自动控制理论-chapt

第五节频率特性与系统性能的关系

频率特性法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的频域性能指标间接地表征系统瞬态响应的性能。一、开环频率特性与系统性能的关系二、闭环频率特性与时域指标的关系第五章频率特性法

常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。一、开环频率特性与系统性能的关系L(ω)/dBω-40dB/dec-40dB/dec-20dB/decωcω2ω1低频段高频段中频段0第四节频率特性与系统性能的关系—低频段的斜率1．低频段

低频段开环增益K

越大，积分环节数越多，系统稳态性能越好。低频段反映了系统的稳态性能。G(s)=sνKG(jω)=(jω)νK低频段由积分环节和比例环节构成：

ν—低频段的高度K第四节频率特性与系统性能的关系低频段的对数频率特性为：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωvK=20lgK-v·20lgωωL(ω)/dB0KKνK对数幅频特性曲线ν=0ν=1ν=2-20ν

对数幅频特性曲线的位置越高，开环增益K越大，斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。第四节频率特性与系统性能的关系2.中频段

穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。（1）穿越频率ωc与动态性能的关系

设系统中频段斜率为20dB/dec且中频段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲线是一条斜率为-20dB/dec的直线。第四节频率特性与系统性能的关系中频段对数幅频特性曲线0+20-20dB/decωcωL(ω)/dB-20开环传递函数：

G(s)≈=SKSωc闭环传递函数为：==SωcSωc11+S+1ωc1Φ(s)=G(s)1+G(s)相当于一阶系统调节时间：ωcts≈3T=3

在一定条件下，ωc越大，ts就越小，系统响应也越快。此时，穿越频率ωc

反映了系统响应的快速性。第四节频率特性与系统性能的关系（2）中频段的斜率与动态性能的关系

设系统中频段斜率为-40dB/dec，且中频段较宽，可近似认为整个曲线是一条斜率为-40dB/dec的直线。0ωL(ω)/dB-40dB/dec+20-20ωc第四节频率特性与系统性能的关系

G(s)≈=S2KS2ωc2开环传递函数：闭环传递函数为：S2ωc2

Φ(s)=G(s)1+G(s)=S2ωc2

1+ωc2S2+ωc2

=系统处于临界稳定状态。

中频段斜率为-40dB/dec，所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。通常，取中频段斜率为-40dB/dec。第四节频率特性与系统性能的关系例最小相位系统的开环对数频率特性曲线如图,试分析中频段与系统相对稳定性的关系。L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3ωc-40dB/dec解：(1)曲线如图G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)ωω3)(1+j对应的频率特性:φ(ωc)=-90o-tg-1cωω1cωω3+tg-1cωω2-tg-1设：cωω==33cωω2tg-1cωω2-tg-13=72otg-1cωω3-tg-113=18oω1的变化范围0～ω2,可求得:γ=72o～54oφ(ωc)=-108o～-126o第四节频率特性与系统性能的关系L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-60dB/decω3ωc-20dB/dec(2)曲线如图-40dB/dec对应的频率特性:2G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)ωω2)(1+j2同样的方法可得:γ=72o～36oφ(ωc)=-108o～-144o第四节频率特性与系统性能的关系(3)曲线如图L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-60dB/decωc-40dB/dec对应的频率特性:G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)2同样的方法可得:γ=18o～-18oφ(ωc)=-162o～-198o3．高频段

高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。L(ω)=20lg|G(jω)|<<0|G(jω)|<<1≈|G(jω)||1+G(jω)||G(jω)||Φ(jω)|=一般即第四节频率特性与系统性能的关系4．二阶系统开环频率特性与动态性能的关系开环传递函数：G(s)=ωn2S(S+2ζωn)G(jω)=ωn2jω(jω+2ζωn)A(ω)=ωn2ωω2+(2ζωn)2φ(ω)=-90o-tg-1ω2ζωn第四节频率特性与系统性能的关系时域法中：频域法中：二阶系统的开环对数频率特性曲线σ%—系统的平稳性ts

—系统的快速性

γωcγωc-1800ωωΦ(ω)L(ω)/dB-20dB/dec-40dB/dec-900ξωn2—系统的快速性—系统的平稳性第四节频率特性与系统性能的关系（1）相位裕量γ和超调量σ%之间的关系得A(ωc)==1ωn2ωcωc2+(2ζωn)2ωc4+4ζ2ωn2ωc2-ωn4=0ωc=ωn4ζ4+1-2ζ2γ=180o+φ(ωc)=180o-90o-tg-1ωc2ζωn

=tg-14ζ4+1-2ζ22ζωc2ζωn=tg-1

当0<ζ<0.707时，可近似地视为ζ每增加0.1,γ增加10oγ(ωc)=100ζσ%=e1-ζ2-ζπ/100%

相位裕量γ越大，超调量σ%越小；反之亦然。第四节频率特性与系统性能的关系ξσ%γ0.20.40.60.81.002040608010012014001020304050607080ζ与γ、ζ与σ%之间的关系曲线第四节频率特性与系统性能的关系（2）ωc、γ与ts之间的关系根据：

调节时间ts与ωc以及γ有关。γ不变时，穿越频率ωc

越大，调节时间越短。整理得ts=ζωn3ts·ωc=

4ζ4+1-2ζ2ζ3ts·ωc=tgγ6第四节频率特性与系统性能的关系例采用频率法分析随动系统的性能，求出系统的频域指标ωc、γ和时域指标

σ%、ts。S(0.5S+1)20θr(s)θc(s)–第四节频率特性与系统性能的关系解：（1）随动系统的结构和参数如图可得：对数频率特性曲线

系统开环传递函数S(0.5S+1)20G(s)=第四节频率特性与系统性能的关系ωc≈6.3≈10.5ωc220γ=180o+φ(ωc)=180o-90o-tg-10.5×6.3=90o-72.38o=17.62ots=ωctgγ6=3s6.3L(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)γξ=γ/100=0.176σ%=e1-ζ2-ζπ/100%=57%4-2=6.5ωcωn=ζ2ζ4+1第四节频率特性与系统性能的关系（2）在前向通道中加入比例微分环节1)τ=0.01系统开环传递函数S(0.5S+1)20(0.01S+1)G(s)=S(0.5S+1)20θr(s)θc(s)–τs+1对数频率特性曲线可得：ωc≈6.3≈10.5ωc220γ=180o-90o-tg-10.5×6.3+tg-10.01×6.3=90o-72.38o+3.6o=21.22oξ=γ/100=0.214-2=6.59ωcωn=ζ2ζ4+1σ%=51%ts=2.4s

加入比例微分环节后,系统的调节时间有所缩短,超调量减小。稳定裕量增加,但穿越频率变化不大.L(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)100-20dB/dec6.3γ第四节频率特性与系统性能的关系2)τ=0.2系统开环传递函数S(0.5S+1)20(0.2S+1)G(s)=对数频率特性曲线ωc≈8≈10.5ωc220×0.2ωcγ=180o-90o=90o-75.96o+58o=72o-tg-10.5×8+tg-10.2×8由于ξ＞0.7γ＞70o只能通过闭环传递函数求性能指标:S2+10S+4040(0.2S+1)φ(s)=ξ=0.79σ%=1.7%ts=ωn1(6.45ξ-1.7)=0.54sL(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)5-20dB/dec6.3γ系统响应加快,稳定裕量增加。二、闭环频率特性与时域指标的关系

根据开环频率特性来分析系统的性能是控制系统分析和设计的一种主要方法，它的特点是简便实用。但在工程实际中，有时也需了解闭环频率特性的基本概念和二阶系统中闭环频域指标与时域指标的关系。第四节频率特性与系统性能的关系

已知G(jω)曲线上的一点，便可求得Φ(jω)曲线上的一点，用这种方法逐点绘制出闭频率特性曲线。

闭环频率特性及频域指标闭环传递函数为Φ(s)=G(s)1+G(s)G(jω)1+G(jω)Φ(jω)==M(ω)ejαω闭环频率特性：第四节频率特性与系统性能的关系（1）零频幅值Moω=0的闭环幅值Mo=1时，输出与输入相等，没有误差。系统的闭环频率指标主要有：Mo=M(ω)=M(0)ωM(ω)MmM00.707M(0)0ωrωb

闭环幅频特性曲线（2）谐振峰值MrMγ=MmMo幅频最大值与零频幅值之比。谐振峰值反映了系统的相对稳定性（3）谐振频率ωr

闭环峰值出现时的频率。在一定的程度上反映了系统的快速性。（4）带宽频率ωb

幅频值降到0.707M0时的频率。M(ωb)=0.707M0第四节频率特性与系统性能的关系2．二阶系统闭环频域指标与时域指标的关系二阶系统的标准式闭环频率特性Φ(jω)=(jω)2+2ζωn(jω)+ωn2ωn2s2+2ζωns+ωn2ωn2Φ(s)=C(s)R(s)==1ωn2ω2ωωn)+j2ζ