第4章时间序列分析

会计学1第4章时间序列分析2时间序列的定义：当时，即时刻t只取整数时，随机过程可写成此类随机过程称为随机序列，也成时间序列。特点（1）随机序列是随机过程的一种，是将连续时间的随机过程等间隔采样后得到的序列；（2）随机序列也是随机变量的集合，只是与这些随机变量联系的时间不是连续的、而是离散的。第1页/共64页3第2页/共64页4二、随机过程的数字特征第3页/共64页5第4页/共64页6第5页/共64页7第6页/共64页第7页/共64页9三、平稳随机过程和平稳时间序列第8页/共64页10换句话说：时间序列{xt}是平稳的。如果{xt}有有穷的二阶中心矩，而且满足：（1）ut=E（xt）=c;（2）r(t,s)=E[(xt-c)(xs-c)]=r(t-s,0)则称{xt}是平稳的。含义：a有穷二阶矩意味着期望和自协方差存在；b平稳时间序列任意时刻所对应的随机变量的均值相等；

c自协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。第9页/共64页11第10页/共64页12第11页/共64页13第12页/共64页14第13页/共64页15第14页/共64页16第15页/共64页17第16页/共64页18第二节、时间序列的随机线性模型

一、平稳自回归模型（AR模型）第17页/共64页19第18页/共64页20第19页/共64页21二、可逆滑动平均模型（MA模型）第20页/共64页22第21页/共64页23三、平稳自回归-可逆滑动平均混合模型第22页/共64页24第23页/共64页25第24页/共64页26第三节线性模型的自相关函数和偏相关函数一、偏相关函数第25页/共64页27第26页/共64页28第27页/共64页29第28页/共64页30第29页/共64页31二、自相关函数自相关函数定义为：三、自相关函数和偏自相关函数的性质

模型函数

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)(p›0,q›0)拖尾截尾k=q处拖尾截尾k=p处拖尾拖尾第30页/共64页32第31页/共64页33例：k12345678910k0.880.760.670.570.480.40.340.280.210.17kk0.880.01-0.010.110.02-0.010.01-0.02-0.060.05第32页/共64页34计算结果表明，自相关函数逐渐衰减，但不等于零；偏自相关函数在k=1后，与零接近，是截尾的。结论：自相关函数呈指数衰减，是拖尾的；偏自相关函数在一步后为零，是截尾的。第33页/共64页35例：用zt=(1-0.5B)at模拟产生250个观察值，at为白噪声序列，得到序列自相关和偏自相关函数如下：可见，ACF在一步后截尾，PACF是拖尾的。结论：MA(q)的ACF是截尾的，PACF是拖尾的。k12345678910ACF-0.4400.02-0.03-0.01-0.050.04-0.03-0.030.02PACF-0.44-0.24-0.11-0.08-0.07-0.12-0.06-0.07-0.1-0.08第34页/共64页36这两节介绍了三类模型的形式、特性及自相关和偏自相关函数的特征，现绘表如下：AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程(B)xt=atxt=(B)at(B）xt=(B)at平稳性条件(B)=0的根在单位圆外无(B)=0的根在单位圆外可逆性条件无(B)=0的根在单位圆外(B)=0的根在单位圆外自相关函数拖尾Q步截尾拖尾偏自相关函数P步截尾拖尾拖尾第35页/共64页37第四节模型的识别一、模型识别定义由平稳序列的一个样本函数确定它的线性模型的类别、阶数，称为模型识别。即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF

）。二、样本自相关函数和样本偏相关函数1．样本自相关函数第36页/共64页38第37页/共64页392．样本偏相关函数

样本偏相关函数可用下式定义

第38页/共64页40三、确定模型的类别和阶数第39页/共64页41第40页/共64页42

AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大体上分为3类：

（1）最小二乘估计；（2）矩估计；（3）利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以介绍。结构阶数模型识别确定估计参数第五节模型参数估计第41页/共64页43⒈AR(p)模型的YuleWalker方程估计

在AR(p)模型的识别中，曾得到

利用k=-k，得到如下方程组：

此方程组被称为YuleWalker方程组。该方程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,,p与自相关函数1,2,,p的关系，(195）第42页/共64页44

利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值

然后利用YuleWalker方程组，求解模型参数的估计值由于

于是

从而可得2的估计值

在具体计算时，可用样本自相关函数rk替代。(196)第43页/共64页45⒉MA(q)模型的矩估计

将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到：

首先求得自协方差函数的估计值，(197)是一个包含(q+1)个待估参数

(197)的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。

常用的迭代方法有线性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。第44页/共64页46

（1）MA(1)模型的直接算法

对于MA(1)模型，（197）式相应地写成于是

或有于是有解

由于参数估计有两组解，可根据可逆性条件|1|<1来判断选取一组。

(198)(199)(200)第45页/共64页47

（2）MA(q)模型的迭代算法

对于q>1的MA(q)模型，一般用迭代算法估计参数：由（197）式得第一步，给出的一组初值，比如代入（201）式，计算出第一次迭代值

（201）第46页/共64页48

第二步，将第一次迭代值代入（201）式，计算出第二次迭代值

按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值与第m-1步的迭代值相差不大时（满足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代结果作为（201）的近似解。

第47页/共64页49⒊ARMA(p,q)模型的矩估计

在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数1,2,,p与1,2,,q以及2，其估计量计算步骤及公式如下：

第一步，估计1,2,,p

是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数rk代替。

(202)第48页/共64页50

第二步，改写模型，求1,2,,q以及2的估计值

将模型

改写为：

令

于是(203)可以写成：

(203)

构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到1,2,,q以及2的估计值。

(204)第49页/共64页51⒋AR(p)的最小二乘估计

假设模型AR(p)的参数估计值已经得到，即有

残差的平方和为：

(205)

根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是下列方程组的解：

即

j=1,2,…,p(206)解该方程组，就可得到待估参数的估计值。

第50页/共64页52

为了与AR(p)模型的YuleWalker方程估计进行比较，将(206)改写成：

j=1,2,…,p由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的估计值

代入，上式表示的方程组即为：

或

j=1,2,…,pj=1,2,…,p第51页/共64页53解该方程组，得到：

即为参数的最小二乘估计。

YuleWalker方程组的解比较发现，当n足够大时，二者是相似的。2的估计值为：

第52页/共64页54

需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。

如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。对含有常数项的模型

方程两边同减/(1-1--p)，则可得到

其中第53页/共64页55第54页/共64页56

由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。

如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。

在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。1、残差项的白噪声检验

可用统计量进行2检验：在给定显著性水平下，可计算不同延迟期的值，通过与2分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。第六节模型的检验第55页/共64页572、AIC与SBC模型选择标准

另外一个遇到的问题是，在实际识别ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组（p,q）值都能通过识别检验。显然，增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟合优度的权衡选择问题。第56页/共64页58

其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的常数项），T为可使用的观测值，RSS为残差平方和（Residualsumofsquares）。

在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好

显然，如果添加的滞后项没有解释能力，则对RSS值的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得AIC或SBC的值增加。

需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。