【高中数学】3数学归纳法

3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法.能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。二、预习内容：提出问题：问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决.即对于数列/）,已知的=1, 1+%（n=1,2,3…），通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式&=一耳，但却没有进一步的检验和证明.问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？（多媒体演示多米诺骨牌游戏）这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下.讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立.上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带.1以产二一如在前面的问题1中，如果力不是1,而是2,那么就不可能得出 煜，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的.而第二步显然更加不可缺少.这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出.解决问题：由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：⑴证明当n取第一个值啊（片）时命题成立；⑵假设n=k（kN%,七七".）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由以上两个步骤，可以断定命题*⑻对从物开始的所有正整数n都成立.

这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n（n取无限多个值）有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容n课内探究学案一、学习目标(1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。(2)初步理解数学归纳法原理。(3)理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。(4)初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。二、学习过程：例1、证明等差数列通项公式an=a1+(n-1)d：解析：(1)让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；(2)掌握从n二土到区二上14时等式左边的变化情况。证明：(1)当n=1时等式成立；(2)假设当n=k时等式成立，即a^=a1+(k—1)d,则a^1=a^dd=a[+[(k+1)—1]d,即9=卜+1时等式也成立由(1)、(2)可知，等差数列的通项公式a=ad(n—1)d对任何n£N*都成立.n1点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。a变式训练1.在数列｛a｝中，a=1,a=一(neN*),先计算a,a,a的TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"n 1 nd11da 2 3 4n值，再推测通项an的公式，最后证明你的结论.例2、用数学归纳法证明1+上4一，+题 = *& 0E").解析：(1)进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识上升为理性认识；(2)掌握从"=上到力=大1"1时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项合并项等。123,= =1证明：(1) 时：左边 ，右边6 ，左边二右边，等式成立。『土配百」人1）伊+1）匕）假设当"=*口仁叼时有； 6时二左边 ' ,fc(fc+l)(2Jt+l)+6(it+lf(i+l)(fc+2)(2Jt+3)(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]=右边...当n= 时等式也成立。由（1）、（2）可知，对一切r七N，原等式均成立点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话:递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。变式训练2：用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n—1）=n2.反思总结:.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明;.数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可;

.递推归纳时从“二金到1t♦1，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意明等式时第一步中七二1时左右两边的形式，第二步中”二土14时应增加的式子；第二步中证明=命题成立是全局的主体，主要注意两个，，凑，，：一是，，凑，，国二金时的形式(这样才好利用归纳假设)，二是“凑”目标式。当堂检测：.观察式子：1+—<—,1+—+—<—,1+—+—+—<—,…，则可归纳出式子222 22323 2232424为()TOC\o"1-5"\h\zAI 1 1 1 1/ >c、1++—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n-11 1 1/ >〜1+—+—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n+11 1 2n-1/ >c、1+—+—+…+—< (n/2)22 32 n2 n1 1 2n/ >1++—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n+1答案：C.用数学归纳法证明：首项是、，公比是q的等比数列的通项公式是a(1-qn), 八a=aqn-1,前n项和公式是s二+ (q丰1).n1 n1-q课后练习与提高一、选择题.用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=3n(4n2-1)过程中，由n=k递推TOC\o"1-5"\h\z到9=卜+1时，不等式左边增加的项为 ( )A.(2k)2 B.(2k+3)2 C.(2k+1)2D.(2k+2)2.凸n边形有#n)条对角线，凸n+1边形对角线 的条数f(n+1)为( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2.用数学归纳法证明不等式,+—+工+…=>13(n>2)的过程中，n+1n+2n+3 2n 24由n=k递推到n=k+1时，不等式左边 ( )A.增加了一项2(A.增加了一项2(k+1)B.增加了一项口+w1 1C.增加了C.增加了2k+1 2(k+1)D.增加了D.增加了“人”,又减少了“白二、填空题4.已知数列1

1^4.已知数列1

1^21 12^3,3义4,…，由此可猜测sn=.TOC\o"1-5"\h\z.若f(k)=1—一+——一H F ——,则f(k+1)=f(k)+ .234 2k-12k 三、解答题.由下歹U不等式：1>—,1H 1—>1,1H 1 \-1>—,1H 1 \-1 >2,2 23 23 72 23 15…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.n参考答案：1.C2.C3.C 4.--n+16.解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为:1+—+—H1>n(neN*).23 2n-12用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，1>1，猜想成立;2(2)假设当n二k时，猜想成立，即1+1+1+•••+23则当n=k+1时，11 1 1 1 1 1k1 1 1k 2k k+11++—++ +—+ +…+ >+—+ +…+ >+ = 23 2k-1 2k 2k +1 2k+1-1 22k 2k+1 2k+1-1 2 2k+1 2，即当n二k+1时，猜想也正确，所以对任意的neN*,不等式成立.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题；估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案；对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择；若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都