概率与数理统计-例题讲解课件

1PD create wit fww.dtfocry.i2.2.2连续型随 设X~fX(x), 设YgX

求Y的概率密度fYy一般方 FY(y)P(Yy)P(g(X)y再转化为X通常用FXx在某(y的复合函数y求导即得fYy).2PD create wit fww.dtfacry.i例1X~fX

(x) ,Y2X5,(1x2求YfY FY(y)P(Yy)P(2X5 y5

y5PX

2 2[F(y)] y51Fy52fY(y)

X

1

y5

1

2 X

2[1

y2

)2

4(y3PD create wit fww.dtfocry.i定理设X~fX

YkXb(k0),则Y的概率密

f(y)1

yb证明:设k

|k X F(y)P(Yy)P(kXby)

yb 1

yb1 yb X f(y)[F(y)]1Fyb1 yb

X

|k

X k0的情况4PD create wit fww.dtfocry.i例2设~U[0,1],31,求的概率密度f解

0x1,又31,

0 y1

1 0y1f(y)

3f

31

1y

其 其可知也服从均匀分布(在[14]区间上的5PD create wit fww.dffacry.i当YgX)是单调函数时fYy定理:X~fXx),YgX

(也可是无限区间ygx在(ab)内单调可导且导数恒不为零ygx)的值域为(cdygx)的反函数为xhy),fXfX[h(y)]|h(y)| y(c,d则Y~

(y)

其(YkXb)是此定理的特例结果是一致的6PD create wit fww.dtfocry.i例3设X~fXx

,YeX(1x2

求Y的概率密

fY(解:yg(xex单调增可导,且其导数y(ex)ex其值域为y(0,xhylny且hy)1y当y0时, (y) [h(y)]|h(y)| 1 当y0时,fYy

(1ln2 f(yf(y)Y1y(1 2,yy7PD create wit fww.dtfacry.i例4设X~fXx),YlnX1(4xfXx

求YfY0x x解在(0,1)内,ygx)lnx单调增可导y1x其值域为y(其反函数为xh(y)ey 且h(y)ey3当y0时,fYyfX[hy)]|hy|1(4ey1e3当y0时,fYyfY(yfY(y)1ey(4ey3yy8PD create wit fww.dffacry.i例5X~U[1,2],YeX,求Y的概率密度fYy).(书例 X~ (x)

1x, 在[1,2]内,ygxex单调增可导,且其导数y(ex)ex0,其值域为y[ee2xhyln

且hy)1yyy当eye2时

fY(y)fX[h(y)]|h(y)|1f(y)1y,Yeye9PD create wit fww.dffocry.i例6设X~fXx),YX2fYy).其中fXx)(称X服从标准正态分布Y解:FyP(YyPX2Y

x2当y0时,FYy

fY(y)[FY(y)]y当y0时FYyFX

X yyyyy)FX yyyyyyf(y)[F(y)]Fy

) F

)( y y

yyy 1yyy

0f(y)0f(y) Y 2yy22Y

fX )yyy2yyy

fX y)

2PD create wit fww.dtfacry.i例6设X~fXx),YX2fYy).其中fXx)

x 2或 FY(y)P(Yy)P(X2yy当y0时,FYy0,fYyyy当y0时,FYy

X

(y)[FY(y)]

yy2fXyy

fX(x)dxyy) y2

fX(x)yyyy

fX y

2 2f(yf(y) 0Y2e2yyPD create wit fww.dtfacry.i 量X的概率密度为f( F(x)是X的分布函数,且F(x)严格单调求 量YF(X)的概率密度fY(解:FYyP(Yy)P(FX当y

fY(y)

(y)]

0yyy

时FYy

fY(y)

[FY(y)]

0y当0y1时y

FY(y)

P(F(X)y)P(X

1(yF[F1(y)]yyfY(y)[FY(y)]y

1,即Y~Uf(y)1,Y0yPD create wit fww.dtfacry.i 量及其分 量函数的分 量的数字特重要的离重要PD create wit fww.dtfocry.i随量的数字特矩PD create wit fww.dtfocry.i面的讨论中,我们知道随量的分布能够较完整地描述随量,然而有时随量的分布不易求,另一方面在许多情况下也不需要求其一切概率性质,而只需要知道它的某些数字特征(用数字表示随量的特点).在这些数字特征中最常用的是数学期望、方差

PD create wit fww.dtfacry.i以前先看一个例子:某射手向一目标射击,每次得分X是一个随 得分1234平均得分数为:1102303404 1102303404202.7分 4(xipi4i

称xipi)为X4i4PD create wit fww.dffocry.i P(Xxi)若xipi绝对收敛

(i1,2 ),即|xi|pi收敛 称级 xipi为X的数学期望i简称期望或均值(平均数记为EX或EX即有EXxipii

若xipi不是绝对收敛的,即|xi|pi发散 称X的期望不存在定义:X~f(x),若xfx)dx绝对收敛 称积分xfx)dx为X的数学期望,记为EX即有EX xf(x)dx否则EX不存在

EX存在EX是一个确定的PD create wit fww.dffocry.i例1设X服从参数为p的01分布求EXX01X01PqpEXxipi0q1ppi123P123P例2:甲乙两名射手在一次射 分布律如下表所示123P123P解 EiiEii

10.420.130.510.120.630.32.2PD create wit fww.dffocry.i

e1000e

x例3:某种电子元件使 X~f(x) 0

x 在500小时以下为废品,产值为0元; 小时之间为次品,产值为10元; 设Y表示产值则Y取值为0,10,30,40

500

P(Y0)P(X500)

f(x)dx

1000dx1 P(Y10)P(500X1000)

f(x)dx

1000e1000

0.5

1类似可得:P(Y30)e1e1.5 P(Y40)e1.5EYyipi0(1e0.5)10(e0.5e1)30(e1e1.5)40i15.65(元PD create wit fww.dtfacry.i例4:设X的概率分布为

P(X

i

(i EX

( i i证明:xipi i

(1)

收敛i

i|xp|

ii而ii

i

EX不存在例5设X~U[ab],求EX X~f(x)

ax b

[a,b] EXxf(x)dxbx

dx

x2 ab

b

b a PD create wit fww.dffacry.i

ax

0x1EX7例6:X~fx)

求ab的值并求XF

解: f(x)

0(axb)dx

x

2b

1ab EX

xf(x)dx

0x(ax

(3 2x)

x1 0x由(1),(2)得a1,b2 X~f(x) 当x0时,F(x) f(t)dt

2当0x1时,F(x) f(t)

x

1)

xx当x1时,Fx

xf(t)dtx

1(t

F(x)F(x)x02x0xxPD create wit fww.dffocry.i

E(a)(a,b为常数 E(Xb)E(X)EkgXkE[gX(k为常数E[gXh(XE[gX)]E[hX)](可推广到有限个证明:(1)设X是离散型 P(Xxi) (i1,2 ),设YaXb则EYyipi(axi aEX

b)piaxipib 设X是连续型 量,且X fX(设YaXb则EYaEXb.(略PD create wit fww.dtfacry.i性质(1)告诉我们如何利用XXYaXb的期望,对于一般函数Yg(X)的期望,可通过下定理得到:(随 定理:设X是 Yg(X),且E[g(X)]存在若X是离散型的 P(Xxi) (n1,2 ),则

g(xi)E[g(Xg(x)g(x)f(x)dxE[g(X一般计算X的函数Y的期望时, 如按定义须先由X的分布求出Y=g(X)的分布,这一步往往比较麻烦,而由上定理则不必求出Y的分布,而直接由X的分布代入上二式即可求出E(Y PD create wit fww.dtfocry.iX01X012P111 量X的概率分布为求EX),E(3X2),EX22),E(eX解:EXxp0111213i iE(3X2)3EX233217 E(X

2)(x

2)

(022) (122)

2) e

11ee2 )i

e2e4e

一般EgXg[EX但当gXaXb时成立PD