任意角 教学设计-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1任意角内容及其解析1.内容：任意角2.内容解析本节课选自人教A版必修一第五章第一节，在学习本节内容之前，学生已经学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数函数，知道了函数的研究内容、过程和方法，本章将利用这些经验，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画，这样，在研究三角函数之前，有必要先将角的概念推广。通过本节课的学习，学生将进一步掌握任意角的概念，同时，还利用直角坐标系建立象限角的概念，使得任意角的讨论有了一个统一的载体，为以后三角函数的引入做准备，因此，本节课起着承上启下的作用。根据上述分析，可以确定本节课的教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角。目标及其解析结合实例体验角的概念推广的必要性；理解并掌握正角、负角、零角的定义；能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与ɑ角终边相同的角（包括ɑ角）的表示方法；能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、轴线角的概念，并能用集合和数学符号表示；通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力；通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法。问题诊断分析学生已经学习了集合语言，并对现实情境中“周而复始”现象较为熟悉，同时，具备了一定抽象概括能力，沟通交流能力，都为本节内容奠定了基础。但是，学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；同时，在学习了象限角的概念之后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角）会出现障碍，其原因是：对第一象限角是由无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步解释k·360°的运用特点。本节课的教学难点是任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角。教学支持条件分析在课件中插入动图，在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；动态地表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。教学过程设计创设情境，引入新知引导语：这节课我们开启新篇章：三角函数。首先，同学们打开章导语，有这样一副月相变化图：从新月到满月再到新月，就是月相变化的一个周期，这一周期为29.53天，称为朔望月，到了下月初一，又是朔，开启了新的循环。现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性。例如：地球自转、地球于太阳公转，月亮圆缺、潮汐变化等，数学中的圆周运动也是一种常见的周期性变化现象。问题1：如图，上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转。如何刻画点P的位置变化呢？OAPPOOAPPOA【师生活动】学生思考，教师引导：我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角，射线OA，OP分别是角的始边和终边，点P是终边OP与的交点．可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化。【设计意图】创设情境，以圆为载体研究周期性变化对理解角的扩充更有帮助。由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角。如果继续旋转，那么所得到的的角就超出这个范围了。所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围。引导探究，建构概念现实生活中随处可见超出范围的角。例如，摩天轮绕机械臂旋转一周半转过了540°，如果钟表快两个小时，应当将分针逆时针旋转720°，慢两个小时，应当将分针顺时针旋转720°。问题2：这些角有哪些不同，体现在哪几个方面？【师生活动】学生思考，得出结论：不同体现在旋转量和旋转方向。【设计意图】引导学生从生活实际出发用数学的眼光分析问题，归纳刻画角的两个方面——旋转量和旋转方向。1.角的概念类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。【数学情境】你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗？【设计意图】再次强调决定一个角的要素是旋转方向和旋转量。角的运算问题3：类比实数，思考下列问题：（1）你认为相等的两个角应该怎样规定？（2）两角相加又是怎样规定的？（3）你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？【师生活动】学生在独立思考的基础上进行交流。【设计意图】让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性。3.象限角角的范围扩充后，为了讨论的方便，我们通常在直角坐标系中研究角。角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。问题4：根据终边位置的不同，可以把角分为哪几类？【师生活动】学生经过思考不难得出：根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角。教师补充：如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，也称为轴线角。并展示象限角和轴线角的动态形成过程。【设计意图】让学生体会在直角坐标系中研究角是自然和合理的。问题5：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？【师生活动】学生举手作答：因为锐角是指大于且小于的角，所以锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角。【设计意图】让学生明确“锐角”“第一象限角”之间的关系，避免混淆。4.终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与角终边重合的角还有哪些？有多少个？【师生活动】学生讨论后作答：328°，688°，－392°，－752°；无数个追问：它们与角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？【师生活动】学生先独立完成，然后小组交流，教师引导学生用集合语言表述。追问：将推广到一般角，结论应该是什么？【师生活动】学生不难得出：.【设计意图】通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养。当堂训练，巩固深化例1在范围内，找出与－950º12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角。【师生活动】由学生给出答案，并要求学生说出解答步骤。【设计意图】利用终边相同的角判定其象限，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础。例2写出终边在轴上的角的集合。【师生活动】师生一起分析，教师板书示范。【设计意图】引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式。例3写出终边在直线上的角的集合。中满足不等式的元素有哪些？【师生活动】可以由几个学生分别上台板书，教师引导学生点评。【设计意图】巩固终边相同的角的表示。归纳小结，回顾反思教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：（1）任意角都是象限角吗？（2）第一象限的角如何用集合表示？布置作业，拓展新知1.基础作业：完成质量监测A组；2.拓展作业：完成质量监测B组。六、目标检测设计1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合