2023年高考数学一轮复习（艺考）第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 高频考点（解析版）

文档来源网络仅供参考侵权删除第06讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：相互独立事件的概率题型二：条件概率题型三：全概率公式的应用第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：相互独立事件对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，知识点二：条件概率1、定义：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．3、条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则①；②如果和是两个互斥事件，则；③设和互为对立事件，则．④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.知识点三：全概率公式1、定义：一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.2、全概率公式的理解全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和.“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：相互独立事件的概率典型例题例题1．（2022·北京丰台·高二期中）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为.若设事件“为奇数”，事件“为偶数”，事件“为3的倍数”，事件“”，其中是相互独立事件的是（

）A．事件与事件 B．事件与事件C．事件与事件 D．事件与事件【答案】B【详解】由题意可得，3，5，，，4，6，，,，,,由古典概型概率公式可得：,所以，，,，故ACD错误，B正确．故选：B例题2．（2022·湖北·应城市第一高级中学高二阶段练习）袋子里装有大小质地都相同的个白球，个黑球，从中不放回地摸球两次，用表示事件“第次摸得白球”，表示事件“第次摸得白球”，则与是（

）A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件【答案】D【详解】由题意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故与不相互独立，同时与可以同时发生，也不对立，故选：D例题3．（2022·上海杨浦·高三期中）已知、是独立事件，，则_________．【答案】##0.15【详解】由于A、B是独立事件,所以,故答案为:0.15例题4．（2022·全国·高一课时练习）掷一枚骰子一次，判断“出现偶数点”与“出现3点或6点”是不是相互独立事件．【答案】事件A与B相互独立．【详解】解：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则，，，则，，，所以，所以事件A与B相互独立．同类题型归类练1．（2022·河南·郑州十九中高二开学考试）掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A与B是独立事件；②事件B与C是互斥事件；③事件C与D是对立事件；④.其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【详解】掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，对于①，，，，，事件与是独立事件，故①正确；对于②，事件与事件不能同时发生，事件与事件是互斥事件，故②正确；对于③，事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；对于④，，故④错误．故选：A.2．（2022·广东江门·高一期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（

）A．A与B为相互独立事件 B．A与B互为对立事件C．A与B为互斥事件 D．【答案】A【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，A正确；事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；C错误；，D错误.故选：A.3．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（

）A．掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”C．一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一个家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一个家庭中最多有一个女孩}D．一个家庭中有三个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一个家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一个家庭中最多有一个女孩}【答案】C【详解】对于A：∵，，，∴，∴事件M与事件N是相互独立事件，对于B，由于抽取方法是“有放回”，所以是相互独立事件.对于C，，，，所以不是相互独立事件.对于D，，，，∴，∴事件M与事件N是相互独立事件，故选：C.4．（多选）（2022·全国·高二单元测试）掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（

）A．事件A与B是独立事件 B．事件B与C是互斥事件C．事件C与D是对立事件 D．【答案】AB【详解】由题意知：，，，∴事件与是独立事件，A正确；∵事件与不能同时发生，∴与是互斥事件，B正确；点数为4时，既不属于事件，也不属于事件，∴事件与不是对立事件，C错误；∵事件是“点数为5点”，∴，D错误.故选：AB.题型二：条件概率典型例题例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个数，事件“有一个数是奇数”，“另一个数也是奇数”，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】任取两个数，则一奇一偶共有种取法，两个都是奇数共有，所以事件包含所取两个数要么为一奇一偶，要么为两个奇数，故,则事件为所取两个数均为奇数，故,故,故选：A例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由乘法公式，得.故选：C．例题3．（2022·北京丰台·高二期末）同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】事件包含6种基本事件，事件包含1个基本事件，所以.故选：B例题4．（2022·河南濮阳·高三阶段练习（理））袋中装有大小质地完全相同的3个小球，小球上分别标有数字4，5，6.每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.设事件为“三次记下的号码之和是15”，事件为“三次记下的号码不全相等”，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：事件所包含的基本事件有，，，，，，共7个，事件所包含的基本事件有，，，，，共6个，所以．故选：A．例题5．（2022·全国·高三专题练习）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；因为，所以，故选项B正确；因为，故选项C错误；因为，所以，故选项D正确.故选：C.同类题型归类练1．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）某射击队员练习打靶，已知他连续两次射中靶心的概率是0.4，单独一次射中靶心的概率是0.8.在某场比赛中，该队员第一次已经中靶，则第二次也中靶的概率是（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】B【详解】记该队员第二次射中靶心为事件，第一次射中靶心为事件，题目所求为在事件发生的条件下，事件发生的概率，即.故选：B．2．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：依题意；故选：B3．（2022·广东·高三阶段练习）某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为所有基本事件的个数为，三次抽到的号码之和为6，包括3次号码都不一样，分别是1，2，3，基本事件的个数为；号码都一样全是2，基本事件的个数为1，故事件包含的基本事件的个数为，事件包含的基本事件的个数为1，事件包含的基本事件个数为1，所以，，由条件概率公式可得，故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：事件“甲选择农夫山泉”，则事件“甲和乙选择的饮品不同”，则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”所以所以，故选：D5．（2022·江西·芦溪中学高二开学考试）有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，则，，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．故选：C题型三：全概率公式的应用典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（

）A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95【答案】B【详解】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得，故选：B例题2．（2022·江苏南京·高二阶段练习）学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65【答案】D【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；则,,,由全概率公式可知,故选：D.例题3．（2022·全国·高三专题练习）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为，则甲厂生产该芯片的次品率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，则，，，，则由全概率公式得：，解得，故选：B．例题4．（2022·全国·高三专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．【答案】0.625##【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则，，，．故答案为：0.625．例题5．（2022·全国·高三专题练习）两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.【答案】0.957##95.7%【详解】设=“取到合格品”，=“取到的产品来自第i批”（i=1，2），则，，由全概率公式得：.故答案为：0.957同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为（

）A．0.65 B．0.075C．0.145 D．0【答案】C【详解】设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145．故选：C2．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于（

）