测量误差的基本知识解析

会计学1测量误差的基本知识解析19一月202325.1测量误差概述5.1.1测量误差的概念与来源误差：对于某一个客观存在的量，观测值与观测值之间，或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可避免的差异叫做误差。△—测量误差X—真值L—观测值△=L-X第1页/共38页观测误差产生的三个原因仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在残余误差观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制外界条件的影响：测量时外界自然条件如温度、湿度、风力等的变化。以上三方面统称为观测条件观测成果的精确度称为“精度”等精度观测不等精度观测19一月20233第2页/共38页19一月202345.1.2测量误差的分类系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。第3页/共38页19一月20235系统误差的消除：（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和高差改正。光电测距仪的加常数和乘常数的改正。

（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。第4页/共38页19一月20236偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果单个误差出现的符号和数值大小均没有一定规律性，这种误差称为偶然误差。虽然单个的偶然误差没有规律但大量的偶然误差具有统计规律。学习误差理论知识的目的：根据一组带有偶然误差的观测值求出未知量的最可靠值评定观测成果的精度第5页/共38页任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差（错误）。当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。19一月20237粗差：也称错误，在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。即，本章关注的内容是偶然误差第6页/共38页19一月202385.1.3测量误差的特性从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值180°(表5-1)第7页/共38页第8页/共38页用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图5-1所示。这种图称为频率直方图。第9页/共38页可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该曲线称为误差分布曲线。其函数式为：即正态分布曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标Δ的函数。标准差大小反映观测精度的高低，定义为：上式可知，σ的大小决定于一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。第10页/共38页偶然误差的统计特性有限性：

在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的概率为0；单峰性：

绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；对称性：

绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；抵偿性：

当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。第11页/共38页19一月2023135.2评定精度的标准

所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。第12页/共38页5.2.1中误差19一月202314中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根，称为中误差。用m表示。

设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观测，观测值为：l1，l2，…，ln，其真误差为：⊿1，⊿2，…，⊿n则中误差为：第13页/共38页19一月202315用真误差计算中误差：必须知道真值第14页/共38页两组观测值中误差：19一月202316第一组观测值精度高于第二组中误差能突出反映大误差的影响第15页/共38页中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。

分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？必须引入相对误差的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。19一月202317第16页/共38页5.2.2相对误差19一月202318相对误差(K)的定义：中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1的分数形式表示。分母越大，相对误差越小，精度越高。第17页/共38页5.2.3允许误差19一月202319根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为极限误差，简称限差。也说是测量的允许误差。由误差理论及分布曲线可知，在一组等精度观测中，表示真误差落在(-σ，+σ)内的概率等于0.683。同理可得：(5-11)(5-12)(5-13)第18页/共38页5.2.3允许误差19一月202320上列三式结果的概率含义是，大于两倍中误差的偶然误差个数约占总数的5%，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的0.3%。测量上通常取二倍或三倍中误差作为允许误差：

Δ允=2σ≈2m (5-7)或 Δ允=3σ≈3m (5-8)前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。第19页/共38页19一月2023215.3误差传播定律及其应用直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的标准。实际中，某些未知量不可能或不便进行直接观测，需要由一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，未知量是观测值的函数。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系D=Scosα来推算。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律称为误差传播定律。5.3.1观测值的函数第20页/共38页5.3.2误差传播定律19一月2023221）和差函数的中误差设有函数Z=xy，x、y是两个相互独立的观测值，均作n次观测，中误差分别为mx和my，真误差关系式为两边平方、求和、除以n得：第21页/共38页由于x、y是相互独立的，

偶然误差x、

y出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关19一月202323第22页/共38页推广到n个独立观测值代数和差：

当n个独立观测值是等精度观测时：19一月202324第23页/共38页19一月2023252）倍数函数的中误差设有函数Z=Kx，x为直接观测值，中误差为mx，K为常数，Z为观测值x的函数。如果对x作n次等精度观测，真误差分别为x1、x2、….xn，对应的函数真误差为Z1、Z2、….Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系第24页/共38页将上述关系式平方、求和、除以n得：

19一月202326第25页/共38页19一月2023273）线性函数的中误差设有函数根据倍数函数与和差函数的中误差公式：第26页/共38页19一月2023284）一般函数的中误差设有非线性函数Z=f(x1,x2…xn)，式中x1,x2…xn为独立观测值，相应的中误差为m1、m2…..mn。由于非线性函数的真误差关系式难于表达，考虑到真误差是个小量，真误差关系式可用全微分近似表达：

第27页/共38页19一月202329其中误差分别为m1、m2、…、mn，则函数z的中误差按上述推导，可得误差传播定律的一般形式：一般方法如下∶1列出函数式（要根据题意）2对可直接观测的未知量求偏微分，即写出真误差的关系式3写出中误差的关系式第28页/共38页19一月202330举例设有函数关系h=Dtg已知D=120.25±0.05m=12°47′±30″(0.05及30″为中误差)求中误差mh①列出函数式∶h=Dtg②写出微分式∶③写出中误差形式∶第29页/共38页5.4等精度观测值的平差算术平均值算术平均值的中误差观测值的中误差由观测值的真误差计算中误差改正数的概念由观测值的改正数计算中误差实例第30页/共38页用改正数计算中误差多数情况下，客观真实值不知道，不能求得真误差。通常利用接近于真值的最可靠值（最或是值）计算改正数，求中误差。最或是值：n个观测值的算术平均值。改正数：最或是值与观测值之差v。19一月202332第31页/共38页在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最或是值。即 x=(l1+l2+…+ln)/n=[l]/n

1求最或是值2观测值的改正数观测值与最或是值之差，称为“改正数”，用符号vi(i=1,2,…n)来表示。

Vi=li-x(i=1,2,…n)

将n个改正数vi相加，有：

[v]=[l]-nx=0

即改正数的总和为0，可以用作计算中的检核，若vi值计算无误，其总和必然为0。第32页/共38页3观测值中误差由于独立观测中单个未知量的真值X是无法确知的，因此真误差Δi也是未知的，所以不能直接应用(5-28)求得中误差。但可用有限个等精度观测值li求出最或是值x后，再按公式(5-29)计算改正数vi

，用改正数vi计算观测值的中误差。公式推导从略。上式是等精度观测中用改正数计算中误差的公式第33页/共38页4算术平均值的中误差设对某量进行n次等精度观测，观测值为l1,l2,