云南省曲靖市沾益县第二中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

云南省曲靖市沾益县第二中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知变量满足约束条件，则的最小值为

(

)A．

B．

C．

8

D．参考答案：C略2.已知命题p:若，则；命题q:m、n是直线，为平面，若//,，则m//n.下列命题为真命题的是A． B． C． D．参考答案：B对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.

3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（

）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：A4.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（

）A.36 B.72 C.55 D.110参考答案：C【分析】根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以.选C.【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5.的三个内角对应的边分别，且成等差数列，则角等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B6.

定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.若向量m=(-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，则函数f(t)=t2—2t+1的值域是(

)

A．

B．

C.[0,81)(81,+∞)

D.[0,+∞)参考答案：A8.已知A、B是一锐角三角形两内角，直线l过P（1，0），以为其方向向量，则直线l一定不通过(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】直线的点斜式方程．【专题】三角函数的图像与性质；直线与圆．【分析】根据题意得出A+B＞，sinA＞cosB，sinB＞cosA，再由方向向量得出直线l的斜率k＜0，即可判断直线l不过第三象限．【解答】解：∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A+B＞，A＞﹣B，B＞﹣A，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，sinB＞sin（﹣A）=cosA，∴sinB﹣cosA＞0，cosB﹣sinA＜0；又方向向量=（1，），∴直线l的斜率k=＜0，且过点P（1，0），则直线l不过第三象限．故选：C．【点评】本题考查了直线的方向向量应用问题，也考查了三角函数的诱导公式应用问题，方向向量是与直线平行或在直线上的非零向量，是基础题目．9.数列{an}中，a1=2，an+1=an+（n∈N*），则a10=（）A． B． C． D．4参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】把已知递推式移项变形，然后分别取n=1，2，3，…，n，累加后求出数列通项公式（n≥2），则a10可求．【解答】解：由an+1=an+，得：，∴，，，…（n≥2）．累加得：=2=2﹣．又a1=2，∴=4﹣（n≥2）．则．故选：C．10.已知命题对任意，总有；“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan（α+β）的值是．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；球内接多面体．【专题】三角函数的求值；空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图象以及过球心的截面圆，由球和正三棱锥的几何特征可得：两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，再求出涉及的线段的长度，根据两角和的正切函数和正切函数的定义求出tan（α+β）的值．【解答】解：由题意画出图象如下图：由图得，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，所以D为BC中点，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，故∠SDA=α，∠MDA=β．设SM∩平面ABC=P，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，SM=2R，AB=a，∴，因此=，故答案为：．【点评】本题通过对球的内接几何体的特征考查利用两角和的正切函数的进行计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题．12.下列命题：（1）若函数为奇函数，则；（2）函数的周期；（3）方程有且只有三个实数根；（4）对于函数，若.其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的编号）参考答案：（1）（2）（3）略13.沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后，AB与CD所在的直线所成的角等于

．参考答案：60°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】取AC、BD、BC的中点依次为E、F、G，连接BD、EF、EG、FG，则FG∥CD，EG∥AB，∠FGE为异面直线AB与CD所成的角，由此能求出结果．【解答】解：如下图，取AC、BD、BC的中点依次为E、F、G，连接BD、EF、EG、FG，则FG∥CD，EG∥AB，故∠FGE为异面直线AB与CD所成的角（或其补角），设正方形的边长为2个单位，则FG=1，EG=1，EF=1，从而∠FGE=60°，故答案为：60°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维培养．14.如果等比数列的前项和，则常数参考答案：15.已知向量a=(2,l),ab=10,|a+b|=，则|b|=______参考答案：516.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则=

．参考答案：9【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{an}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为917.如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x≤1）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f（x）=的值域为．参考答案：[﹣1，+∞）【考点】几何概型．【分析】由定积分求阴影面积，由几何概型可得a，即可求出概率．【解答】解：由题意和定积分可得阴影部分面积：S=（﹣x2）dx=（﹣x3）=，∴由几何概型可得此点取自阴影部分的概率P=，即a=．x≥，log3x≥﹣1，x＜，，∴函数f（x）=的值域为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．参考答案：解析：（Ⅰ）．

当（）时，，即；当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．（Ⅱ）令，则．故当时，．又，所以当时，，即．当时，令，则．故当时，．因此在上单调增加．故当时，，即．于是，当时，．当时，有．因此，的取值范围是．19.已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量满足∥.

(1)求sinA＋sinB的取值范围；(2)若，且实数x满足，试确定x的取值范围．参考答案：解：(1)因为m∥n∴，＝，即ab＝4cosAcosB.因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab＝4sinAsinB.…………2分于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.

因为0＜A＋B＜π.所以A＋B＝.故△ABC为直角三角形．…………4分sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，因为＜A＋＜，所以＜sin(A＋)≤1，故1＜sinA＋sinB≤.

………………6分(2)x＝.

………………7分设t＝sinA-cosA()，则2sinAcosA＝，………………9分x＝，因为x′＝，故x＝在()上是单调递增函数．

………………12分所以所以实数x的取值范围是（）…14分20.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-sinA)cosB=0.(1) 求角B的大小;(2）若a+c=1,求b的取值范围参考答案：已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．(1)求cos3＋sin3的值；(2)求tan(π－θ)－的值．解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，则a2－2a－1＝0，从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－.(1)cos3＋sin3＝sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.(2)tan(π－θ)－＝－tanθ－＝－＝－＝－＝1＋.略21.某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60,150]），按下列分组[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[70,90)内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．份数[60,80)[80,120)[120,150]可能被录取院校层次专科本科自招（1）求n的值及频率分布直方图中的x,y值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（1）0.014；（2）；（3）见解析【分析】（1）由图2知分数在的学生有4名，由图1知，频率为，由此能求出的值及频率分布直方图中的值；（2）能被专科院校录取的人数为6人，抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是，从而从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为，记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为，由此可求出此2人都不能录取为专科的概率；（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人，成绩能过自招线人数为12人，随机变量的所有可能取值为，分别求出随机变量的分布列和数学期望．【详解】（1）由图知分数在的学生有名，又由图知，频率为：，则：，（2）能被专科院校录取的人数为：人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为则此2人都不能录取为专科的概率：（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为人成绩能过自招线人数为：人，又随机变量的所有可能取值为∴；；；随机变量的分布列为：0123

【点睛】本题考查频率、频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、对立事件概率计算、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

22.在图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．（1）证明：NE⊥平面PBD；（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，BD，令AC与BD交于点F，连接NF，推导出NE∥AC，求出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能证明NE⊥平面PBD．（2）四棱锥B﹣CEPD的体积．由此能求出四棱锥B﹣CEPD