高等机构学第三章

第三章机构的结构理论本章介绍机构的组成理论，空间开链与空间闭链机构的自由度计算方法，平面机构的结构分析，运用图论讨论平面运动链的结构综合，介绍空间运动链的型综合，为机构类型的创新设计提供理论基础。3-1机构的组成理论机构是表示机器组成情况和运动特征的数学模型。机器中的运动部件转化为机构中的构件，机器中各运动部件的可动连接转化为机构中的运动副。这种表明机器组成和运动情况的数学模型以机构运动简图的方式出现。这样大大简化了机械的设计与分析的步骤，也促进了机构学的迅猛发展。机械种类繁多，结构复杂，特别是机械装置与电子装置、机械技术与液压技术、气动技术、传感技术、光电技术、控制技术的互相渗透结合，已形成机电一体化的高科技的系列化机械产品c传统机械中的刚性运动部件有时可以被流体、弹性体、挠性体、磁场、电场等取代，所以，构件已不单纯为刚性体。但本书的研究范围仍把构件局限在刚性体范畴之内。无论科学技术如何发展，机械是水存的。机械运动实现的主要手段仍以机械装置为主，所以，本书仍以刚性构件组成的机构为研究对象。1．运动副的自由度如图3—1所示，一个构件在三维空间中有6个自由度，分别是绕3个坐标轴的转动和沿3个坐标轴的移动。当用运动副把两构件连接时，构件的运动就会受到运动副的约束作用。运动副的种类不同，所提供的约束数目不同。圏3「】刚悴在三鳞

空间的自由度如果运动副提供6个约束，则被连接的构件将失去可动性，连接件与被连接件成为一个刚体。如果运动副提供0个约束，则被连接件仍保留运动的自由性，从而失去了连接作用。因此运动副所能提供的最小约束为Cmin=1，最大约束为Cmax=5。而运动副的自由度数为6圏3「】刚悴在三鳞

空间的自由度即f=6—C式中f为运动副的自由度;c为运动副提供的约束数。运动副的自由度在1~5之间。2．运动副的分类可以根据运动副提供的约束数日分类，也可以根据运动副的自由度数分类。两种分类方法行有特色，本书按运动副的自由度分类。（1）I类副：自由度f二1的运动副。I类副中，共提供5个约束，故C=5根据I类副所提供的相对运动形式，可分为图3—2所示的转动副（用R表示）、移动副（用P表示）利螺旋副（用H表示）。转动副中，只保留一个旋转自由度；移动副中，只保留一个移动自由度;在螺旋副中，由于螺旋的转动和移动线性相关，不是两个独立运动，故属于I类别。

（2） II类副：自由度f二2的运动副。II类副中，共提供4个约束，即C=4。根据II类副提供的相对运动形式•可分为图3—3所示的圆柱副（用C表示）和球销副（用S'表示）。圆柱副具有一个转动自由度和一个移动自由度。球销副具有两个转动自由度。（3） 111类副：自由度f二3的运动副。m类运动副中，提供3个约束，即C=3。3-3□类副种类（“创拄副口 球锚副印根据III类运动副提供的相对运动方式，

可分为图3—4所示的球面副（用S表示）、平面

副（用E表示3-3□类副种类（“创拄副口 球锚副印动，平面副允许二个移动和一个转动，销轴圆柱副允许二个转动和一个移动。（4）W类副：自由度f二4的运动副。W类副中，提供2个约束，即C=2。

根据W类副提供的运动方式，可分为图3—5所示的球槽副（用SG表示）和圆柱平面副（用CE表示）；球槽副允许三个转动和一个移动，圆柱平面副允许二个转动和二个移动。（5）V类副：自由度f二5的运动副，V类副中，提供1个约束.即C=1

何（何（＞）理槽制；（b）a柱平面副根据V类副的自由度特点，通常为空间点接触高副，球平面（SE）为其代表，提供三个转动自由度和二个移动自由度，如图3—6所示。表3—1详细列举了上述各类运动副的名称，结构．运动简图，自由度与约束数目。I4类别运动简囹^3-1运动剖分类農运功副运动副名称几表3—1详细列举了上述各类运动副的名称，结构．运动简图，自由度与约束数目。I4类别运动简囹^3-1运动剖分类農运功副运动副名称几何图賂转动副（罰Rcvahil?］画穆动副（P）PrisnuLicpairJftliciJpdrCylinilnralpair!il儿何图形运动简忍赛別T面副(E)Evenpair运动廳柱平面阎!il儿何图形运动简忍赛別T面副(E)Evenpair运动廳柱平面阎i弦｝Cwltnc.lkie^enpaih球ffiWfS1)!Slott&dapkencpair运苗劃妁虫球平面副(SE)Sphnircwnpair磔面副竹)旨詁嗚广耐阿讣在上述诸多的运动副中，常用的运动副主要有I类副中的转动副、移动副、螺旋副II类副中的圆柱副，111类副中的球面副，其他类型的运动副在工程中应用较少。二、运动链若干构件通过运动副的连接而组成的可动构件系统，称之为运动链。按构件是否封闭，将其分成闭链系统和开链系统，简称闭链与开链。1．闭链构成封闭环式的运动链，称为闭链。闭链中，每个构件上至少有2个运动副元素。闭链小有单环闭链和多环闭链，图3—7所示运动链为单环闭链与多环闭链的示意图。图3—7(a)中，ABCD构成平面单环闭链；图3—7(b)中，ABCD构成环路I,CDEFG构成环路II,故称之为双环闭链。图3—7(c)为空间单环闭链。

cBAlb)S3-7単环闭鑒与多环闊链cBAlb)S3-7単环闭鑒与多环闊链(Q平面单开闭琏；(h)平面取环闭链.(“空闾举环闭樋2.开链用运动副连接的构件没有构成守卫封闭的系统，称之为开链。开链中，有一个构建上仅有一个运动副元素。图3—8(a)为 J、空间开链；图3—8(b)为平面开链。按运动链中各构件的运动是平面运动还是空间运动，可把运动链分为平面运动链和空间运动链。圏3-^产式运动链

(叮竺问开铸门b)平向奔琏图3—7(a)、(b)，国3—8(b)为平面运动链，图3—7(c)和图3—8(a)为空间运动链。平面运动链中，运动副的自由度一般小于或等于圏3-^产式运动链

(叮竺问开铸门b)平向奔琏把运动链中的一个构件固定，该运动链成为机构。根据运动链是否封闭的特征，机构可以分为闭链机构和开链机构；根据构件的运动情况，机构可以分为平面机构和空间机构。1．闭链机构选择闭式运动链中的某个构件为机架，则该运动链成为闭链机构。闭链机构分为单环闭链机构和多环闭链机构。单环闭链机构：机构中各构件组成一个封闭形。图3—lo(a)所示机构为单环机构。单环机构中，构件N与运动副P相等.即NP.图3-9特蘇甲血运刮縫图图3-9特蘇甲血运刮縫图—10闭储机舗(&)单评机构；(b)双环闭椎机构多环闭链机构:在单环机构的基础上，连接P-N=1的运动链。就组成具有多个封闭环的机构，团3—10(b)所示机构为双环闭链机构。因此，机构的环数L，构件N和运动副P有如下关系：L=1+P-N单环机构中，出于P=N故L=1，N为机构中所有构件数之和。2.开链机构具有固定构件的计式运动链。开链机构中，活动构件数目n和运动副数目相等。图3—11所示机械手为开链机构。在研究开链机械手机构时，一般不将夹持手指的动作自由度计算在内。3—2机构的自由度平面机构自内度的计算公式已在机械原理课程中得到充分说明活动构件的数目、低副数目和高副数目有关，其公式如下：F=3n-2pl-ph式中M为机构中可动构件数目；Pj为低副数日；Ph为高副数目。本章重点讨论空间机构的自由度计算问题s在空间机构中，由于构件在二维空间内运动而且运动副的种类较多，其自由度公式明显不同于平面机构的自由度公式，讨论如下一、空间闭链机构的自由度在空间闭链机构中，每个可动构件在三维空间有6个自由度，如该机构有n个可动构件则自由度总数为6n。当各构件之间用运动副连接后，构件的运动就会受到运动副的约束。其中：每个I类运动副提供5个约束，剩有1个自由度。若机构中有P1个I类副，将提供5p1个约束。每个II类运动副提供4个约束，剩有2个自由度。若机构中官p2个II类副，将提供4p2个约束。每个III类运动副提供3个约束，剩有3个自由度。若机构中有p3个III类副，将提供3p3个约束。每个W类运动副提供2个约束，剩有4个自由度。若机构中有p4个W类副，将提供2p4个约束。每个V类运动副提供1个约束，剩有5个自由度。若机构中有p5个V类副，提供1p5个约束。机构自由度应为各可动构件自由度之和减去各类运动副提供的约束总和。即F=6n-(5P1+4p2+3P3+2P4+P5)=6n-[(6p1-p1)+(6p2-2p2)+(6p3-3p3)+(6p4-4p4)+(6p5-5p5)]=6n-6工pi+工iPii=1 i=1工pz-为机构中各类运动副的数目之和。令i=1p=工Pii=1工ip：为机构中各类运动副的自由度数目之和。令i=1工f=工ip：i=1 i=1则F=6n-6p+艺托=6(n-p)+艺fi=1ii=1空间机构的一般自由度计算公式为3-1)F=6(n-p)+3-1)i=1式中，n为可动构件数目；p为各类运动副数总和；另f为各类运动副自由度数目总i=1和。二、空间开链机构的自由度在开链机构中，可动构件数目与运动副数目相等。即有n=p，将其代人式(3—1)中，可推导出开链机构的自由度计算公式：3-2)i=1式(3—2)说明，开链机构的自由度等于机构中各类运动副自由度数目之和。例3—1计算图3—12所示机械手机构的自由度。

解：该机械手为一个空间开链机构，由4个转动副、1个移动副和1个圆柱副组成。F=丈f.=4+1+2=7i=1开链机构中的自由度数目较多，因此所需要的原动件数目也多。但随着微机控制技术的发展，对多自由度的控制方法也日益成熟。自动控制手段的发展促进了多自由度机构的发展。开链机构在各类机械手装置中得到广泛应用。开链机构的缺点是承受载荷大时，构件的弹性变形会影响运动精度；在机构的奇异位置时，出现难以控制的情况。随着控制技术的提高，这些问题正在得到解决。三、单环闭链机构的自由度计算单环闭链的结构特点为运动副数目等于构件数目，即P-N=0。固定其中一个构建为机架后，其活动构件数目n=N-1。单环闭链机构的结构特点为P-n=1。将其代入式(3—1)后.可得到单环闭链机构的自由度公式：F=丈F-6(3-3)例3—(3-3)例3—2计算图3—13所示R3C机构和SC2R机构的自由度。图3-13R3C与5C施机构R3C-⑻解：图3-13(a)F二工fi-6二1+3x2-6二1i=1图3-13(b)F=1Lfi-6=3+2+2-6=1i=1四、计算机构自由度应注意的事项在一些机构中，由于运动副位置的特殊布置或者机构中的特殊几何约束条件的存在．使得机构自由度发生了变化，在计算机构自由度时，要加以考虑。1．公共约束机构中所有构件都受到相同的约束时，它们将失去相同的基本运动。把各构件共同失去的相同的基本运动数，称公共约束，常用m表示。在式(3-3)中，F=Yf.相当于开链Ca)图374机构拆副示意图

Ca)图374机构拆副示意图

g闵苗机构；仆)开链机构机构自由度。也就是说，把闭链机构中的末杆拆开后，就得到一个开链机构，参见图3—14。当把开链机构变为闭链机构时，开链的末杆必将失去原有6个自由度，故有F=Yf.-6。而当机构受有公共约束m时，末杆也受有相同的公共约束数m。所以，末i=1杆真正的自由度为九=6—m。考虑到公共约束后，机构自由度公式应为F=Yfi-(6-m)i=1F=Yfii=1F=Yf.一6+mi=1式中工f相当于把闭链机构之末杆拆开后的开链机构自由度；九为未杆自由度；m为.=1该机构的公共约束。公共约束的判别原则：

公共约束仅存在于运动副特殊布置场合，其判别方法多种多样，但是还缺少简单易行的判别方法，许多机构学家仍然在对其进行深入研究。本书只讨论最常见的、最简单的情况。(1)作平面运动的机构，各构件受到3个公共约束，即m=3。图3—15所示平面机构中，所有构件都失去了沿z轴的移动、绕x轴和y轴转动的自由度，只保留绕z轴的转动，沿自由度，只保留绕z轴的转动，沿x轴和y轴移动，故m=3。R13-15平而机构的公共约束曲祈猜块机徇；挾讎口杆机枸机构中各转动副的轴线平行。由于各转动副的轴线平行，各构件将失去两个转动和一个移动自由度，公共约束m=3.机构中各转动副的轴线相交一点。由于各转动副的轴线相交于一个公共点，各构件均失去3个移动功能，故公共约束m=3。在—般情况下，公共约束的判别方法比较复杂，可用直观判断方法分析末杆的自由度。末杆的自由度九分为末杆的转动自由度叽和移动自由度\之和。X=X九，苴中九＜3，九＜3。Xp=pp+prX=XXXR+ppXp=pp+prX=XXXR+pp+PR移动自由度Xpp的判别：转动副的轴线全部平行，由于矢量共线，Xpp=1，转动副的转动自由度XR的判别：转动副的轴线全部平行，由于矢量共线，XR=1，转动副的轴线平行两个不同方向，由于矢量共面.XR移动自由度Xpp的判别：转动副的轴线全部平行，由于矢量共线，Xpp=1，转动副的轴线平行两个不向方向.由于矢量共面，Xpp=2，否则Xpp=3。转动派生的移动自由度XpR的判别：肖XpR＜3时，应分析XpR的数目。 一般说来，PRPR当构件绕两个平行轴线转动时，派生出一个转动白由度，即XpR=1当构件绕三个平行轴线转动时，派生出二个转动白由度，即XpR=2；如两种派生速度矢量不共面，XpR=3；X的分析比较复杂，涉及到构件的转动是否线性相关，需利用矩阵求秩数的方法判断。PRPR例3—3求图3-16所示2BH2R机构和4P机构的自由度。

R卜RJ?国U2RH2R和4卩机构(a)2RH2H.KL^it-b)4F机环解：图3—16(a)九R卜RJ?国U2RH2R和4卩机构(a)2RH2H.KL^it-b)4F机环解：图3—16(a)九R=3，九PP=1F=为f—九=5—3—1=1。i=1图3—16(b)九pp=3,九R=0F=为fi-九=4-3=1。i=1例3-4计算图3-17所示Sarrus机构的自由度。解：九R=2，九PR=3，丈x=6—5=1。i=12•消极自由度fp由于机构结构的特殊几何条件，使机构中原有自由度中的一些不起运动学作用，称之仙 ㈤-18消极口击度示例〔心甞有一个球由副的平而洱杆机构匚

th)转动副轴线用犬于一点的四軒机掲为消极自由度，用fp表示。在计算自由度时，应减去消极白由度。图3—18所示机构为消极白由度示例。图3—18(a)中，由于运功副4、D、c、D共面，D处球面副中，只有一个转动副起作用，故存在两个消极自由度。图3—18(b)中，A、D轴线交于一点0,B点的球面副转化为以BO为轴线的转动副，C处的销铀球面副相当于以C0为轴线的转动副，故B处存在二个消极约束，C处存在一个消极约束。例3—5计算图3—19所示的R3C机构自由度(I轴平行II轴)。解：由于I轴平行II铀，构件2、3不可能绕III、W轴线转动，故C、D处的回柱副各失去一个转动，fp=2。

3．局部自由度ft机构中不影响机构运动的自由度，称局部自由度，以ft表示。在计算机构自由度时，应减去局部自由度。局部自由度一般出现在两转动副轴线共线布置，或者两移动副导路平行布置的机构中。图3—20为出现局部自由度的示例。EJ3-20局部口由度（3）样件两塢为理面副；（时杆件阳轴为竦面创削活动則；（JH41两端为球面斟和I®柱耶】（町两權动副导時平行匚（e）两班桂副辱路平行；⑴［HOJff移动副导跚平存，图3-20（a）中，构件2绕自身轴线的转动不影响构件1、3的运动，故为局部自由度。综上所述，单环闭链机构自由度公式应为：F二込fi-(6-m)-fp-f (3-5)i=1例3-6求图3-21所示的6PSPS并联机构的自由度。解：F=6(n-p)+另f.-fti=1n=6+6+1=13，p=6+6+6=18刀f.=6x3+6x3+6=42，f=6i=1F=6x(13-18)+42-6=6五、多环闭链机构的自由度在计算多环机构自由度时．有时可能出现虚约束。当两环的封闭约束条件完全相同时，将出现虚约束，以九o表示虚约束。在计算机构自由度时，必须减去该虚约束。因此，多环闭链机构自由度公式应为F=Y/—（艺九.一九），即F=YF九.+九 （3—6）i io i ioi=1 i=1 i=1i=1当考虑以上各项注意事项后，上述计算公式则成为F=^f—艺九厂f—ft+九。 （3一7）i=1 i=1式中为九i为各闭环中末杆自由度。i=1例3—7计算图3—22所示机构的自由度解：构件6_1一2一5一6组成闭环机构［，构件6一5一2一3一4一6组成闭环系统II。工fi=4+2+2x3=12i=1环路I中，由于B、C、D三处运动副轴线交汇一点，相当于球面副，故九=3，D处存在消极约束，fp=1。环路II中，九=6，但构件3存在局部自由度，f=1，则F=12—3—6—1—1=1。例3-8计算图3-23所示RSS4R机构自由度，4R轴线平行3-22券环用链机闺自由度解：工f=11，环数L=1+p—N=1+7—6=2i=1环I中，构件2有一局部自由度，/="=6。环II中，各转动副轴线平行，，R=1，PRF=11—6—3—1=13—3平面机构的结构分析机构的结构分析对于了解机构的组成和机构的创新设计有重要意义。一、杆组由机械原理可知，机构具有确定运动时，机构自由度等于机构中的原动件数目。换句话说，把机构中的原动件和机架去掉后，所剩余的运动链的自由度为零。而自由度为零的运动链有时还可分解为自由度为零的基本运动链，井称之为杆组。1．杆组的结构假设机构中的高副已用低副代替，这样就可以抛开高副机构而专门讨论由低副组成的杆组．杆组自由度为F=3n一2pl=0构件数目n必为偶数，运动副数目才能为整数。故有n=2,4,6,8…；pl=3,6,9,12…II级杆组。当n二2,pl二3时，该杆组称之为II级杆组，11级杆组的基本型如图3一24所示。II级杆组中，有一个内接副，二个外接副。内接副可以是转动剧，也可以是移动副，同理，外接副可以是转动副，也可以是移动副，图3-24中，6为内接副，A、C为外接副。(2)III级杆组。当n二4,pl二6时，有3个内接副的杆组.称为III级杆组，111级杆组的基本型如图3—25所示。图3—25(a)中，内接副为三个转动副A、B、C；图3—25(b)中，内接副为三个移转副A、B、C图3—25(c)中，内接副为三个转动副A、B、C,外接副为三个移动副。箜「勢皿级杆组3内接附酋播型臥外楼副为转刘副I⑹内按阳肯移动3L外按調为转动Sh

fiIII级杆组中，有3个内接副和三个外接副。内接副和外接副可以是转动副，也可以是移动副。⑶W级杆组。当n=4,Pl二6fiIII级杆组中，有3个内接副和三个外接副。内接副和外接副可以是转动副，也可以是移动副。⑶W级杆组。当n=4,Pl二6时，且有4个内接副的杆组，称W级仟组。团3—26为W级杆组示例。图3—26(a)中，转动副E、F为外接副。该杆组尽管还可以分为两个II级杆组，见图3—26(b)所示，但该杆组所组成的机构，在进行结构分析时，却不能拆出II级杆组，若硬拆下II级杆组，剩余部分则不能成为机构，不圈3-2£U圾什粗3[V圾杆堆*汁)杆蛆再甘符合机构组成原理。只能把n=4,pl=6的杆组看成一个运动链处理，并称这种杆组为W级杆组。这一点可用图3-27说明。根据机构组成原理，拆掉一个杆组后，剩余部分或是一个机构，或剩下原动件。而图3-27(b)中，拆下一个II级杆组ADF后.剩余部分既非机构，又非原动件。故上述杆组只能按W级杆组处理。对于n=6,pl=9的杆组，可8 C U能是III级杆组，也可能是W级杆组,图1厂右IX簸杆缆组胧的机恂

｛討W级处构；厲〕吐渥拆井或是V级杆组等等。由于结构的多样性，要具体情况具体分析.图3—28为n=6,pl=9的杆组示例图。(O ⑹ (0圈捋“&山=9的杆坦⑴耳序TH瓯杆甑：⑸W乐杆纽i:卩卜屮级杆姐图3—28(a)为双序III级杆组；图3—28(b)为W级杆组多级杆组应用较少，故不作过多的介绍。2.杆组的基本条件杆组的分类方法很多，但必须满足下列基本要求。杆组要满足3n-2pl=0杆组要满足运动的确定性。即杆组外接副与已知运动的构件连接时，杆组中每个件的运动都是确定的。杆组要满足静力的确定性。即杆组中各运动副中的约束反力可通过杆组各构件的力平衡方程求解。因此，杆组对运动分析，受力分析有指导作用。3．杆组的推广上述杆组理论可推广到空间机构中去。以无公共约束或无特殊几何约束的空间机构的空间季候为例来说明杆组的推广。对平面杆组：3n-2pl=0对空间杆组：6n-(5P]+4p2+3p3+2p4+p5)二0或者6n-C=0,C为杆组中各运动副的约束总数。C二5pi+4p2+3p3+2p4+p5以图3-29为例说明杆组的静定条件。圉圉1-29红制料塑3；住同阡型冷疫何杆覩空团3-29(a)中，6n一C=6x5一5x6=0，共有5个构件，6个转动副，每个转动副提供5个约束。图3—29(b)中，有2个构件，3个运动副。球面副5提供3个约束。圆柱副C提供4个约束，转动副R提供5个约束，故有6n-C=6x2-3-4-5=0二、机构的结构分析把机构分解为原动件和基本杆组的过程，称为机构的结构分析。图3—30(b)说明了以构件1为原动件时的机构结构分析的过程。若以构件7为原动件，则拆出一个III级杆组和一个II级杆组，该机构成为III级机构。图3—30(c)所示过程为构件7为主动件时的拆杆组过程。IK3-3O机构的站构分柄£韵机构示例；件i为(c)梅件了为原话畔机构结构分析的过程就是按照一定规律和次序拆除杆组的过程，同机械原理课程内容相近，这里不再论述。3—4平面运动链的结构综合平面机构的结构综合分为两类问题。一类是为获得某种运动的变换，所使用的机构应该由多少构件以及哪种类型的运动副所组成，该问题称之为机构的型综合，又称机构的选型没计；另一类问题是研究由一定数量的构件和一定类型的运动副可以组成一定自由度的运动链的数目。一般称之为机构的数综合，数综合是一种机构枚举学。一、结构综台的基本理论在进行类型综合时，以全转动副的低副运动链最具有代表性．所以，本节内容是建立在单自由度的全转动副的低副机构的基础上，其他类型的机构可通过机构演化方式获得。内平面机构的结构特点可知，杆组的结构公式为3n一2p=0而运动链的结构公式为3n一2p=4例如，在图3—31(a)所示杆组中，n=27,P=3,满足杆组的结构公式，在图3—31(b)所示四杆运动链中，n=4,p=4，满足平面运动链的结构公式。因构件数必须为整数，所以运动链中的构件和运动副关系如下：n二4,p二4n二6,p=7图3-31杆齟与运动痔的结构

(■)【I红杆麹*讣)库动着n=8,p=10前面已涉及到运动链的环数、构件数和运动副之间的关系：3一8)而3n-2p=4。连理求解以上的关系式，则有3-9)L二--13-9)2-=2,L=0，不能构成运动链，当然也无闭环;-=4,L=1，构成四杆运动链，仅有一个闭环;-=6,L=2，构成六杆运动链，有二个闭环；-=8,L=3，构成八杆运动链，有三个闭环;-=10,L=4，构成十杆运动链，可形成四个封闭环。根据式3-8和式3-9可知：四杆运动链中，L=1,-=4,p=4。六杆运动链中，L=2,-=6,p=7。八杆运动链中，L=3,-=8,p=10。十杆运动链中，L=4,-=10,p=13。六杆运动链，可认为是在四杆运动链上连接一个II级杆组获得的，共有图3—32所示的两种结构。图3—32(a)中，11级杆组叠加在两相邻构件3、4上，图3—32(b)中，11级杆组叠E3-326杆运功谁基本结梅2)Wail出掘动(b>Stephens运动琏加在两个不相邻构件1、3上。若改变II级杆组的叠加构件，仍是上述基本型，不会出现新方案。同理，在3—32(a)、(b)两图上再叠加II级杆组，可得到16种8杆运动链的基本型。对于10杆运动链，则有230种基本型。为探讨运动链的组合规律，一般应用图论的基本知识进行分析和研究。二、图论的基本知识将图论这一数学方法引入到运动链的结构综合中，加速了机构创新设计的进程。以下对图论的基本知识作简单介绍。

图：由一系列边和顶点组成的相互连通的网络。顶：困中的两边连接点，称之为顶或节点，用匕表示。边：两顶点之连线，称为边，用e表示i顶和j顶之间的边。ij子图：一图是另一图的子集，称该图为子图。平面图：图中各边均在节点相交，其他处不相交，称之为平面团。完全连接图，图中节点与节点之间均有边连接，称之为完全连接图。因3—33所示均为图。图中顶点用圆圈中的数字表示，图(b)是图(a)的子图°(a),(b),(c)均为平面图，(d)因为完全连接图，而不是平面团。(X ①(X ①|£333開的表示方法(亦图；他)子图；3平硕⑹宝全连機團支路：一系列边的集合，图3—33(a)中，边1、2、6、7成为一支路。环路：支路封闭则形成环路，环路中，只能通过节点一次，不能重复，闯3—33(a)中，边1,2,3,4,5则形成一环路。文路长度：构成文路或环的边数.称支路长度。图3—33(a)中，闭环长度为5、支路1，2，6，7长度为4。关联矩阵，把图3—33(a)中的节点Vi作为短阵的行，把边ej作为矩阵的列，所得之矩阵称为关联矩阵，关联矩阵元素为mij，

mij=1，表示i边和j顶连接。mij=0表示i边和j顶无连接。图3—34(a)为一平面图。图中有6个顶点，7个边。关联矩阵如图3—34(b)所示。在确定关联矩阵元素时，可从节点①开始c例如，节点①与边1，6，7连接，则叫，m16，m17为1,节点②与边1,2连接，m21=m22=1，余者为零。m45=0，说明节点④与边5无连接。同构：当两个图具有相同的关联矩阵时，称之为同构：变换图：前一图的顶点对应后一图的边，称后者为前者的变换图。123467i10Q0:i11211D(10□(j30110&00斗00JJ0015aU(1110(111U0L]D图3—35中，(b)图为(a)图的变换图。图3—35(a)中，边1,5之间为顶点①，图3—35(b)中，顶点①⑤之间为边1图3—35(a)中，边1,2,7形成顶点②，图3—35(b)中，顶点①②⑦之间为边2。图3—35(a)中，边4,5,6形成顶点⑤，图3—35(b)中，顶点④⑤⑥之间为边5。图3—35(b)的边对应图3—35(a)的顶点.故图3—35(b)为图3—35(a)的变换图2①图3-務变换图图;(b)图5)的更换图三、图与运动链的变换运用图论的基本知识和分析方法，可把运动链的型综合转化为研究由一定数量的顶和边可组成多少种不同构的图的问题。在图中，顶点代表运动链中的构件，边代表运动副。而在图的变换图中，顶点代表转动副，边代表构件，此时的变换图就变成了运动链的图形。因此，变换图中的顶点、边与运动链中的转动副、构件则形成了一一对应的关系。在构图时，应注意以下原则：两顶点之间只能用一条边连接，因为两构件只能用一个运动副连接。由于一个构件不能与自身构成运动副，故一条边不能成封闭环，图3—36为正误示例。£囱0.T13-36£囱0.T13-36丽虚与边的连按3)正确连按：＜b)t#连罠M错*谢ftK3-37运功旌与圈的转携K3-37运功旌与圈的转携把运动链中构件n看作图中顶点v.把运动副p看做图中的边。节点数、边数和环数按下式计算。n3n-2p二4,L二--12顶点数v=构件数-，边数e=运动副数P。图中不能含有运动链中的衍架的变换图的于图。图3—37(a)中的运动链为瓦特(Watt)型，对应的因为3—37(b)。在Watt型运动链中-=6,p二7，在其对应图中，v=6,e=7。运动链中的构件1和构件2，6，4分别形成运动副①⑥⑦，图3—37(b)中,节点①和节点②⑥④，分别用边1，6,7连接。二者的--v，p—e有对应关系，研究图的变换就相当于研究运动链的变换。所构成的图一定是平面图，见图3—37(b)。将连接边数多的节点放置在图的上方，见图3—37(b)。外环尽量长．图形按顺序组合。四、构图示例下面以8杆运动链来说明型综合过程。图3—38所示为8杆运动链的型综合过程。在8杆运动链中，n=8,p二10,L=3。在图中，v=8,e=10,L=3，因此该图的最大长度为8,最小长度为4。当长度为8时，构成三个闭环的另外二边只有两种布置，故有二种图。参见图3-38(a)、(b)。当长度为7时，构成三个环路的另外三边连接方式参见图3当长度为6时，所构成的图形参照图3—38中的第3—4排。当长度为5时，所构成的图形参照图3—38中的第5排。可见n=8，p=10，L=3的运动链可构出16种图。可对应有16种运动链，如果通过改变不同构件为机架并进行运动副的演化，则可获得多种机构。五、平面机构的演化由型综合得到的运动链，可通过固定不向构件为机架或者转动副向移动副转化或者低副向高副演化．可获得多种实用机构。下面以6杆运动链为例说明。在图3—39(a)所示的瓦特型运动链中，若以构件AFG为机架，则可获得图3—39(b)所示机构，若将F处转动副演化成移动副，则可得到图3—39(c)机构，该机构获得了广泛应用。

£?-■」D£?-■」D[S3-39Wtui机构的損化zw酬运动側；a)⑴即机构；*｝束毎机拘的演化低副机构向高副机构的演化参见图3—40。c 门個) c 门個) (b>S3-+D低副机樹向岛副机阿的橫化

W弄抽机构；3闪血机构諷足为崗甜氏构图3—40(a)中，仍固定AFG，把BC件和DE件分别看作高副低代后的新增构件，返其高副原形，贝伪图中实线状况。演化的高副机构如图3—40(b)所示。如果把曲率中心E演化为大穷大，则还可派生出新机构。3-5空间运动链的型综合空间运动链的类型要比平面运动链复杂得多，所以本节只讨论低副运动链，而且是不存在公共约束的单环空间闭链。自由度F=1的单环空间闭链中，构件数n与运动副数p有如下关系：构件数门=运动副数p,且运动副数大于等于32P二P1+P2+P3+P4+P5-3各运动副的自由度之和等于7。f•—6=1可知，f•—6=1可知，£f=7。即i=1 i=1f=P1+2P2+3P3+4P4+5P5=7由于仅考虑低副机构，该机构没有W类副和V类副，则p4=0，p5=0，上述两关系

(3-(3-10)Pl+P2+P3>3Pi+2p2+3p3 (3-11)满足运动副的白由度总和为7，且运动副数大于3的组合原则时，上述两式的解共有8个．即运动剧种类的组合有8种、分别为：7p1:说明该运动链由7个I类副组成。5p1+p2:说明该运动链由5个I类副和1个II类副组成。4p1+p3:说明该运动链由4个I类副和1个II类副组成。3p1+2p2:说明该运动链由3个I类副和2个II类副组成。2p1+p2+p3:说明该运动链由2个I类副、1个II类副和1个III类副组成。p1+3p2:说明该运动链由1个I类副和3个II类副组成p1+3p3:说明该运动链由1个I类副和2个II类副组成2p2+p3:说明该运动链由2个II类副和1个III类副组成。表3-2表3-27冲屢动讎搂塑在各类运动副中，经常使用的主要有I类运动副中的转动副(R副)、移动副(P副)、螺族副(H副)；11类运动副中的圆柱副(C副)；111类运动副中的球面副(S副)。因此，仅7P]—项中，由三种不同的运动副(R畐I」、P副和H副)组合成含有7个运动副的运动链，可得到35种运动链