向量在立体几何中的应用同步课时训练-高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4向量在立体几何中的应用--高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册同步课时训练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为()A. B. C. D.2、已知平面内有一个点的一个法向量为,则下列点P中,在平面内的是()A. B. C. D.3、如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是()A. B. C. D.4、如图,正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是()

A．30° B．45° C．60° D．90°5、如图，在直三棱柱中，，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为()A. B. C. D.6、如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为()A. B. C. D.7、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.8、已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是()

A.-6 B.6 C.14 D.-149、已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为()A.2 B. C. D.10、在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是()

A. B. C. D.二、填空题11、在棱长为2的正方体中，M,N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.12、如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为30°，则AD的长为_____________.13、已知，，若，，且平面ABC，则_____________.三、解答题14、如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.(1)设P是的中点,求证:平面.(2)求二面角的正弦值.15、如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若，，，求二面角正余弦值.

参考答案1、答案：B解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、，易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角)设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，则，，，由余弦定理，得故选：B.2、答案：B解析：对于B,,则,所以,则点在平面内.同理可得,ACD不正确.3、答案：C解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，，，，所以，，设异面直线AB与CM所成角为，则.故选：C.4、答案：A解析：如图所示,以为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设，则.则，设平面的法向量为,则，可求得，则.∴，∴直线与平面所成的角为.故选A.5、答案：B解析：解法一取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D为BC的中点，，，，又，，，为直角三角形，，即异面直线AD与所成的角为，故选B.解法二易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即异面直线AD与所成的角为.故选B.6、答案：B解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.设平面的一个法向量为,则即令,则.点到平面的距离.7、答案：D解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则.所以.8、答案：A解析：,,故选A.9、答案：D解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，，所以，，.设平面BCD的法向量为，则即令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.10、答案：A解析：如图，设，则，，，，，，.故选A.11、答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，平面ABCD的一个法向量为,所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.12、答案：解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，，，，.设，则点D的坐标为，.设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为n，则由，解得（负值舍去），故.13、答案：解析：因为，所以，即，所以.因为平面ABC，所以，且，即解得所以.14、答案：(1)见解析(2)解析：(1)证明：取的中点O,连接.是正三角形,.∵平面平面,平面平面,平面.平面,.在中,,.又,为等腰三角形.是的中点,.平面,.平面平面,平面.(2)由(1)知,,∴四边形为平行四边形,,.以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则,,.设平面的法向量为,则即令,则,.设平面的法向量为,则即令,则,..,∴二面角的正弦值为.15、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为，所以.因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，

因为平面ABC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因为平面POD，所以，

又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.

因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，

因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.

又平面ODE，，

所以平面平面PAC.

又平面ODE，所以平面PAC.

（2）连接OA，

因为平面ABC，平面ABC，

所以，，

所以.易得在中，，

所以，，

又，

所以在中，.