2023年广东省东莞市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年广东省东莞市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

2.

A.

B.

C.

D.

3.A.

B.

C.

D.

4.

5.

6.

7.

8.A.A.∞B.1C.0D.－1

9.

A.(-2，2)

B.(-∞，0)

C.(0，+∞)

D.(-∞，+∞)

10.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

11.当a→0时，2x2+3x是x的()．A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小，但不是等价无穷小D.低阶无穷小

12.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

13.

14.

15.

16.A.A.5B.3C.-3D.-517.（）。A.过原点且平行于X轴B.不过原点但平行于X轴C.过原点且垂直于X轴D.不过原点但垂直于X轴18.A.(－5，5)B.(－∞，0)C.(0，+∞)D.(－∞，+∞)

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.25.设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为______．

26.

27.过原点（0，0，0）且垂直于向量（1，1，1）的平面方程为________。28.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.39.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______．40.设y=e3x知，则y'_______。三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.求微分方程的通解．43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

44.

45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．47.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．50.

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.

53.54.55.56.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．57.

58.证明：59.求曲线在点(1，3)处的切线方程．60.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．四、解答题(10题)61.证明：当时，sinx+tanx≥2x．

62.

63.设函数y=xlnx,求y''.

64.

65.66.

67.求∫sin(x+2)dx。

68.设z=x2ey，求dz。

69.将f(x)=ln(1+x2)展开为x的幂级数．

70.设y=xsinx，求y'。

五、高等数学(0题)71.求函数I(x)=

的极值。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C由可变上限积分求导公式有，因此选C．

2.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

3.B

4.C

5.D

6.C解析：

7.D

8.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

9.A

10.C

11.C本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

应依定义考察

由此可知，当x→0时，2x3+3x是x的同阶无穷小，但不是等价无穷小，故知应选C．

本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小卢与无穷小α的阶的关系时，要判定极限

这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误．

12.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

13.C解析：

14.B

15.C

16.Cf(x)为分式，当x=-3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此

x=-3为f(x)的间断点，故选C。

17.C将原点(0，0，O)代入直线方程成等式，可知直线过原点(或由

18.C本题考查的知识点为判定函数的单调性。

19.D解析：

20.A解析：

21.-5-5解析：

22.

本题考查的知识点为导数的四则运算．

23.24.1．

本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．

由于f(1)=2，可知

25.y=f(1)本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y=f(x)过该点的切线方程为

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)．

由题意可知x0=1，且在(1，f(1))处曲线y=f(x)的切线平行于x轴，因此应有f'(x0)=0，故所求切线方程为

y=f(1)=0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y-f(1)=f'(x)(x-1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，一些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y-1=0．

26.x2+y2=Cx2+y2=C解析：27.x+y+z=028.本题考查的知识点为原函数的概念。

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)=cosx。

29.2x-4y+8z-7=0

30.

31.

32.-2sin2-2sin2解析：

33.

34.

35.

36.

37.

38.39.(0，+∞)本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于y=ln(1+x2)，其定义域为(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一驻点x=0．

当x＞0时，总有y'＞0，从而y单调增加．

可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+∞)．40.3e3x

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

42.43.由二重积分物理意义知

44.45.函数的定义域为

注意

46.

列表：

说明

47.由等价无穷小量的定义可知

48.

49.

50.由一阶线性微分方程通解公式有

51.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

52.

53.

54.

55.

56.

57.

则

58.

59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

60.

61.

62.

63.

64.65.本题考查的知识点为偏导数运算．66.积分区域D如下图所示：

被积函数f(x,y)=y/x,化为二次积分时对哪个变量皆易于积分;但是区域D易于用X—型不等式表示,因此选择先对y积分,后对x积分的二次积分次序.

67.∫sin(x+2)dx=∫sin(x+2)d(x+2)=-cos(x+2)+C。

68.69.由于

因此

本题考查的知识点为将函数展开为幂级数．

纲中指出“会运用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x或(x-x0)的幂级数．”这表明本题应该将ln(1+x2)变形认作ln(1+x)的形式，利用间接法展开为x的幂级数．

本题中考生出现的常见错误是对ln(1+x2)关于x的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的．

70.因为y=xsinx则y'=x'sinx+x(sinx)