云南省曲靖市宣威市西泽乡第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

云南省曲靖市宣威市西泽乡第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）若（1﹣3x）2015=a0+a1x+…a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3参考答案：C【考点】：二项式定理的应用．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由（1﹣3x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），得展开式的每一项的系数ar，代入到=﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015，求值即可．解：由题意得：展开式的每一项的系数ar=C2015r?（﹣3）r，∴=﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015=（1﹣1）2015=0∴=﹣1．故选：C．【点评】：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法．2.如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（） A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】几何概型． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求区域A的面积的估计值． 【解答】解：由题意，∵在正方形中随机产生了10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6600个， ∴概率P==， ∵边长为3的正方形的面积为9， ∴区域A的面积的估计值为≈6． 故选：B． 【点评】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 3.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A．﹣3﹣4i B．5+4i C．5﹣4i D．3﹣4i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，则复数z2=（﹣2+i）2=3﹣4i．故选：D．4.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图1，则该几何体的体积是()图1A．8

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知向量，满足，且，则当变化时，的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】由向量数量积得即可求解【详解】由已知，，则，因为，则，选.【点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题6.设实数满足

，则的取值范围是

．

．

．

．

参考答案：B7.设函数若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为()A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)

B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪(0，＋∞)

D．[－3，＋∞)参考答案：C略8.定义在上的函数偶函数满足，且时，；函数，则函数在区间内的零点的个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为(

)A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．10.已知集合A={x|x－1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=A．{0} B．{1} C.{1,2} D．{0,1,2}参考答案：C解答：∵，，∴.故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当时，的最小值为，则实数的值为

.参考答案：412.若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是．参考答案：4考点： 基本不等式；直线与圆相交的性质．专题： 计算题．分析： 先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离d=0，直线2ax﹣by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．解答： 解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0即（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为2，设圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得2=4，d=0，即直线2ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣2a﹣2b+2=0，a+b=1，则+=+=2++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故式子的最小值为4，故答案为4．点评： 本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．13.已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是

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．参考答案：略14.若复数是纯虚数，则实数等于______.参考答案：

略15.定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：．（写出所有真命题的编号）参考答案：①③④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】对于①，由“正对数”的定义分别对a，b从0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0两种情况进行推理；对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当0＜a＜1，b＞0时；当a≥1，0＜b＜1时；当0＜a＜1，b≥1时；当a≥1，b≥1时进行推理．【解答】解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜ab＜1，从而ln+（ab）=0，bln+a=b×0=0，∴ln+（ab）=bln+a；当a≥1，b＞0时，有ab＞1，从而ln+（ab）=lnab=blna，bln+a=blna，∴ln+（ab）=bln+a；∴当a＞0，b＞0时，ln+（ab）=bln+a，命题①正确；对于②，当a=时，满足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+=0，ln+a+ln+b=ln++ln+2=ln2，∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，命题②错误；对于③，由“正对数”的定义知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+≥0，∴b．当a≥1，0＜b＜1时，有，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+=ln=lna﹣lnb，∵lnb＜0，∴b．当0＜a＜1，b≥1时，有0＜，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+=0，∴b．当a≥1，b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln，则b．∴当a＞0，b＞0时，b，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有，当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，∴2ab≥a+b，从而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．命题④正确．∴正确的命题是①③④．故答案为：①③④．16.如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出下列函数①;②;③;④.以上函数是“函数”的所有序号为

.参考答案：②;③17.等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝

．参考答案：15略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足的前n项和Sn.参考答案：19.某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.（1）求甲获得奖品的概率；（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望.参考答案：（1）设甲获得奖品为事件，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则.（2）随机变量的取值可以为1,2,3,4.,,,.的分布列为所以数学期望.20.设函数＝，∈R，为自然对数的底数，

，如果对任意的∈(0,3]，恒有≤4成立，求的取值范围.参考答案：解：(x)=()(2lnx+1－).当时，对于任意的实数a,恒有成立；当，由题意，首先有，解得，，∵∴，，且=。又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为，则，。从而，当时，；当时，；当时，，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要成立。，ks5u知③，将③代入①得，又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。再由③以及函数2xlnx+x在（1，+∞)内单调递增，可得。由②解得，。所以综上，a的取值范围为。

21.（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程是.(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．参考答案：（Ⅰ）由得圆C的方程为……………4分（Ⅱ）将代入圆的方程得…………5分化简得……………6分设两点对应的参数分别为,则………7分所以……8分所以,,…………………10分22.已知函数（1） 求函数的单调区间；（2） 当时，试讨论是否存在，使得参考答案：解析：.令当即时，，所以的单增区间为.当即时，有两个不等的根，，当当当所以的单增区间为和，单减区间为.综上所述，当，的单增区间为.当，的单增区间为和，单减区间为..（