第六章测量误差的基本知识

会计学1第六章测量误差的基本知识.2、测量误差的产生

测量工作是在一定的条件下进行的，一般来说，外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件。而观测条件不理想或不断变化，是产生测量误差的根本原因。

1.外界环境

主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、大气折光、风力等因素的不断变化，会导致观测结果中带有误差。

2.仪器误差

（1）

仪器制造误差

（2）

检校残余误差

第1页/共22页3.观测误差

观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动态度等也会产生误差。

可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的产生不可避免。但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。

综上所述，观测结果的质量与观测条件的优劣有着密切的关系。观测条件好，观测误差就可能会小一些，观测质量相应地会高一些；反之，观测结果的质量就会相应降低。当观测条件相同时，可以认为观测结果的质量是相同的。第2页/共22页§6-2偶然误差的特点

偶然误差的产生受多种因素的影响，难以消除。因而，偶然误差便成为误差理论中最核心的内容和主要的研究对象。

1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定限值（有界性）；2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多（或称概率大，密集性）；3、绝对值相等的正、负误差出现的机会相等（对称性）；4、当观测次数n无限增加时，误差的算术平均值（数学期望）趋近于零，即

式中，[△]为真误差代数和，即，[△]=△1+△2+……+△n。

上述偶然误差的四个特性具有普遍性，对误差理论的研究和测量实践都有重要意义。第3页/共22页§6-3观测值的算术平均值

在相同的观测条件下，对某一未知量（如角度或边长）的真值为X，对该量作n次观测，设n次观测值分别为l1、l2、…、ln。

则观测值的真误差为△i（i=1,2,…,n），即第4页/共22页等式两边求和并同除以n，有

式中[L]/n称为“算术平均值”，习惯以x表示；当观测次数无限增加时，根据偶然误差特性（4），式中[∆]/n趋近于零。于是可得x=X第5页/共22页在实际工作中，观测次数总是有限的，算术平均值x作为未知量的估值，称为未知量的“最或是值（或称最可靠值）”，它比任何观测值都接近真值。

算术平均值的一般表达式为

以上所述就是算术平均值原理，它是测量中重要理论之一。

第6页/共22页§6-4精度的概念及种类

从前面的分析可以知道，测量成果中会不可避免地含有误差。但测量成果只有符合《规范》规定的限差要求时，才算合格，否则应重测。

1、精度的的概念：就是指误差分布的离散程度。2、精度的种类（1）中误差m高斯分布密度函数中的参数σ

，在几何上是曲线拐点的横坐标

，概率论中称为随机变量的标准差（方差的平方根）。当观测条件一定时，误差分布状态唯一被确定，误差分布曲线的两个拐点也唯一被确定。用σ作为精度指标，可以定量地衡量观测质量。

第7页/共22页所以在衡量观测精度时，就不必再作误差分布表，也不必绘制直方图，只要设法计算出该组误差所对应的标准差σ值即可。σ的平方称为方差σ2

，在概率论中有严格的定义：方差σ2是随机变量x与其数学期望E(x)之差的平方的数学期望，用数学公式表达就是

用测量专业的术语来叙述标准差σ：在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，观测量的真误差△的平方和的平均数的平方根的极限，由下式表示：

第8页/共22页式中

为真误差

∆i的平方和，等价于

通常，观测次数n总是有限的，只能求得标准差的“估值”，记作m，称为“中误差”。其值可用下式计算：由中误差的定义可知，中误差m不等于每个测量值的真误差，它只是反映这组真误差群体分布的离散程度大小的数字指标。

第9页/共22页（2）平均误差θ

定义：在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，真误差绝对值的理论平均值的极限称为平均误差，记作

因观测次数n总是有限的，故其估值表示：式中为真误差绝对值之和。第10页/共22页（3）．或然误差ρ

在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，在真误差列中，若比某真误差绝对值大的误差与比它小的误差出现的概率相等，则称该真误差为或然误差，记作ρ。因观测次数n有限，常将ρ的估值记作ω。或然误差ω可理解为：将真误差列按绝对值从大到小排序，当为奇数时，居中的真误差就是ω；当为偶数时，居中的两个真误差的平均值作为ω。平均误差、或然误差与中误差有如下关系：θ≈0.7979mω≈0.6745m作为精度指标，中误差最为常用，因为中误差更能反映误差分布的离散程度。

第11页/共22页例：设对某个三角形的内角用两种不同精度的仪器各进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为

Ⅰ列：+3″，-4″，-3″，+4″，-5″，-2″，+3″，+3″，-4″，+5″

Ⅱ列：-1″，0″，+12″，0″，-1″，-10″，+1″，0″，+1″，-10″试求其观测精度。

解：1.

用中误差公式计算

第12页/共22页

2.用平均误差公式计算

3.用或然误差公式计算

按绝对值将误差列由大到小排序，即

Ⅰ列：5″，5″，4″，4″，4″，3″，3″，3″，3″，2″

Ⅱ列：12″，10″，10″，1″，1″，1″，1″，0″，0″，0″第13页/共22页计算结果表明：用中误差衡量观测精度，第一列高于第二列，符合客观实际，因第二列中有+12″，-10″，-10″三个大的误差存在，误差分布离散。很显然，用平均误差和或然误差来衡量观测精度，在本例均未有效地反映实际情况。第14页/共22页（4）、相对误差

在进行精度评定时，有时仅利用绝对误差还不能反映测量的精度。因为有些量，如长度，用绝对误差不能全面反映观测精度。定义：绝对误差与测量值之比，记作K。习惯上相对误差用分子为1的分数表达，分母越大，相对误差越小，测量的精度就越高。例[3-2]用同一把已检定过的钢尺分别丈量两条边，长度分别为30m和90m，其中误差（绝对误差）均为±10mm。试衡量其测量精度。解：若用绝对误差衡量测量精度，因m1=m2=±10mm,，无法判别那条边长丈量的精度更高。现计算相对误差，有

第15页/共22页即第二条边丈量精度高于第一条边。距离测量中常用相对误差衡量测量精度。

第16页/共22页§6-5误差传播定律在测量上的应用

1、距离测量的中误差

用钢尺量距：设用长度为l的钢尺丈量A、B两点之间的距离S，共量了n个尺段，若每尺段丈量中误差均为ml，求S的中误差。因为S为各尺段li的线性函数，即S=l1+l2+…+ln

S中误差应为上式表明：距离丈量的中误差与所测尺段数n的平方根成正比。

第17页/共22页2、水准测量的中误差

设在A、B两

点之间.共设n站，则A、B两点之间的高差为：设每站的高差观测中误差均为m站，则A、B两点之间的高差中误差为：在平坦地区，各站的视线长度大致相等，每公里的测站数也大致相同，故可认为每公里水准测量高差的中误差相同，设为mkm，则

第18页/共22页3、视距测量的中误差

（1）.视距法测量水平距离的中误差

由视距测量计算公式可直接写出平距D的中误差计算公式：就是视距测量中误差的计算公式。考虑到其他因素的影响，一般认