2022-2023学年重庆市西南大学附属中学高三上学期12月月考试题 数学（解析版）

秘密★启用前2022~2023学年度上期学情调研高三数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列，，则其前项的和A． B． C． D．3．设等比数列满足，，则（

）A．8 B．16 C．24 D．484．设，b=，c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b5．已知正项等比数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．6．设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，，中最大项为A． B． C． D．7．设是所在平面内一点，且，则（）A． B． C． D．8．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知（

）A．虚部为1 B． C． D．10．已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列的通项公式为 B．C．的取值范围是 D．数列的通项公式11．下列说法正确的是（

）A．B．函数在单调递增，在单调递增，则在上是单调递增.C．函数与关于对称.D．函数是上的增函数，若成立，则12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（

）A． B． C． D．三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．如果复数为实数，则__________.14．已知数列满足，则______．15．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________16．若对任意的正实数，均有恒成立，则是实数的最小值为______.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列的前n项和为，且，，等差数列满足：，.（1）求；（2）若，求数列的前项和.18．已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）在中，已知为锐角，,,求边的长.19．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的利润是8元/件；每提高一个档次，利润每件增加2元，每提高一个档次，产量减少3件，在相同时间内，最低档次的产品可生产60件．问：在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？（最低档次为第一档次）20．已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.(1)求的解析式；(2)将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的对称中心的坐标.21．已知数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)证明：.22．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的顶点为，且经过，，椭圆的上顶点满足.（1）求椭圆的方程；（2）设点满足，点为抛物线上一动点，抛物线在处的切线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.参考答案1．D首先化简集合，然后根据交集运算即可求得结果.解可得，所以.所以.故选：D.2．C选C.3．A利用等比数列的通项公式即可求解.设等比数列的公比为，则，解得所以.故选：A本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.4．B利用指数函数、对数函数的单调性求解,a=,b>a>0,c=<ln1=0，∴b>a>c故选：B.与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.5．B设公比为，由等比数列的定义可得，由此可以算出公比的值．把的值代入中，从而求出首项的值，然后利用等比数列的求和公式求出的值．设公比为，有，，可得，所以．故选：B．6．C根据所给条件可分析等差数列递减，且，据此可得出前n项和的变化规律，利用不等式性质得解.因为，，所以，且，所以，所以，当时，所以，中最大项为，故选：C．7．C由平面向量的线性运算法则求解．由向量的运算法则可得：，，∵，∴，所以，故选：C.8．A由题得，再利用基本不等式求最值得解.因为是与的等比中项，所以.所以当且仅当时取等.故选：A本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．BCD根据虚部的定义即可判断A；根据共轭复数及复数的乘法运算即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的加法运算即可判断D.解：因为，所以虚部为，故A错误；，，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD.10．BCD根据已知条件求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.设等比数列的公比为，则，可得，因为，即，解得，，A错；，B对；，D对；，，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对.故选：BCD.11．ACD对于A，运用三角函数的诱导公式可判断；对于B，由函数的单调性的定义可判断.对于C，设函数上任意一点，得出上的对应点为，再得出的对应点为，由两点的位置关系可判断.对于D，设，则有函数是上的增函数，再得，即有，由此可判断.解：对于A，，故A正确；对于B，函数在单调递增，在单调递增，则在上不一定单调递增，故B不正确.对于C，设函数上任意一点，则将函数向左平移2个单位得函数，此时对应点为，将函数关于y轴对称得函数，此时对应点为，再将函数的图象向右平移2个单位得，此时对应点为，而点与有，所以点与关于对称，所以函数与关于对称，故C正确.对于D，设，因为函数是上的增函数，所以函数是上的增函数，因为，所以，即，所以，所以，即，故D正确.故选：ACD.12．BD首先根据条件构造函数，，根据得到在上单调递减，从而得到，再化简即可得到答案.由及，得.设函数，，则，所以在上单调递减，从而，即，所以，，，.故选：BD13．利用复数的运算法则有：，满足题意时，虚部，解方程可得：.14．33由递推关系，结合关系式可求.由题设知，，所以，又，所以．故答案为：33.15．根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.不妨设，，因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，所以也是的一个虚数根，从而

①，又因为无实根，所以

②，由①②可得，，因为，所以，由一元二次函数性质易知，当时，有最小值5；当时，；当时，，故当时，，即，故向量的取值范围为：.故答案为：.16．由题意可得，对原不等式化简，构造函数，求导，讨论函数的单调区间，可得在上单调递增，进而，利用参变分离的方法，求出参数的取值范围.由，可知当时，且令，，在单调递减，在单调递增，，∴在上单调递增时，，，而∴，设，，当，单调递增当，单调递减，所以故答案为：本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于难题.17．（1）；（2）（1）首先根据已知条件得到，从而得到，再解方程组即可.（2）首先根据（1）得到，再利用分组求和求解即可.（1），所以，即.所以，所以.（2），.18．（1）；（2）.（1）化简可得，可得的最小正周期；（2）由，可得，由正弦定理可得的长.解：（1）由题意得，可得，可得；（2）由题意：，可得，，，由正弦定理得，可得.19．9档次的产品．先探求10个档次的产品的每件利润关系式，以及10个档次的产品相同时间内的产量关系式，可得利润，最后根据二次函数性质求最大值.10个档次的产品的每件利润构成等差数列：8，10，12，…，，10个档次的产品相同时间内的产量构成等差数列：60，57，54，…，，∴在相同时间内，生产第n个档次的产品获得的利润为．当时，（元）∴生产低9档次的产品可获得最大利润．20．(1)(2)（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出，再根据函数图象关于对称，结合，求出，从而求出函数解析式；（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.（1）依题意可得解得，则，因为的图象关于直线对称，所以，又，所以.故.（2）依题意可得，令，得，故曲线的对称中心的坐标为.21．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因为当时，，所以，于是≤1+13+⋯+13n-1=，所以.【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.22．（1）；（2）.（1）求得抛物线的顶点，求得F1，可得c=1，再由向量共线的坐标表示，可得b=1，进而得到a，即有椭圆方程；（2）运用向量共线的坐标表示，求得PQ的斜率，设出PQ的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用二次函数的最值求法，可得最大值．（1）由抛物线，可得，，设椭圆的焦距为，则有，又由可得，，，故椭圆的方程为.（2）设点，由得，.直线