，并称这两个子群为平凡子群，<G,﹡>的其他子群称为<G,﹡>的非平凡子群。第三十五页，共五十九页，2022年，8月28日子群的性质性质1

对于群<G,﹡>的子群<H,﹡>，群<G,﹡>的幺元是子群<H,﹡>的幺元。设e为群<G,﹡>的幺元，e′为子群<H,﹡>的幺元。那么，对于x∈HG，有

e′﹡x=x﹡e′=xe﹡x=x﹡e=x从而，e′﹡x=e﹡x根据群中任一元素都是可消去元的性质，知e′=e，即子群的幺元为e。第三十六页，共五十九页，2022年，8月28日子群的性质性质2

对于群<G,﹡>，H为G的非空子集，<H,﹡>为<G,﹡>的子群的充分必要条件是：①G的幺元e∈H

；②若a,b∈H，则a﹡b∈H;③若a∈H

，则a-1∈H

。（必要性）根据群的性质和子群的性质1可得。（充分性）由①知，e∈H

为<H,﹡>的幺元；由②知，对于a,b,c∈H，则a﹡b∈H,b﹡c∈H,(a﹡b)﹡c

∈H,a﹡(b﹡c)∈H,由于a,b,c∈G，所以，H上的代数运算“﹡”满足结合律；由③知，H中任意元素存在逆元，所以<H,﹡>为群，从而，<H,﹡>为<G,﹡>的子群。判定子群的基本方法。*一定可结合，因为<G,*>是群。第三十七页，共五十九页，2022年，8月28日子群的性质性质3

对于群<G,﹡>，H为G的非空子集，<H,﹡>为<G,﹡>的子群的充分必要条件是a,b∈H，则a﹡b-1∈H。（必要性）对于a,b∈H，由于<H,﹡>为<G,﹡>的子群，所以，b-1∈H。从而，a﹡b-1∈H。（充分性）因为H非空，必然存在a∈H，所以a﹡a-1∈H，即e∈H；a∈H，由e,a∈H可得出e﹡a-1∈H，即a-1∈H；a,b∈H，那么b-1∈H，所以a﹡(b-1)-1∈H，即a﹡b∈H。由性质2知，<H,﹡>为<G,﹡>的子群。子群的判断方法。

第三十八页，共五十九页，2022年，8月28日子群的性质性质4

对于群<G,﹡>，H为G的有限非空子集，且H对运算“﹡”封闭，那么<H,﹡>为<G,﹡>的子群。设H中含有n个元素。在H中任取元素a，考察n+1个元素：a,a2,…,an,an+1。由运算的封闭性知，这些元素都属于H，但H中仅有n个元素，所以这些元素中至少有两个元素相同，不妨设为ai=ai+k=ai﹡ak(1≤k≤n)。由群的性质知，ak为G上关于运算是幺元，即e=ak，当然，也是H上关于运算的幺元。如果k=1，即ak=a，则a为幺元，a的逆元为其本身，所以a-1

∈H;如果k>1，即ak=e，则a﹡ak-1=ak-1﹡a=e，a的逆元为ak-1，即a-1=ak-1;综上所述并由性质2知，<H,﹡>为<G,﹡>的子群。有限子群的判定方法。第三十九页，共五十九页，2022年，8月28日子群的性质性质5

对于群<G,﹡>，a∈G，且|a|=k，令A={a,a2,…,ak}，那么<A,﹡>为<G,﹡>的k阶子群。首先证明<A,﹡>为<G,﹡>的子群，为此只需证明运算“﹡”在A上满足封闭性。对于ai,aj∈A(1≤i≤k,1≤j≤k)，ai﹡aj=ai+j。当i+j≤k时，ai+j∈A;当i+j>k时，ai+j=ai+j-k+k=ai+j-k﹡ak=ai+j-k﹡e=ai+j-k

∈A;因此，运算在A上满足封闭性。所以，由性质4知<A,﹡>为<G,﹡>的子群。再证明<A,﹡>的阶为k，即需证明A中k个元素各不相同。用反证法。设A中有两个元素相同，不妨设ai=ai+p，即ai=ai﹡ap，并且应有p<k。由群的性质可知ap=e，这和|a|=k矛盾。因此，

<A,﹡>为<G,﹡>的k阶子群。

第四十页，共五十九页，2022年，8月28日练习找出Klein四元群的所有子群。﹡eabceeabcaaecbbbceaccbae注：由于是有限群，只需要考察封闭性。第四十一页，共五十九页，2022年，8月28日7.1.3特殊群定义7.11

对于群<G,﹡>，如果运算“﹡”满足交换律，则称<G,﹡>为交换群(commutativeroup)，或者称为阿贝尔群(Abelgroup)。加法运算和乘法运算都满足交换律，因此，群<R,＋>和群<Z,×>都是交换群；模k加法运算也满足交换律，所以群<Nk,⊕k>也是交换群。第四十二页，共五十九页，2022年，8月28日例子令K4={e,a,b,c}，对二元运算*定义如下：则：

封闭的结合律单位元逆元交换律阿贝尔群Klein四元群4阶阿贝尔群第四十三页，共五十九页，2022年，8月28日例子判断下列代数系统是否为(交换)半群、(交换)独异点、(交换)群。<Z+,+>交换半群，不是独异点<N,+>交换独异点，不是群<Z,+>交换群，阿贝尔群<P(S),>，其中的S是一个非空集合交换独异点，不是群（幺元：）<P(S),>，其中的S是一个非空集合交换独异点，不是群（幺元：S）阶为1的代数系统<{a},>交换群aaa第四十四页，共五十九页，2022年，8月28日交换群定理7.8

群<G,﹡>为交换群的充分必要条件是：对于x,y∈G，有(x﹡y)﹡(x﹡y)=(x﹡x)﹡(y﹡y)证明（必要性）设<G,﹡>为交换群，那么，x﹡y=y﹡x因此，(x﹡y)﹡(x﹡y)=x﹡(y﹡x)﹡y=x﹡(x﹡y)﹡y=(x﹡x)﹡(y﹡y)（充分性）对于x,y∈G，有(x﹡y)﹡(x﹡y)=(x﹡x)﹡(y﹡y)

因为，(x﹡x)﹡(y﹡y)=x﹡(x﹡y)﹡y

(x﹡y)﹡(x﹡y)=x﹡(y﹡x)﹡y由消去律可得，x﹡y=y﹡x所以，<G,﹡>为交换群。第四十五页，共五十九页，2022年，8月28日循环群定义7.12

对于群<G,﹡>，如果存在元素a∈G，使得G的任何元素都可表示为a的幂(约定a0=e)，即G={ak|k∈Z}，则称<G,﹡>为循环群(cyclicgroup)，记为G=<a>，并称元素a为该循环群的生成元(generatingelement)。具有有限个元素的循环群，称为有限循环群(finitecyclicgroup)；具有无限个元素的循环群，称为无限循环群(infinitecyclicgroup)。群<N5,⊕5>是循环群，元素1是生成元；集合A={2i|i∈Z}，代数系统<A,×>是无限循环群，生成元是2群<Z,＋>是无限循环群，生成元为1或-1。第四十六页，共五十九页，2022年，8月28日例子试证明：<N4,⊕4>是循环群。（N4={0,1,2,3}）证明：已知<N4,⊕4>是群，又11＝1，12＝2，13＝3，14＝0。即：N4中元素均可表示为的1k形式,

因此，<N4,⊕4>是以1为生成元的循环群。证毕。

第四十七页，共五十九页，2022年，8月28日循环群定理7.9

设<G,﹡>是n阶群，a∈G是G的n阶元素，则a是群<G,﹡>的生成元，<G,﹡>是循环群，且G={a0,a,a2,…,an-1}={a,a2,a3,…,an}。证明考察元素a,a2,a3,…,an。由于a∈G是n阶元素，所以，这n个元素各不相同，否则，若有ai=ai+k=ai﹡ak(k<n)，由群的性质知ak为幺元，即e=ak，这和a是n阶元素矛盾。因此，a,a2,a3,…,an各不相同。进而，G中n个元素可分别用a,a2,a3,…,an中之一表示。故a是<G,﹡>的生成元，<G,﹡>是循环群，且G={a0,a,a2,…,an-1}={a,a2,a3,…,an}（约定a0=e）。证毕。第四十八页，共五十九页，2022年，8月28日循环群定理7.11

设f为循环群<S,﹡>到代数系统<T,◦>的同态映射，则<f(S),◦>是循环群。证明由群的性质，知<f(S),◦>是群。下证明<f(S),◦>中含有生成元。设a为<S,﹡>的生成元，那么，对于x∈S，都有x=ak。对于y∈f(S)有，x∈S，使得f(x)=y，从而有f(ak)=y即f(a﹡a﹡a﹡…﹡a)=yf(a)◦f(a)◦f(a)◦…◦f(a)=(f(a))k=y由此可知，f(a)是<f(S),◦>的生成元，<f(S),◦>是循环群。证毕。第四十九页，共五十九页，2022年，8月28日循环群的性质性质1

循环群是交换群。证明设<G,﹡>是循环群，a是生成元，对于G中任意元素x和y，能表示成x=ai，y=aj，由此可知，

x﹡y=ai﹡aj=ai+j=aj﹡ai=y﹡x

所以<G,﹡>是交换群。第五十页，共五十九页，2022年，8月28日循环群的性质性质2

对于生成元为a的n阶循环群，则有|a|=n，且n阶循环群G={a0,a,a2,…,an-1}同构于<Nn,⊕n>。证明用反证法。设生成元a的阶数为k，且k≠n。由群的性质知，元素的阶数不会超过群的阶数，即k<n。由于ak=e，所以，ak+1=ak﹡a=e﹡a=a，ak+2=ak﹡a2=e﹡a2=a2，…，由此可知a的幂仅能表示G中的k个元素，而不能表示G中的所有元素。这和a是G的生成元矛盾。对于G={a0,a,a2,…,an-1}和Nn，建立一一映射：f(ai)=i(i=0,1,…,n-1)。由于f(ai﹡aj)=f(ai+j),如果i+j≥n,则f(ai+j)=f(ai+j-n+n)=f(ai+j-n﹡an)=f(ai+j-n﹡e)=f(ai+j-n)=i+j-n;如果i+j<n，则f(ai+j)=i+j。又由于f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj，如果i+j≥n,则f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj=i+j-n；如果i+j<n，则f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj=i+j。所以f(ai﹡aj)=

f(ai)⊕nf(aj)。从而，f为<G,﹡>到<Nn,⊕n>的同构映射，即n阶循环群同构于<Nn,⊕n>。第五十一页，共五十九页，2022年，8月28日循环群的性质性质3

生成元为a的无限循环群，有两个生成元a和a-1，且G={a0,a±1,a±2,…,a±n,…}并同构于<Z,＋>。令A={a0,a±1,a±2,…,a±n,…}。由于a∈G，则a-1∈G，ak∈G且(ak)-1=(a-1)k=a-k∈G,所以，AG；对于x∈G，必有x=ak∈A,所以，GA。综上述知，G=A。再证明G只有两个生成元a和a-1。设G=<b>，由a∈G知，s∈Z，使得a=bs。又由b∈G知，t∈Z，使得b=at。所以，a=bs=(at)s=ats=ats-1﹡a。由群的性质得，ats-1=e。由于<G,﹡> 是无限循环群，所以，ts-1=0，从而，s=t=1或s=t=-1。因此，b=a或者b=-a。对于G和Z建立一一映射：f(ai)=i(i∈Z)。由f(ai﹡aj)=f(ai+j)=i+j，所以，f(ai﹡aj)=f(ai)+f(aj)。从而，f为<G,﹡>到<Z,+>的同构映射，即无限循环群同构于<Z,+>。第五十二页，共五十九页，2022年，8月28日循环群的性质性质4循环群的子群都是循环群。设<G,﹡>为以a为生成元的循环群，<H,﹡>为其子群。当然，H中元素均可表示为ak的形式。如果H={e}，显然H=<e>，H是循环群。如果H≠{e}，那么ak∈H(k≠0)。由于H是子群，必有(ak)-1=(a-1)k=a-k∈H。不失一般性，可设k为正整数，并且它是H中元素的最小正整数指数。下证H是由ak生成的循环群。对于am∈H,令m=pk+q，其中p为k除m的商，q为余数，0≤q<k。于是am=apk+q=apk﹡aq,aq=a-pk﹡am。由于apk=(ak)p,a-pk=(a-k)p且apk

∈H,a-pk∈H,am∈H,故aq∈H。又k为H中元素的最小正整数指数，结合0≤q<k知，只有aq=e，即q=0,从而am=apk=(ak)p。综上述知，<H,﹡>是循环群。第五十三页，共五十九页，2022年，8月28日循环群的性质性质5对于生成元为a的n阶循环群，能整除n的正整数k，那么该循环群有k阶循环子群，且仅有一个k阶循环子群。设<G,﹡>为以a为生成元的n阶循环群，G={a,a2,a3,…,an}。因为k能整除n，所以令n=pk，构造H={ap,a2p,a3p