【精品讲义】新课标高一数学必修一基本不等式和二次函数与一元二次方程不等式

学生/课程年级高高一学科囹授课教师十江老师日期底10.7时段囹核心内容基本不等式和一次函数与一元一次方程不等式（第4讲）【学习目标】.掌握基本不等式及推导过程，能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.熟练掌握基本不等式及变形的应用..从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.导学一：基本不等式知识点基本不等式.如果a>0,b>0,\：茄三中，当且仅当a^b.时，等号成立.其中■爱叫做正数a,b的算术平均数，、jOb叫做正数a,b的几何平均数..变形：abW（a$J2,a,b£R,当且仅当a=b时，等号成立.a+b2标,a,b都是正数，当且仅当a=b时，等号成立.题型探究一、利用基本不等式比较大小例1某工厂生产某种产品，第一年产量为A,第二年的增长率为例1某工厂生产某种产品，第一年产量为A,增长率为l（a,b,%均大于零），则（）a+b

C.%>-y-反思感悟基本不等式中★标一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.跟踪训练1若0<a<1,0<b<1,且aWb，试找出a+b,a2+b2,21ab,2ab中的最大者.二、利用基本不等式直接求最值 12例2(1)当％>0时，求1十4%的最小值；x12(2)当x<0时，求1+4x的最大值；

x. 8⑶当x>1时，求2x+一；的最小值；x—1a(4)已知4x+-(x>0,a>0)在x=3时取得最小值，求a的值.x反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.跟踪训练2已知］>0,y>0,且％+y=8,则(1+%).(1+y)的最大值为( )A.16B.25C.9D.36随堂演练若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(A.D.下列等式中最小值为4的是若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(A.D.下列等式中最小值为4的是()A.,4y=%+；%B.y=21+；C.y=4t+t(t>0)

tD.下列不等式中，正确的是()B.B.a2+b2三4ab.—、a+bC.«ab7,4、A.a十一三4a(%+10)(x+2),4.已知%>一1,则(%A)的最小值为■课堂小结- .知识清单：两个不等式：a2+b2三2ab(a,b£R),生乎三%ab((a,b都是正数)..方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式..常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误.导学二： 基本不等式的应用知识梳理 卷材泰实义或知识点用基本不等式求最值用基本不等式中A./求最值应注意：(1)%,y是正数;(2)①如果％y等于定值P，那么当％=y时，和％+y有最小值2vP；②如果％+y等于定值S，那么当％=y时，积％y有最大值：S2.⑶讨论等号成立的条件是否满足.自我检验.已知0<%<2，则y=%(1-2%)的最大值为..某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买%吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4%万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则%=..某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间％(单位:年)的关系为y=-%2+18%-25(%GN*),则该公司每台机器年平均利润的最大值是 万元．4.已知%>2,则U%+一^的最小值为 .%-2题型探究 探究重点，.亲养提升一、利用基本不等式变形求最值1.9例1已知%>0,y>0,且-+-=1,求%+y的最小值.%y延伸探究若将条件换为：%>0,y>0且2%+8y=%y，求%+y的最小值.反思感悟应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换.跟踪训练1已知正数％,y满足％+y=1，贝吐十：的最小值是 随堂演练 基破砒困竽以效用.设x>0,则3—3x—的最大值是（）xA.3 B.3—2\'2 C.—1 D.3—2\'3x2—x~\~1 - ..已知xx:（x>1）在x=t时取得最小值，则t等于（）x－1A.1+\五A.1+\五B.2C.3D.4213.已知正数a,b满足a+2b=2,贝『十"的最小值为 ^ab ■课堂小结- 1.知识清单：(1)已知％,y是正数.①若%+y=S(和为定值)，则当％=y时，积孙取得最大值.②若％-y=P(积为定值)，则当％=y时，和％+y取得最小值.即：”和定积最大，积定和最小”.导学三二次函数与一元二次方程、不等式知识点二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式/=b2—4ac/>0/=0/<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象口上兀一■次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=—2a没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x1x<x1，或x>x2}J b[xxW-2ajRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x1x1Vx<x2}00题型探究 短克近点*^I#一、解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)—x(1)—x2+5x-6>0；(2)3x2+5x—2三0；(3)x2—4x+5>0.反思感悟解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求/=b2-4ac;第三步：若/<0,根据二次函数图象直接写出解集；若/三0,求出对应方程的根写出解集.跟踪训练1解下列不等式：(1)4x2-4x+1>0； (2)—x2+6x—10>0.二、三个“二次”间的关系及应用例2已知二次函数y=ax2+(b-8)x—a—ab，且y>0的解集为{x1-3<x<2}.⑴求二次函数的解析式；(2)当关于x的不等式ax2+bx+cW0的解集为R时，求c的取值范围.反思感悟三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下:时4方计20(■成H的般里端点方程皿+麻+£=0(方程皿+麻+£=0(正声切的根函数y=ii^1+)>A+d,tiAIJ1的零.点特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式. .. ..一.J1 1〕跟踪训练2已知关于％的不等式ax2+5x+c>0的斛集为<x3Vx<?>.(1)求a,c的值；(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c三0.三、含参数的一元二次不等式的解法例3设a£R，解关于x的不等式ax2+(1—2a)x~2>0.反思感悟解含参数的一元二次不等式的步骤

写出解蛆时令二次项篁数判断方程根的个数确定无根时可直揍写出解集.写出解蛆时令二次项篁数判断方程根的个数确定无根时可直揍写出解集.确定方程有两个根时.要讨论两根的大小美系，从师琳定解集形式二改项系数苦含有婪校,应冲走是小于山还是大于。，若小于H则将不等式转优为一次期系数为正忌式判断方程根的个敏，曲沦判别式4与。的关系特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式A用求根公式计算.跟踪训练3（1）当a=1时，求关于％的不等式％2—（a+0]+1W0的解集;（2）若a>0,求关于％的不等式％2—（a+；）%+1W0的解集.随堂演练 及戚巩国学以致M.不等式9%2+6%+1W0的解集是（）A.〈]C.D.〈%%=TOC\o"1-5"\h\z.如果关于%的不等式%2<ax+b的解集是{%11<%<3},那么ba等于（ ）\o"CurrentDocument"A.—81 B.81 C.—64 D.64.不等式%2—3%—10<0的解集是 .

.若方程％2+（m—3）%+m=0有实数解，则m的取值范围是 课后作业:.若a,bGR且ab>0,则下列不等式中恒成立的是（）a2+ba2+b2>2aba+b三2、/abC-1+b扁D.a+aa.若0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的是（）1A51A5B.a2+b2C.2ab D.a.已知a>0,b>0,且ab=2,那么（ ）a+ba+bW4a2+b2三4a2+b2^4.81 .已知正数％,y满足8+1=1,则％+2y的最小值是（）%yTOC\o"1-5"\h\z.（2019-全国1）已知集合M={%I—4<%<2},N={%I%2—%—6<0},则UMnN等于（ ）A.{%I—4<%<3} B.{%I—4<%<—2}C.{%I—2<%<2} D.{%I2<%<3}211.已知a>0,b>0,-+工=>若不等式2a+b三9m恒成立，则m的最大值为（ ）ab6A.8 B.7 C.6 D.5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为。，则（ ）A.A.a<v<--./abB.v="■■，ab.若正数%,y满足%2+3%y—1=0,则%+y的最小值是（）A.*B.3A.*B.3福D.『.已知a>b>c，则y（a—b）（b—c）与a~2~的大小关系是 .乙.设a,b为非零实数，给出下列不等式:o2a2+b2__