云南省曲靖市会泽县第一中学2021年高一数学理测试题含解析

云南省曲靖市会泽县第一中学2021年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（3分）下列式子中成立的是（） A． log0.44＜log0.46 B． 1.013.4＞1.013.5 C． 3.50.3＜3.40.3 D． log76＜log67参考答案：D考点： 幂函数的性质；指数函数单调性的应用．专题： 计算题；函数思想．分析： 分别构造函数，根据函数的性质，比较每组函数值的大小解答： 对于A：设函数y=log0.4x，则此函数单调递减∴log0.44＞log0.46∴A选项不成立对于B：设函数y=1.01x，则此函数单调递增∴1.013.4＜1.013.5∴B选项不成立对于C：设函数y=x0.3，则此函数单调递增∴3.50.3＞3.40.3∴C选项不成立对于D：设函数f（x）=log7x，g（x）=log6x，则这两个函数都单调递增∴log76＜log77=1＜log67∴D选项成立故选D点评： 本题以比较大小的形式考查指数函数和幂函数的性质，要求对指数函数和幂函数的单调性熟练掌握．属简单题2.一张长方形白纸，其厚度为a，面积为b，现将此纸对折（沿对边中点连线折叠）5次，这时纸的厚度和面积分别为(

) A．a，32b B．32a， C．16a， D．16a，参考答案：B考点：有理数指数幂的化简求值．专题：等差数列与等比数列．分析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，由此能够求出将报纸对折5次时的厚度和面积．解答： 解：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，故对折5次后报纸的厚度为25a=32a，报纸的面积×b=，故选：B．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细分析，避免错误3.已知△ABC中,bcosB=acosA,则△ABC为(

)A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰或直角三角形

D.等腰直角三角形

参考答案：C略4.一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是(

)．A. B. C. D.参考答案：C【分析】正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，可求得外接球半径，代入表面积公式求得外接球表面积；再求解出正方体表面积，作比得到结果.【详解】设正方体的棱长为，则正方体表面积正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，即正方体外接球表面积本题正确选项：C【点睛】本题考查多面体的外接球表面积求解问题，属于基础题.5.设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（0）=f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）=f（0）D．f（0）＜f（3）＜f（2）参考答案：B考点：对数函数图象与性质的综合应用；指数函数综合题．

专题：函数的性质及应用．分析：把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2．然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0），再根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．解答：解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，联立得．解得A点坐标为（﹣1，﹣1）根据中点坐标公式得到=﹣1，即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2），且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0），故选B．点评：此题是一道综合题，考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质，要求学生掌握反函数的性质，会利用二次函数的图象与性质解决实际问题，属于中档题．6.已知，，则等于(

)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C.选C.7.由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．3参考答案：C略8.如果抛物线y=的顶点在x轴上，那么c的值为（

）A．0

B．6

C．3

D．9参考答案：D略9.已知函数，则的值为（

）．A．1

B．2

C．4

D．5参考答案：D略10.若，且，则是（

）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角参考答案：C，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，，，同时满足，则的终边在三象限。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图为80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图,则时速大于60的汽车大约有____辆．参考答案：4812.请写出“好货不便宜”的等价命题：

．参考答案：便宜没好货【考点】四种命题．【分析】写出原命题的逆否命题，可得答案．【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货13.一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里。参考答案：【分析】画出示意图，利用正弦定理求解即可.【详解】如图所示：为灯塔，为轮船，，则在中有：，且海里，则解得：海里.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.14.非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则

．

参考答案：，，向量组共有三种情况，即，向量组共有三种情况，即，所以所有可能值有2种情况，即，，所以所有可能值中的最小值为，所以或解得.

15.不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全体实数，则实数的取值范围是________参考答案：略16.函数的零点有__________个．参考答案：1函数的零点个数等价于方程解的个数，分别作出和的图象，由图可知，两函数图象有且只有个交点，故函数的零点有且只有一个．17.已知R，则下列四个结论：①的最小值为．②对任意两实数，都有．③不等式的解集是．④若恒成立，则实数能取的最大整数是．基中正确的是

（多填、少填、错填均得零分）．.参考答案：①②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）当a=1时，是否存在过点（﹣1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．参考答案：（1）①a＞0时，则x＞0，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2lna，②a＜0时，则x＜0，函数f（x）在（﹣∞，a）上递减，在（a，0）上递增，故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2ln（﹣a），（2）符合条件的切线有且仅有一条．解析：（1）∵函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）．∴ax＞0∴f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，得x=a，①a＞0时，则x＞0，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2lna，②a＜0时，则x＜0，函数f（x）在（﹣∞，a）上递减，在（a，0）上递增，故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2ln（﹣a），（2）当a=1时，f（x）=lnx+﹣1，（x＞0）设切点为T（x0，lnx0﹣），∴切线方程：y+1=（x﹣1）将点T坐标代入得：lnx0﹣+1=，即lnx0+﹣﹣1=0，①设g（x）=lnx+﹣﹣1，∴g′（x）=，∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，∴g（x）max=g（1）=1＞0，g（x）min=g（2）=ln2+＞0，∵g（）=ln+12﹣16﹣1=﹣ln4﹣3＜0，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．略19.设全集，集合，，.（1）求和；

（2）若，求实数的取值范围.参考答案：（1），，（2）由知当时，即时，，满足条件；当时，即时，且，综上，或略20.若,,且,

,求下列各值.(1)

(2)参考答案：解：(1)且

\\(2)由(1)知\或21.已知集合，，若，求实数的值.参考答案：解：依题意得1分因为所以,所以集合可分为或.当时,有,所以符合题意;

3分当时,有,所以符合题意;5分当时,有,无解;

7分当时,即方程无实根,所以,无解.

9分综上,或.

10分22.已知直线l：x﹣y+a=0（a＜0）和圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=19相交于两点A、B，且|AB|=2．（1）求实数a的值；（2）设O为坐标原点，求证：OA⊥OB．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由题意，圆心到直线的距离d===，结合a＜0，即可求实数a的值；（2）证明x1x2+y1y2=0，即可证明：OA⊥OB．【解