2023届绍兴一模考试

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2022年11月）数学学科一、选择题1.若集合，，则（）A.B.C.D.答案：D解析：∵，，∴.故选D.2.若，则的虚部为（）A.B.C.D.答案：C解析：∵.的虚部为.故选C.3.已知向量，满足，，，则（）A.B.C.D.答案：D解析：∵，，∴，即，∴.故选D.4.已知数列是等差数列，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要必要条件D.既不充分也不必要条件答案：D解析：∵，，即，所以，，但不确定，所以不充分，反之，数列为单调递增数列，.如果公差，首项是递增，所以不能推出.故选D.5.如图，一个底面半径为的圆柱被其底面所在平面的夹角为的平面所截，截面是一个椭圆.当为时，这个椭圆的离心率为（）A.B.C.D.答案：A解析：设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，根据题意得，，.∴，∴椭圆的离心率为.故选A.6.函数，且，则（）A.B.C.D.答案：C解析：由条件知，又图象的对称轴是，知，又知，于是，在上递增，于是.故选C.7.第二十二届世界杯足球赛将于年月日在卡塔尔矩形，东道主卡塔尔与厄瓜多尔，塞内加尔，荷兰分在组进行单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知东道主卡塔尔与厄瓜多尔，塞内加尔，荷兰比赛获胜的概率分别为，，，且.记卡塔尔连胜两场的概率为，则（）A.卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，最大B.卡塔尔在第二场与塞内加尔比赛，最大C.卡塔尔在第二场与荷兰比赛，最大D.与主卡塔尔与厄瓜多尔，塞内加尔，荷兰的比赛次序无关答案：A解析：设事件表示卡塔尔连胜两场，表示卡塔尔连胜两场输一场，表示卡塔尔连胜三场，则，由与互斥，知，设表示卡塔尔与厄瓜多尔比赛获胜，表示卡塔尔与塞内加尔比赛获胜，表示卡塔尔与荷兰比赛获胜，则与比赛顺序无关，于是只需考虑，当第二场与厄瓜多尔比赛，同理可知，当第二场与塞内加尔比赛，当第二场与荷兰比赛，由条件知卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，最大，故选A.8.如图，在四棱锥中中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，，，当棱上一动点到直线的距离最小时，过，，做截面交于点，则四棱锥的体积是（）A.B.C.D.答案：B解析：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图建系，设，，，，，，，，于是，，于是点到直线的距离，当时点到直线的距离最小，此时，易知，于是为梯形，设平面的法向量为，，令解得，点到平面的距离，，点到直线的距离，，故选B.二、多选题9.已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为，且，那么下列情形可能出现的是（）A.是的极大值，也是的极大值B.是的极小值，也是的极小值C.是的极大值，但不是得极值D.是的极小值，但不是的极值答案：A、B、D解析：对于A：，，此时A正确；对于B：，，此时B正确；对于C：是的极大值，但不是得极值，在的附近必存在，使得，故C错误；对于D：，，D正确；.故选ABD.10.函数（，），则在区间内可能（）A.单调递增B.单调递减C.有最小值，无最大值D.有最大值，无最小值答案：B、C解析：令，因为，，当时，在区间内无罪之，且单调递减，故A错误，B正确；当时，在区间内有最小值，无最大值，C正确；当时在区间内有最小值，有最大值，D错误；故选BC.11.易知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（）A.的最小值为B.的准线方程为C.D.当时，点到直线的距离的最大值为答案：B、C、D解析：由题知，即，抛物线，作出准线，故B正确；过作准线的垂线，垂足为，则，故，即的最小值为，故A错误；设，，，，，所以，故C正确；当时，点到直线的距离即为到的距离，即，令，则，取最大值时，，即，当且仅当，即时取等号.故D正确；故选BCD.12.对一列整数，约定：输入第一个整数，只显示不计数，接着输入整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为.若将从到的个整数随机地输入，则（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为答案：B、D解析：按照，，，，…，，，顺序输入，则得的最大值，按照，，，…，，，顺序输入，则得的值为，由于在到的个整数中，有个偶数，个奇数，根据整数的奇偶性的性质可知这些数之间的加减的结果不可能为，所以是的最小值，故选BD.三、填空题13.在的展开式中常数项为________.（用数字作答）答案：解析：因为通项公式为，令，解得，所以常数项为，故填.14.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中卷五“商功”中记载“今有鳖臑下广两尺，无袤；上袤四尺，无广；高三尺”.即“现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽2尺而长，上底长尺而无宽，高尺”，即有一“鳖臑”（四面体），已知，，，，则此四面体外接球的表面积是________.答案：解析：外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故填.15.我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则图像的对称中心为________.答案：解析：，奇函数中不含有和常数项，和即得：.故填：.16.已知圆，线段在直线上运动，点为线段上任意一点，若圆上存在两点，，使得，则线段长度的最大值是________.答案：解析：由题可知：从引圆两条切线，切点为，，则，即，则，设，则得：，则，，，故填.四、解答题17.已知数列满足，.有以下三个条件：①（，）；②；③.从上述三个条件中任选一个条件，求数列的通项公式和前项和.答案：见解析解析：选①：由（，），得，故是公比为的等比数列，则，即，故是公差为的等差数列，则，即.选②：由得，故，化简得，即.选③：由（1），得当时，，（2）由（1）（2）得，故.因此，，，两式相减得，化简得.18.已知函数.（1）若，求的值；（2）若在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，，求的周长的取值范围.答案：见解析解析：（1）解析1：由.因为，故.解析2：法二：因为，故或，即或，故或.（2）因为而，即，故或，则或（舍去）.由正弦定理得，故，.周长.因为为锐角三角形，则，所以，.19.在四棱锥中，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面，二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.答案：见解析解析：（1）如图所示，取的中点，连接，，依题意可知，，，，故，为正三角形，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面，∴，∴.（2）依题意平面平面，由（1）可知，则平面，故以，，为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，由可得，令，则，，∴，同理可得平面的法向量，依题意可知，，解得，即.即平面的法向量，，故直线与平面所成角的正弦值.20.某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于分的学生称为“高分选手”.（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女生有人，请判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？（参考公式：，其中）答案：见解析解析：（1）由题易知，解得，样本平均数为.（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人，随机变量的所有可能取值有，，，，（，，，），所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高分选手”的人，其中女生人，得出以下列联表：所以有的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关.21.已知双曲线（，）的左焦点为，点是双曲线上的一点.（1）求双曲线的方程；（2）已知过坐标原点且斜率为的直线交于，两点.连接交于另一点，连接交于另一点，若直线经过点，求直线的斜率.答案：见解析解析：（1）易知，，故，.故双曲线的标准方程.（2）解析1：令为，则为，直线为（），直线为（），由，得，即.∵，∴，，同理可得，∴，，.∵直线经过点，则，，三点共线，即，则有.∴，化简得，，即，故.解析2：令为，则为，直线为（），直线为（），由得，即，∵，∴，同理可得，∴.令直线为，由，则，即，化简得，∵，解得，，故.22.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若恒成立，求的最小