云南省昆明市铁路第一中学2022年高三数学文期末试卷含解析

云南省昆明市铁路第一中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B． C．2 D．参考答案：C【考点】二次函数的性质．【分析】由f（x）的值域为[0，+∞），可得对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，bc的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）的值域为[0，+∞），即f（x）≥0恒成立，∴，∴c=．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴=1+=1+=1+≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．即的最小值为2故选：C．2.设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：

①若

②若

③若

④若

其中正确命题的个数是

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：3.在中，，如果不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568

由表中数据，求得线性回归方程为，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（

）A.7 B.9.5 C.11.1 D.12参考答案：C【分析】根据数据求出样本中心，代入求出＝﹣0.1，然后令x＝14进行求解即可．【详解】解：x的平均数，y的平均数，回归方程过点，即过（7，5.5）则5.5＝0.8×7+得＝﹣0.1，则＝0.8x﹣0.1，则当x＝14时，y＝0.8×14﹣0.1＝11.2﹣0.1＝11.1，即该中学生的识图能力为11.1，故选：C．5.若双曲线虚轴的两个端点和实轴的两个端点构成一个边长为2的正方形的四个顶点，则C的方程为(

)A. B. C. D.参考答案：A6.已知函数的周期为2,当时,,如果，则函数的所有零点之和为（

）

A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：D7.已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（

）A.

B. C. D.参考答案：D8.如图，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）．随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是A．

B．C．

D．参考答案：B9.若复数是实数，则的值为（

）

（A）

(B)3

（C）0

（D）

参考答案：A略10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A． B．4π C．2π D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选D．【点评】本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的关系，寻找球心是解题关键，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列满足，则的前60项和等于参考答案：1830，n+1代n，得，当n为奇数时，，TTa1+a3=a5+a7=…=a57+a59=2TS奇=，由得：，，，…，，以上各式相加，得S偶-S奇=∴S60=(S偶-S奇)+2S奇=1770+60=1830.12.已知e为自然对数的底数，若曲线e在点处的切线斜率为

.参考答案：

13.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间例如，当时，.现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数的定义域相同，且，则；

④若函数有最大值，则.

其中的真命题有

（写出所有命题的序号）参考答案：14.已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线的距离是

.参考答案：略15.数列的前项和记为，，，则的通项公式为

.参考答案：16.已知函数在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范围是

▲

．参考答案：(－9,－5)∵，故可将题意等价的转化为，即，解得，故答案为.

17.设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则

_．参考答案：0因为是定义在R上周期为3的奇函数，所以。所以。所以，，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}满足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列b1=，4bn=an﹣1an，设{bn}的前n项和Tn．证明：Tn＜1．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知得，从而推导出{}是首项为1，公差为的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由bn==，利用错位相减法能证明Tn＜1．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵数列{an}满足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2），∴，…（1分）又a1=1，3a2﹣a1=1，∴，∴=，…（3分）∴{}是首项为1，公差为的等差数列，…∴=1+，∴an=．…（7分）（Ⅱ）证明：∵数列b1=，4bn=an﹣1an，∴bn==，…（9分）∴Tn=b1+b2+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）=＜1．故Tn＜1．…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19.已知函数，设在点N*）处的切线在轴上的截距为，数列满足：N*）．（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，仅当时，取最小值，求的取值范围；（3）令函数，数列满足：，N*），求证：对于一切的正整数，都满足：．参考答案：解:（1），则，得，即，∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，∴，即.（2），∴函数在点N*）处的切线方程为：，令，得．，仅当时取得最小值，只需，解得，故的取值范围为．Ks5u（3），故，，故，则，即．∴=．

又，故．略20.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点，求的值.参考答案：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）3.【分析】（1）直接消去参数可得C1的普通方程；结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ得C2的直角坐标方程；（2）将两圆的方程作差可得直线AB的方程，写出AB的参数方程，与圆C2联立，化为关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义及根与系数的关系求解．【详解】（1）曲线的普通方程为.由，，得曲线的直角坐标方程为.（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），代入化简得，所以，.因为点对应的参数为，所以.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．21.已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥2a2﹣13，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3时，不等式即|2x﹣3|+3≤6，可得﹣3≤2x﹣3≤3，由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥2a2﹣13恒成立，利用绝对值三角不等式求得|2x﹣a|+a+|2x﹣1|的最小值为|1﹣a|+a，可得|1﹣a|+a≥2a2﹣13，分类讨论，去掉绝对值，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，不等式f（x）≤6，即|2x﹣3|+3≤6，故有﹣3≤2x﹣3≤3，求得0≤x≤3，即不等式f（x）≤6的解集为[0，3]．（Ⅱ）f（x）+g（x）≥2a2﹣13，即|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥2a2﹣13恒成立，∵|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥|2x﹣a﹣（2x﹣1）|+a=|1﹣a|+a，∴|1﹣a|+a≥2a2﹣13①．当a≤1时，①等价于1﹣a+a≥2a2﹣13，解得﹣≤a≤1；当