平面向量基本定理 一课一练-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1平面向量基本定理1.已知e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是()A．e1与e1＋e2B．2e2与e1＋e2C．e1＋e2与e1－e2D．－3e1＋2e2与3e1－2e22．[2022·山东枣庄高一期末]平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，F在边DC上且DF＝2FC，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))3．[2022·江苏徐州高一期中]如图所示，在△OAB中，C是AB中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝________(请用a，b表示eq\o(OC,\s\up6(→))).4．如图所示，平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝eq\f(2,3)BC，AN＝eq\f(1,4)AB，试用向量a，b来表示eq\o(DN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→)).5.[2022·河北沧州高一期末]如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,8)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(5,8)eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\f(5,4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))C．－eq\f(7,8)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up6(→))D．－eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))6．[2022·湖南常德高一期末]如图所示，在长方形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．1D．eq\f(2,3)7．[2022·山东聊城高一期末]在△ABC中，D是BC中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(EC,\s\up6(→))，AD与BE交于G，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＝________．8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且AF＝3FC，记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)用向量a，b表示eq\o(AC,\s\up6(→))﹔(2)用向量a，b表示eq\o(EF,\s\up6(→)).9．[2022·广东顺德一中高一期中]在△ABC内有一点O，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，E为BC边的中点，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，以a、b为基底，试求下列向量表达式；(1)eq\o(OE,\s\up6(→))；(2)eq\o(DE,\s\up6(→)).10．[2022·重庆八中高一期中]如图，平行四边形ABCD中，已知eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝4eq\o(FC,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)用向量a和b表示向量eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))；(2)若eq\o(DO,\s\up6(→))＝xeq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))＝yeq\o(AF,\s\up6(→))，求实数x和y的值．11.[2022·山东德州高一期末]如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝3eq\o(EN,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(5,6)a＋eq\f(7,6)bB．－eq\f(5,6)a＋eq\f(7,6)bC．－eq\f(3,5)a＋eq\f(1,6)bD．eq\f(3,5)a＋eq\f(1,6)b12．[2022·山东菏泽高一期中]如图所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M.设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)试用向量a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝μeq\o(OB,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R.证明：eq\f(1,λ)＋eq\f(2,μ)为定值，并求出该定值．答案：1．解析：A选项：令e1＝λ(e1＋e2)，因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝1,λ＝0)))，无实数解，所以e1与e1＋e2不共线，故可以作为平面向量基底；B选项：令2e2＝λ(e1＋e2)，因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝0,λ＝2)))，无实数解，所以2e2与e1＋e2不共线，故可以作为平面向量基底；C选项：令e1＋e2＝λ(e1－e2)，因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝1,－λ＝1)))，无实数解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，故可以作为平面向量基底；D选项：易知－3e1＋2e2＝－(3e1－2e2)，即－3e1＋2e2与3e1－2e2共线，不能作为平面向量基底．故选D.答案：D2．解析：如图所示，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).故选A.答案：A3．解析：因为C是AB中点，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).又因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b).答案：eq\f(1,2)(a＋b)4．解析：由AN＝eq\f(1,4)AB，即eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b；由BM＝eq\f(2,3)BC，则eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)b.5．解析：eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(7,8)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up6(→)).故选C.答案：C6．解析：∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，即eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b，∴λ＝－eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(1,3).故选A.答案：A7．解析：设eq\o(BG,\s\up6(→))＝keq\o(BE,\s\up6(→))＝k(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)keq\o(AC,\s\up6(→))－keq\o(AB,\s\up6(→))，所以，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)keq\o(AC,\s\up6(→))，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1－k＝\f(1,2)λ,\f(1,4)k＝\f(1,2)λ)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,5),λ＝\f(2,5)))).答案：eq\f(2,5)8．解析：(1)由题可知：eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.(2)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(b＋eq\f(1,2)a)－eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,8)a＋eq\f(3,4)b.9．解析：(1)因为E为BC边的中点，由平行四边形法则知：eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→)).∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，∴eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))）))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b；(2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)－eq\f(1,4)a＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b.10．解析：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a－b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(4,5)b；(2)因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))＝yeq\o(AF,\s\up6(→))－xeq\o(DE,\s\up6(→))＝y(a＋eq\f(4,5)b)－x(eq\f(3,4)a－b)＝(y－eq\f(3,4)x)a＋(eq\f(4,5)y＋x)b＝b.即(y－eq\f(3,4)x)a＋(eq\f(4,5)y＋x－1)b＝0，因为a与b不共线，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,4)x＝0,\f(4,5)y＋x－1＝0)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,8),y＝\f(15,32)))).11．解析：因为eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝3eq\o(EN,\s\up6(→))，由正六边形的性质可知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OF,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OF,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(－eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(7,6)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(5,6)a＋eq\f(7,6)b.故选B.答案：B12．解析：(1)设eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb(m∈R，n∈R)，由A，M，D三点共线，可知存在α(α∈R，且α≠－1)，使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝αeq\o(MD,\s\up6(→))，则eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝α(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))，因为eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋α)a＋eq\f(α,2（1＋α）)b，由平面向量基本定理得eq\b\