云南省昆明市大营中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

云南省昆明市大营中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A，B，C在球O的表面上且A=，b=1，c=3．三菱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．16π B．32π C．20π D．5π参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用解三角形得出截面圆的半径r，利用d2+r2=R2，求解R，计算球的表面积．【解答】解：在△ABC中，由a2=b2+c2﹣2bccosA得a=设△ABC的外接圆的圆心为r，则2r=，即r=∵三菱锥O﹣ABC的体积为，∴×h=∴O到平面ABC的距离h=∴球O的半径为R==．∴则球O的表面积为4πR2=20π故选：C2.已知平面,则下列命题中正确的是 （）A．

B．C．

D．

参考答案：D3.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为A． B． C． D．1参考答案：A4.若点P在抛物线上，则点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之差A．有最小值，但无最大值B．有最大值，但无最小值C．既无最小值，又无最大值D．既有最小值，又有最大值参考答案：D略5.若实数x，y满足条件，则目标函数的最大值为(

)．A.6

B.5

C.4

D.3参考答案：B6.下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用充要条件的定义和函数的性质判断．B．利用特称命题的否定是全称命题来判断．C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．D．利用命题p与￢p真假关系进行判断．【解答】解：根据对数函数的性质可知，“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”，则a＞1，所以A正确．特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”，所以B错误．因为x2+2x+3=0的判断式△＜0，所以方程无解，所以“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”即不充分也不必要条件，所以C错误．因为命题p为真命题，所以￢p是假命题，所以D错误．故选：A．7.已知直线及平面，则下列命题正确的是

（

）A. B.

C.

D.参考答案：B略8.若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=(

) A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．φ参考答案：C考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解交集即可．解答： 解：因为集合A={x|={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．点评：本题考查函数的定义域与函数的值域，交集的求法，考查计算能力．9.一征棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为参考答案：D10.已知角α的终边经过点P(-5，-12)，则的值等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）对a，b∈R，记，函数的最大值为参考答案：1考点： 函数零点的判定定理．分析： 先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数f（x）的解析式，最后求函数的最大值即可．解答： 解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：1点评： 本题主要考查函数函数最值问题．含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题．12.（几何证明选做题）如图，圆是的外接圆，过点C的切线交的延长线于点，，。则的长___________(2分)的长______________(3分)．参考答案：4,

略13.某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每大能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为________元.参考答案：设甲种设备需要租赁生产天，乙种设备需要租赁生产天，该车间所需租赁费为元，则，且，满足关系为作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线，的交点时，目标函数取得最小值元，即最少租赁费用为元.试题立意：本小题考查线性规划问题等基础知识；考查应用意识，化归转化思想，数形结合思想.14.已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，且α，β∈(0，π)，则sinα的值为

.参考答案：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，

∴0＜α+β＜，

∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，

∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，

∴cos（α+β）=-=-，

∴sinα=sin（α+β-β）=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=×+×=．【思路点拨】求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．15.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是

；体积是

.参考答案：

试题分析:由题设三视图中所提供的信息可知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图其全面积,其体积为,故应填；.考点：三视图的识读与几何体的体积的运用．16.已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为______．参考答案：17.已知，则的最小值为__________

参考答案：18

本题考查了不等式的运算性质，考查了均值不等式中“一正、二定、三相等”的运用方法，难度中等。

由得，则当且仅当时取“=”号，又当且仅当时取“=”号，所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数值域；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.参考答案：（Ⅰ）当时，

--------------------------------1分由得

--------------------------------------2分的情况如下000

--------------------------------------------------4分因为，，所以函数的值域为.

---------------------------------------------------5分（Ⅱ），①当时，的情况如下

00

00

-------------------------------------------------9分所以函数的单调增区间为，单调减区间为和②当时，的情况如下

00

------------------------------------------------13分所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

略19.如图，四棱柱中，平面．（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件，并给予证明；①，②；③是平行四边形．（Ⅱ）设四棱柱的所有棱长都为1，且为锐角，求平面与平面所成锐二面角的取值范围．

参考答案：解：（Ⅰ）条件②，可做为的充分条件.

证明如下：平面，，平面，∵平面，.

若条件②成立，即，∵，平面，

又平面，．

（Ⅱ）由已知，得是菱形，.设，为的中点，则平面，∴、、交于同一点且两两垂直.以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．6分设，，其中，则，，，，，，，

设是平面的一个法向量，由得令，则，，，

又是平面的一个法向量，，令，则，为锐角，，则，，因为函数在上单调递减，，所以，……12分又，

，即平面与平面所成角的取值范围为．略20.已知数列{an}满足:a1=a2=1,=λ(n∈N*),λ是常数. (1)当λ=2时,求an+an+1-2n的值; (2)记bn=an+an+1-nλ(n∈N*). (i)求数列{bn}的通项公式及数列{an}的前n项和Sn的表达式; (ii)若λ≥2,求证:++…+. 参考答案：(1)当λ=2时,=2,即an+2an+1+an+2=4n+2, ∴(an+an+1-2n)+[an+1+an+2-2(n+1)]=0, ∵a1=a2=1,∴an+an+1-2n=0. (2)(i)易知bn+bn+1=0,∴bn=b1(-1)n-1=(2-λ)(-1)n-1, ∴an+an+1=nλ+(2-λ)(-1)n-1, 当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an) =[1+3+…+(n-1)]λ+(2-λ)(1+1+…+1) =λ+(2-λ), 当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an) =1+[2+4+…+(n-1)]λ-(2-λ)(1+1+…+1) =1+λ-(2-λ). ∴Sn=. (ii)当n≥3且n为奇数时,Sn=1+λ-(2-λ)≥1+×2=≤, 当n为偶数时,Sn-(λ-2)+(2-λ)=(λ-2)×≥0,≤, ∴++…+≤+++…+. 当n≤3时结论显然成立,当n≥4时, +++…++++[++…+]=+++[(+)+(+)+…+(+)]=++++)<+++. 本题主要考查数列的通项公式、分组求和、裂项相消法求和等,意在考查转化与化归的数学思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第(1)问通过构造(an+an+1-2n)+[an+1+an+2-2(n+1)]=0,得到an+an+1-2n=0;第(2)问同样构造an+an+1=nλ+(2-λ)(-1)n-1,然后结合分组求和、裂项相消法求和,进行放缩,最后得出结论.【备注】数列解答题一般有两问到三问,常以等差数列、等比数列的通项公式、求和为切入点,将数列与函数、不等式等知识综合起来,这类题一般对逻辑推理能力的要求较高;也可以给出一个递推关系式,在此基础上设计几个小问,此时,小问中设出的数列往往是特殊数列,这些小问中提供的条件实质就是解题的风向标、指路石,要充分应用,且各小问有时是一环扣一环,注意前面证明的结论在后面小问中的应用.

21.几何证明选讲．如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点，过点作圆的切线，切点为.（1）求证：四点共圆；（2）若,求的长.参考答案：（1）证明：连结，∵是圆的直径，∴，在和中，又∵∴∴四点共圆。（2）∵四点共圆，∴∵是圆的切线，∴∴又因为∴∴

略22.每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图．男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）本/年[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）

频数318422（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；性别阅读量丰富不丰富合计男

女

合计

（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.0250.0100.005k05.0246.6357.879参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关；（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，