七、空间几何体中的轨迹问题高中数学解题妙法

七、空间几何体中的轨迹问题本内容主要研究空间几何体中的轨迹问题.在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势.而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”.空间几何体中的轨迹问题包括判断轨迹的类型问题以及求轨迹中的长度、面积与体积问题.例：在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）.A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案：D解析：本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义.因为历面总吊，所以尸品就是P到直线所凸的距离，P到直线U的距离是故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，点P在正方体总BCDRiEiC］口的面W国内】从而选D.整理：空间几何体中的轨迹问题：.判断轨迹的类型问题.求轨迹中的长度、面积与体积问题再看一个例题，加深印象例：已知正方体ABCD-AB1clD1的棱长为1，在正方体的侧面Be*凡上到点A距离为空的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度为3.v'3 8 -<3答案：以B为圆心，半径为—且圆心角为彳的圆弧，长度为一兀.3 2 6解析：因为AB±面BC1，P在正方体的侧面BCC1B1上，设AP二三一，AB=1,<3由勾股定理得BP=二，因此点P轨迹是以B为圆心，3、J3 8 J3半径为—且圆心角为彳的圆弧，长度为一兀.32 6总结：.空间几何体中的判断轨迹的类型问题，这常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题..空间几何体中的轨迹问题涉及到求轨迹中的长度、面积与体积问题练习：.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（）.A.圆或圆的一部分 B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部分 D.椭圆或其一部分.已知正方体ABCD—A1B1clR的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所在曲线为（）.A.抛物线B.双曲线C.直线 D.圆.在正方体ABCD—A1B1cl弋中，点p在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP1BD1，则动点P的轨迹为..若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与AABC组成的图形可能是：（）AAAAAC DAAAAAC D.已知棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积..如图AB是平面a的斜线段A为斜足.若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是（）A.圆 B椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线.如图,斜线段AB与平面a所成的角为60°,B为斜足，平面a上的动点P满足/PAB=30°,则点P的轨迹是（）

A.直线B.抛物线A.直线B.抛物线C椭圆口.双曲线的一支答案：1.解：由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.工解：在正方体且ECD—W/iGA中，过尸作PF_疝3过F作自，垂足分别为孔昂连结PE则尸杼=犀-P严,又阳-2g*所以凡/=P产，从而PM=PF,故点P到直线AD与到点鼠的距离相等，故点P的轨迹是以.M■为焦点,1口为准线的抛物线..解：在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面易证BD11面ACB1，所以满足BD11AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹..解：动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在^ABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在/ABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D..解：由于川;飘都是运动的，所以求的轨迹必须