2023年高考数学一轮复习满分攻略（新高考） 玩转指对幂比较大小（解析版）

文档来源网络仅供参考侵权删除专题01玩转指对幂比较大小【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【题型归纳目录】题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法、估算法题型七：放缩法题型八：不定方程【典例例题】题型一：直接利用单调性例1．（2022·江西·二模（文））已知，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、三角函数、幂函数的单调性比较大小即可.【详解】，因为在是单调递增函数，所以，因为在是单调递增函数，所以所以，故选：C.例2．（2022·陕西西安·一模（理））已知，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质比较大小【详解】先比较，易知,故，即又，故时，时故，而，故，有故选：A例3．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算可知，再利用对数函数的单调性可比较大小，进而得解.【详解】，，，又为定义域上的增函数，所以.故选：D题型二：引入媒介值例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.【详解】解：由题意，，，，即，，，而，所以，，而，即，又，，而，则，即，同理，，，而，则，即，综上得：，所以.故选：D.例5．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.【详解】由题意得，，故；，因，根据对勾函数得，因此；由勾股数可知，又因且，故；因此.故选：C.例6．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】判断sin2和的大小，比较a与、b与、c与的大小可判断a与b大小关系及b与c大小关系，判断a与、c与的大小可判断a与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关系．【详解】，，即b，∴a>b；∵，，∴，；∵，，，；．故选：D．【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以和两个值作为中间值，比较a、b、c与中间值的大小即可判断a、b、c的大小．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为A． B．C． D．【答案】D【解析】先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】因为，故所以，即故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.例8．（2022·北京通州·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，即，又，即，所以，即，综上可得，故选：A题型三：含变量问题例9．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知构造函数，可得的图象关于直线对称.再求导，运用导函数的正负研究函数的单调性，最后由角的范围得出三角函数的范围可得选项.【详解】由题可设，因为，所以的图象关于直线对称.因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，由对称性可知在上单调递减.因为，所以，所以；又，，由对称性可知，且，因为，所以，又在上单调递减，所以，所以，故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，关键在于构造合适的函数，并运用导函数得出函数的单调性和对称性得以解决.例10．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，可得，构造函数，借助函数单调性比较大小即得.【详解】因，，则，即，令，则，函数在上单调递增，有，即，从而当时，，令，，在上单调递减，则由，得，所以.故选：A【点睛】思路点睛：涉及不同变量结构相似的式子相等，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.例11．（2022·天津·高三专题练习）已知，记，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】解：因为，所以，所以，故选：A例12．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（文））若2<m<e，则，me，的大小关系为（

）A．>>me B．me>> C．me>> D．>me>【答案】D【解析】【分析】利用幂指函数的单调性可得，，构造函数()，可得，从而得到结果.【详解】当时，，，下面比较与的大小，即比较与的大小，考察函数()，，当时，，在上单调递减，因为，，即，所以，综上：当时，.故选：D例13．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知，则下列大小关系中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】A.构造函数，利用其单调性比较大小；B.构造函数，利用其单调性比较大小；C.构造函数及函数，利用其单调性比较大小；D.将转化为，判断的大小关系即可.【详解】，则，且，A.因为函数在上单调递减，故，A错误；B.因为函数在上单调递减，故，B错误；C.因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，，C正确；D.，又，，D错误；故选：C.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先化简，再根据的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系．【详解】因为，函数在和上均单调递减，又，所以而,所以，即，可知最小．由于，所以比较真数与的大小关系.当时，，所以,即.综上,．故选：D．（多选题）例15．（2022·山东威海·三模）若，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A、B、C，结合C和对数换底公式即可判断D.【详解】对于A，∵幂函数y=在单调递增，∴根据可知，故A错误；对于B，∵指数函数y=在R上单调递减，∴根据可知，故B正确；对于C，∵对数函数y=()在上单调递减，∴根据可知，故C正确；对于D，由C可知，∴，即，故D错误．故选：BC．（多选题）例16．（2022·广东佛山·三模）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.【详解】选项A：由，可得，则，，则，则.判断错误；选项B：由，可得为上减函数，又，则.判断正确；选项C：由，可知为R上减函数，又，则由，可知为上增函数，又，则，则又为上增函数，则，则.判断正确；选项D：令，则，，则，即.判断错误.故选：BC题型四：构造函数例17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可判断，即可得解；【详解】解：令，则，则在定义域上单调递减，所以，即，所以，即，令，，则，因为，所以，令，，则，即在上单调递减，所以，所以，即在上单调递增，所以，即，即，即，综上可得；故选：A例18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作差法比较出，构造函数，利用函数单调性比较出，从而得出.【详解】，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即.故选：B例19．（2022·河南洛阳·三模（理））已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.【详解】构造，，，在时为减函数，且，所以在恒成立，故在上单调递减，所以，即，所以，即.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.例20．（2022·河南·模拟预测（理））若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数可得，进而可得，可得，再利用函数，可得，即得.【详解】令，则，∴在上单调递增，∴，，，∵，∴，故，设，则，所以函数在上单调递增，由，所以时，，即，∴，又，∴，故.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式与进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.例21．（2022·新疆·模拟预测（理））实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，然后与作差结合基本不等式比较大小，构造函数，可判断其在上单调递减，则，化简可得，则，则可比较出与的大小即可【详解】由题意得，，，则，因为，所以，所以，设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故选：B例22．（2022·四川雅安·二模）设，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由于，，，所以只要比较的大小即可，然后分别构造函数，，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可【详解】因为，，，所以只要比较的大小即可，令，则，所以在上递增，所以，所以，所以，即，令，则，因为在上为减函数，且，所以当时，，所以在上为减函数，因为，，要比较与的大小，只要比较与的大小，令，则，所以在上递增，所以，所以当时，，所以，所以，所以，所以当时，，所以在上递增，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题例23．（2022·浙江·高三专题练习），则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.【详解】令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.若有两个解，则，，即，，令，则，即在上递增，∴，即在上，，若即，故，有∴当时，，故，综上：.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.题型五：数形结合（交点问题）（多选题）例24．（2022·河北邯郸·一模）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】A、B选项画出和的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数，借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.【详解】作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，当时，，，，故A，B正确.令，则，在上单调递减，所以，故C错误.，所以，故D正确.故选：ABD.例25．（2022·广东茂名·一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为均为大于0的实数，所以，进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知故选：C例26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函数的零点直接求解即可，函数的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案【详解】解：令，则，得，即，令，则，得，即，因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，综上，，故选：B例27．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））已知为函数的零点，，，则、、的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】对、，同时进行6次方运算，利用的单调性比较大小；先利用零点存在定理判断出：.对、，同时进行3次方运算，利用的单调性比较大小；对、b，同时进行平方运算，利用的单调性比较大小.【详解】因为，，所以，，所以.因为在上单增，所以.因为为函数的零点，所以因为为增函数，为增函数，所以为增函数，所以有且仅有一个零点a.又，因为，所以,所以；，因为，所以，所以；由零点存在定理，可得：.所以，，所以.因为在上单调递增，所以因为，所以，而，所以.因为在上单调递增，所以所以.故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）已知，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．不确定【答案】C【解析】【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令，则当时，，当时，；由，得考虑到得，由，得，即故选：C题型六：特殊值法、估算法例29．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，函数在单调递增，并且有，则，于是得，即，则，又函数在单调递增，且，则有，所以.故选：C例30．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】结合已知条件，比较和的大小，进而可得到和的大小，然后利用介值比较与的大小，利用介值和对数函数性质可得和的大小，进而得出答案.【详解】由，，可知，又由，从而，可得，因为，所以；因为，从而，即，由对数函数单调性可知，，综上所述，.故选：B.例31.（2022·全国·高三专题练习（理））三个数，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.【详解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.故选：D例32．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解．【详解】，，，，，，，，，故选：．例33．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.【详解】由题意：，，故．又，即，所以，即，因为，所以．因为，故，即，所以，所以，所以，所以，故选：B.题型七：放缩法例34．（2022·江西·模拟预测（理））设，，，则，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.【详解】因为，，构造函数，则，，，，在上递增，在上递减.则有最大，即，.若有两个解，则，所以所以即,令，则，故在上单增,所以，即在上，.若，则有，即.故，所以.当时，有，故所以.综上所述：.故选：A例35．（2022·全国·高三专题练习）已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝，即知m，n，p的大小关系.【详解】由题意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝，∴n＜m＜p．故选：C．例36．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质比较与的大小，利用作商法比较的大小.【详解】由,因为，故，所以，因为，故，所以因为，故，因为，故，所以，所以，故，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将写成对数，，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得的大小，属于较难题目.例37．（2022·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.【详解】设，，令，解得.，，为减函数，，，为增函数.所以，即，当且仅当时取等号.所以.故，即.设，，令，解得.，，为增函数，，，为减函数.所以，即，当且仅当时取等号.所以.所以，又因为，所以.又因为，所以，即，综上.故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性来解决比较大小问题，解决本题的关键为构造函数和，属于难题.例38．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据比较b，c的大小关系，构造函数比较a，b的大小关系，即可得解.【详解】，所以，构造函数，，，所以，，必有，，所以所以，即所以单调递减，所以即，所以故选：A【点睛】此题考查比较三角函数值的大小，常利用中间值比较，或构造函数利用函数单调性比较大小.例39．（2022·河南开封·三模（理））已知a，b均为正实数，且，（e为自然对数的底数），则下列大小关系不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】对所给条件反复代换，利用正数的指数大于0等条件，将所得的结论继续应用到等式中去，可判断选项中的结论正误.【详解】由题可知：，，∴，∴，B选项正确；∵，∴，∴，∴，∴，C选项正确；∵，∴，∴，A选项正确；，而，矛盾，D选项错误.故选：D.例40．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分别构造函数，，，利用其单调性判断.【详解】解：设，则，所以在上递减，所以，即，设，则，递增，则，即，所以，令，则，，当时，，则递减，又，所以当时，，递减，则，即，因为，则，所以，即，故，故选：D例41．（2022·全国·高三专题练习（理））设实数，满足，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．无法比较【答案】A【解析】【分析】从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设，则，，由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；即有与假设矛盾，所以，故选：A题型八：不定方程例42．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【