【基础练习】等腰三角形数学沪科版八上

15.3《等腰三角形》

基础练习本课时编写：合肥市五十中学新校天鹅湖校区胡思文第1课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.已知等腰三角形的顶角为40°,则这个等腰三角形的底角为（ ）A.40°B.70°C.100°D.140°.若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则这个三角形的第三条边长为（ ）A.2或5B.3C.4D.5.如图，AB〃CD,AD=CD,N1=65°,则N2的度数是（ ）A.50°B.60°C.65° D.70°.如图，AD,CE分别是^ABC的中线和角平分线.若AB=AC,NCAD=20°,则NACE的度

数是（ ）DCA.20°B.35°C.40° D.70°.若实数m、n满足等式|m-2|+'，F—4=0,且m、n恰好是等腰^ABC的两条边的边长，TOC\o"1-5"\h\z则^ABC的周长是（ ）A.12 B.10 C.8D.6.若等腰三角形的一个外角等于140°,则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）A.40° B.100° C.40°或70° D.40°或100°.如图，已知DE〃BC,AB=AC,N1=125°,则NC的度数是（ ）A.55°B.45°C.35° D.65°.如图，^ABC中，AD±BC,AB=AC,ZBAD=30°,且AD=AE,则NEDC等于（）A.10°B.12.5°C.15° D.20°二、填空题.等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为^.一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm,则它的周长为cm..已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为 ..如图，4ABC中.点D在BC边上，BD=AD=AC,E为CD的中点.若NCAE=16°,则NB度.BDEC.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的特征值〃，记作k，若k=2，则该等腰三角形的顶角为 度.三、解答题.如图，点D、E在AABC的BC边上，AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE..如图，4ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E,CE=CD,(1)求证:DB=DE.(2)在图中过D作DFXBE交BE于F,若CF=4,求^ABC的周长.J3 CE第2课时一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）A.1，1，2 B.1,1,3C.2,2,1 D.2,2,5.在4ABC中，其两个内角如下，则能判定^ABC为等腰三角形的是（ ）A.ZA=40°,ZB=50B.ZA=40°,ZB=60°C.ZA=40°,ZB=70D.ZA=40°,ZB=80°.如图，在^ABC中，NA=36°,NC=72°,点D在AC上，BC=BD,DE〃BC交AB于点E,则图中等腰三角形共有（ ）AA.3个B.4个 C.5个D.6个.如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A,B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得^ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）瓦//ATOC\o"1-5"\h\zA.6 B.8C.9D.10.下列条件中，不能判定^ABC是等腰三角形的是（ ）A.a=3,b=3,c=4 B.a：b：c=2：3：4C.ZB=50°,ZC=80° D.ZA：ZB：ZC=1：1：2.已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在^ABC所在平面内画一条直线，将^ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A.5条B.6条C.7条D.8条.下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ）A.有两个角等于60°的三角形

.有一个外角等于120°的等腰三角形C.三个角都相等的三角形D.边上的高也是这边的中线的三角形.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且^ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（ ）个.A.8B.9 C.10D.11二、填空题.如图，在^ABC中，NACB=90°,NBAC=40°,在直线AC上找点P,使^ABP是等腰三角形，则NAPB的度数为 ^A C.如图已知OA=a,P是射线ON上一动点，NAON=60°,当OP=时，4AOP为等边三角形.PP.V.如图，在3X3的网格中有A、B两点，任取一个格点E,则满足4EAB是等腰三角形的点E有个.I 1 1 1I 1 1 1X L=.在^ABC中，NA=80°,当NB= 时，4ABC是等腰三角形..如图，下列4个三角形中，均有AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）.

三、解答题.如图，BD是4ABC的角平分线，DE〃BC交AB于点E.(1)求证:BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长.15.已知：如图，AB=AC,NABD=NACD,求证：BD=CD.第3课时一、选择题1.如图NAOP=NBOP=15°,PC〃OA,PD±OA,^PC=10,则PD等于()

A.10 B.5,3C.A.10 B.5,3C.5D.2.5A.15°B.A.15°B.30°C.45°D.60°2.如图，在RtAABC中，NC=90°,AB=2BC,则NA=( )ZA=30°,BC=4cm,则AB等于()ZA=30°,BC=4cm,则AB等于()ZC=90°,3.如图，在RtAABC中，A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm.如图，在等边AABC中，BD平分NABC交AC于点D,过点D作DE，BC于点E,且AB=6,则EC的长为（ ）A.3 B.4.5C.1.5D.7.5TOC\o"1-5"\h\z.AABC中，NA：NB：NC=1：2：3,最小边BC=3cm,则最长边AB的长为( )A.9cmB.8cm C.7cm D.6cm.如图，在^ABC中，NACB=90°,CD是高，NA=30°,AB=8,则UBD=( )A.2B.3 C.4D.6.某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）

A.450a兀 B.225a兀C.150a兀D.300a兀.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=6m,NA=30°,则DE等于（ ）A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m二、填空题.在RtAABC中，NA=30°,NB=90°,AC=10,则UBC=.如图，在^ABC中，NACB=90°,NA=30°,以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AB于点D,若CB=4,则BD的长为^.如图，在RtAABC中，NC=90°,NABC=60°,AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E,若CE=2,则AB的长为12.已知等腰三角形的底角为15°,腰长为8cm,则腰上的高为13.如图，在AABC中，NB=NC=60°,点D在AB边上，DE，AB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于三、解答题.如图，在4ABC中，BA=BC,NB=120°,线段AB的垂直平分线MN交AC于点D,且AD=8cm.求：(l)ZADG的度数；(2)线段DC的长度..某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°,求：(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里.(2)小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由."匕 小北参考答案第1课时.解：•・•等腰三角形的顶角为50°,.•.这个等腰三角形的底角为：(180°-40°)：2=70°,故选：B..解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；故选：D..解：•.•AB〃CD,Z1=ZACD=65°,VAD=CD,ZDCA=ZCAD=65°,Z2的度数是：180°-65°-65°=50°.故选：A..解：TAD是^ABC的中线，AB=AC,NCAD=20°,工ZCAB=2ZCAD=40°,ZB=ZACB=2(180°-ZCAB)=70°.TCE是^ABC的角平分线，ZACE=2ZACB=35°.故选：B..解：T|m-2|+；门一建0,•m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,当m=2作腰时，三边为2,2,4,不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2,4,4,符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10.故选：B..解：①若顶角的外角等于140°,那么顶角等于40°,两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°,那么底角等于40°,顶角等于100°.故选：D..解：TN1=125°,•ZADE=180°-125°=55°,•「DE〃BC,AB=AC,AAD=AE,ZC=ZAED,AZAED=ZADE=55°,XVZC=ZAED,AZC=55°.故选：A..解：•二△ABC中，AD±BC,AB=AC,NBAD=30°,・・.NDAC=NBAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）,VAD=AE（已知），AZADE=75°AZEDC=90°-ZADE=15°.故选：C..解：•・•等腰三角形底角相等，・•・180°-50°X2=80°,，顶角为80°.故填80°..解：①当腰是4cm,底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.②当底边是4cm,腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm.故填22..解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°,当50°为底角时，其他两角为50°、80°,所以等腰三角形的顶角为50°或80°.故答案为：50°或80°..解：•「ADuAC,点E是CD中点，AAEXCD,AZAEC=90°,AZC=90°-ZCAE=74°,VAD=AC,AZADC=ZC=74°,VAD=BD,A2ZB=ZADC=74°,AZB=37°,•「△ABC中，AB=AC,AZB=ZC,1二•等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值〃，记作k,若k=2,AZA：ZB=1：2,即5ZA=180°,AZA=36°,故答案为：36.14.证明：如图，过点A作APXBC于P.「AB=AC,ABP=PC；「AD=AE,ADP=PE,ABP-DP=PC-PE,ABD=CE.15.(1)证明：:△ABC是等边三角形，BD是中线，ZABC=ZACB=60°.NDBC=30。（等腰三角形三线合一）.XVCE=CD,ZCDE=ZCED.XVZBCD=ZCDE+ZCED,AZCDE=ZCED=2ZBCD=30°.AZDBC=ZDEC..\DB=DE（等角对等边）;工VZCDE=ZCED=2ZBCD=30°,ZCDF=30°,VCF=4,DC=8,VAD=CD,.*.AC=16,.'.△ABC的周长=3AC=48.第2课时.解：A、♦・F+1=2,・••本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B、,•F+1V3,・••本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；C、♦・F+2>2,且有两边相等，，本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确;D、•••2+2<5,・••本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；故选：C..解；当顶角为NA=40。时，ZC=70°^50°,当顶角为NB=50。时，ZC=65°^40°所以A选项错误.当顶角为NB=60。时，ZA=60°^40°,当NA=40°时，NB=70°W60°,所以B选项错误.当顶角为NA=40。时，ZC=70°=ZB,所以C选项正确.当顶角为NA=40。时，ZB=70°^80°,当顶角为NB=80°时，NA=50°W40。所以D选项错误.故选：C..解：\•在^ABC中，AB=AC,ZA=36°,.*.ZABC=ZC=2 =72°,4ABC是等腰三角形,•「BD平分NABC,ZABD=ZDBC=36°,VDE/7BC,AZEDB=ZDBC=36°,ZABD=ZEDB=ZA,.*.AD=BD,EB=ED,IPAabd和Aebd是等腰三角形，ZBDC=180°-ZDBC-ZC=72°,AZBDC=ZC,.\BD=BC,即ABCD是等腰三角形，VDE#BC,ZAED=ZABC,ZADE=ZC,ZAED=ZADE,.\AE=AD,即4AED是等腰三角形.・••图中共有5个等腰三角形.故选：C.

.解：如图，分情况讨论：：।।17Z①AB为等腰4ABC的底边时，符合条件的C点有6个；②AB为等腰4ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.故选：D..解：A、：a=3,b=3,c=4,/.a=b,••.△ABC是等腰三角形；B、：a：b：c=2：3：4•aWbWc,二△ABC不是等腰三角形；C、：NB=50°,NC=80°,AZA=180°-ZB-ZC=50°,AZA=ZB,AAC=BC,二△ABC是等腰三角形；D、：ZA：ZB：ZC=1：1：2,VZA=ZB,AAC=BC,二△ABC是等腰三角形.故选：B..解：如图所示:当BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形.故选：C.且G? CffC.解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确.故选：D..解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个.所以符合条件的点C共有9个.故选：B.1 1r 1B**，..解：•「在RtAABC中，NC=90°,NA=40°,.•.当AB=BP1时，NBAP1=NBP1A=40°,当AB=AP3时，NABP3=NAP3B=2ZBAC=2X40°=20°,工当AB=AP4时，NABP4=NAP4B=2X(180°-40°)=70°,当AP2=BP2时，NBAP2=NABP2,AZAP2B=180°-40°X2=100°,AZAPB的度数为：20°、40°、70°、100°.故答案为：20°或40°或70°或100°..解：•.•AON=60°,.•.当OA=OP=a0t，AAOP为等边三角形.故答案是：a..解：如图，32,_」区一_|仁羲；满足4EAB是等腰三角形的点E有5个，故答案为：5..解：•.•/A=80°,•①当NB=80°时，^ABC是等腰三角形；②当NB=(180°-80°)：2=50°时，^ABC是等腰三角形；③当NB=180°-80°X2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°..解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形〃，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°,36°,108°和36°,72°72°,能;②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°,72,72°和36°,36°,108°，能.故答案为：②.(1)证明：•「BD是4ABC的角平分线，ZEBD=ZCBD.「DE〃BC,ZEDB=ZCBD.

AZEDB=ZEBD.ABE=DE.（2）VAB=BC,BD是^ABC的角平分线，AAD=DC.•「DE〃BC,ADE=5.15.证明：连接BC.VAB=AC（已知），・•.N1=N2（等边对等角）.又NABD=NACD（已知），AZABD-Z1=ZACD-Z2（等式运算性质）.即N3=N4.ABD=DC（等角对等边）.第3课时.解：•.•PC〃OA,.•・ZCPO=ZPOA,VZAOP=ZBOP=15°,AZAOP=ZBOP=ZCPO=15°,过点P作ZOPE=ZCPO交于AO于点E,则△OCP/^OEP,APE=PC=10,VZPEA=ZOPE+ZPOE=30°,APD=10X==5.故选：C.

3OEDj*■.解：•「在RtAABC中，NC=90°,AB=2BC,即BC=2AB,AZA=30°,故选：B..解：•「在RtAABC中，NC=90°,NA=30°,BC=4cm,.•・AB=2BC=8cm,故选：B..解：•「△ABC是等边三角形，AZC=60°,AC=AB=BC=6,「BD平分NABC交AC于点D,ACD=2AC=3,VDEXBC,AZCDE=30°,「EC=2CD=1.5.故选：C..解：设NA、NB、NC分别为k、2k、3k,则k+2k+3k=180°,解得k=30°,2k=60°,3k=90°,二•最小边BC=3cm,，最长边AB=2BC=2X3=6cm.故选：D..解：.CD是高，AZBDC=90°,VZACB=90°,ZA=30°,AZB=60°,BC=2aB=?X8=4,.•・NBCD=30°,ABD=2BC=2,故选：A..解：如图，作BH±AC于H,则NABH=180°-NBAC=30°,在RtAABH中，BH=2AB=10,所以SAABC=2X10X30=150,所以购买这种草皮至少需要150a元.故选：C.5 C.解：•・•立柱BC、DE垂直于横梁AC,.BC〃DE,VD是AB中点，.AD=BD,.AE：CE=AD：BD,.AE=CE,.DE是^ABC的中位线，ADE=2BC,在RtAABC中，BC=2AB=3,ADE=1.5.故选：A..解：VNA=30°,NB=90°,・•.BC=2AC=5,故答案为：5.10.解：如图，过C点作BD的垂直平分线交BD于点E,•.•在4ABC中，NACB=90°,NA=30°,BC=4,AZBCE=ZA=30°,BE=2BDABE=2.•.BD=2BE=4故答案为：4.11.解：•・•在RtAABC中，NC=90°