云南省昆明市地质矿产勘查开发局中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

云南省昆明市地质矿产勘查开发局中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z1=3+ai，z2=a﹣3i（i为虚数单位），若z1?z2是实数，则实数a的值为（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣3参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接把z1，z2代入z1?z2，再利用复数代数形式的乘法运算化简，由已知条件得虚部等于0，求解即可得答案．【解答】解：由z1=3+ai，z2=a﹣3i，得z1?z2=（3+ai）（a﹣3i）=6a+（a2﹣9）i，∵z1?z2是实数，∴a2﹣9=0，解得a=±3．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知定义在复数集C上的函数满足，则等于A．

B．0

C．2

D．参考答案：C3.已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）参考答案：A当P、B1重合时，主视图为选项B；当P到B点的距离比B1近时，主视图为选项C；当P到B点的距离比B1远时，主视图为选项D，因此答案为A.考点：组合体的三视图4.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2

B．4＋2

C．4＋4

D．6＋4参考答案：C5.不等式[（1﹣a）n﹣a]lga＜0，对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＞1} B．{a|0＜a＜} C．{a|0＜a＜或a＞1} D．{a|0＜a＜或＞1}参考答案：C【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】因为有因式lga，所以须对a分a＞1，0＜a＜1和a=1三种情况讨论，在每一种情况下求出对应的a的范围，最后综合即可．【解答】解：由题知＞0，所以当a＞1时，lga＞0，不等式[（1﹣a）n﹣a]lga＜0转化为（1﹣a）n﹣a＜0?a＞=1﹣对任意正整数n恒成立?a＞1．当0＜a＜1时，lga＜0，不等式[（1﹣a）n﹣a]lga＜0转化为（1﹣a）n﹣a＞0?a＜=1﹣对任意正整数n恒成立?a＜，∵0＜a＜1，∴0＜a＜．当a=1时，lga=0，不等式不成立舍去综上，实数a的取值范围是

a＞1或0＜a＜故选C．【点评】本题考查了函数的恒成立问题以及分类讨论思想的应用．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．6.样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为，样本b1，b2，…，b10的平均数为，那么样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均数是（

）A．+

B．(+)

C．2(+)

D．(+)参考答案：B7.“k＞”是“直线y=k（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合直线和圆相交的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：直线y=k（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交，则圆心（1，0）到直线kx﹣y+k=0的距离d＜r，即＜1，即2|k|＜，解得k＜﹣或k＞，∴k＞”是“直线y=k（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交的既不充分也不必要条件．故选：D．8.定义：，如，则=（）A．0 B． C．3 D．6参考答案：A【考点】67：定积分．【分析】根据新定义和定积分计算即可．【解答】解：由定义=2xdx﹣1×3=x2|﹣3=4﹣1﹣3=0，故选：A9.已知函数在处取得最大值，则函数的图象（

）A．关于点对称

B．关于点对称

C．关于直线对称

D．关于直线对称参考答案：A10.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（

）A.

B. C. D.参考答案：B∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的解为

．参考答案：答案：解：?即解得（负值舍去）12.在直角三角形中，，，，若，则

．参考答案：9/213.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是

．参考答案：14.按右面的程序框图运行后,输出的应为__________.参考答案：40略15.已知正△ABC的边长为2，若，则等于

．参考答案：1由题意可知，则．

16.已知函数为的导函数，则的值为__________.参考答案：3试题分析：17.已知随机变量服从正态分布若,则函数的值域是参考答案：易知正态曲线关于直线对称，所以则有,令函数在上是增函数，所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，曲线在点（1，）处的切线方程为。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当，且时，。参考答案：（Ⅰ）由，得，∵曲线在点（1，）处的切线方程为，∴，解得。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，考虑函数（），则。所以当时，，在（0，+∞）上是减函数。而，故当时，，可得；当时，，可得；从而当，且时，，即。【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义：曲线在点（，）处的切线斜率，第二问利用作差比较法，构造新函数，考察了分类讨论的数学思想，难度较大。19.（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。参考答案：本题主要考查求点的轨迹问题，要熟悉常见轨迹问题的求法，本题主要考查了相关点转移法；要求点轨迹方程,可先求点轨迹方程，然后利用P点坐标和Q点坐标之间的关系代换求出P点的轨迹方程。设,则,,,.∵,.∵点在抛物线上运动,,

①又∵,,,又代入①整理得,∴所求点轨迹方程为.20.如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．参考答案：解：（1）依题意，得，，；故椭圆的方程为．

（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．由于点在椭圆上，所以．

（*）

由已知，则，，．

由于，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为：．

(3)设，则直线的方程为：，令，得，同理：，

故

（**）

又点与点在椭圆上，故，，代入（**）式，得：

．所以为定值．

略21.已知函数在处的切线方程为.（1）求函数的单调区间；（2）若k为整数，当时，恒成立，求k的最大值（其中为的导函数）.参考答案：（1），由已知得，故，解得，又，得，解得，，所以，当时，；当时，，所以的单调区间递增区间为，递减区间为.（2）法一：由已知，及整理得，当时恒成立，令，，当时，，；由（1）知在上为增函数，又，，所以存在，使得，此时，当时，；当时，，所以，故整数的最大值为.法二：由已知，及整理得，，令，，得，，当时，因为，所以，在上为减函数，，当时，，，为增函数，时，，为减函数，∴，由已知，令，，在上为增函数.又，，故整数的最大值为.22.设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51.假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响.

（I）求p的值；（II）设试验成功的方案的个数为，求的分布列及数学期望E.参考答案：解析：（I）解：记这两套试验