全等三角形辅助线及常用模型

学员教师 时段授课主题全等三角形及常用模型教学目标1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2、探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。教学重、难点利用三角形全等证明角的平分线的性质；全等三角形中的边角计算及证明。要点一、全等三角形的判定与性质一般三角形直角三角形判定边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)边边边(SSS)两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理(HL)性质对应边相等，对应角相等(其他对应元素也相等，如对应边上的高相等)备注判定三角形全等必须有一组对应边相等要点二、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1.证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2.证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角(等角)的余角(补角)相等.(5)对顶角相等..证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明..辅助线的添加：(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形..证明三角形全等的思维方法：(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.典型例题类型一、全等三角形的性质和判定例1、问题背景：(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明4ABE2AADG,再证明4AEF2AAGF,可得出结论，他的结论应是.探索延伸：(2)如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF=」NBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.举一反三：变式如图，已知：AE±AB,AD±AC,AB=AC,NB=NC,求证：BD=CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1).作公共边可构造全等三角形：例2、如图：在四边形ABCD中，AD〃CB,AB〃CD.求证：NB=ND.举一反三：变式在AABC中，AB=AC.求证：NB=NC例3、己知：在AABC中，AD为中线.

求证：AD<1(AB+AC)

2变式若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长工的取值范围是（ ）A.1＜工＜6 B.5＜工＜7 C.2＜工＜12 D.无法确定.作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：例4、如图，已知N1=N2,P为BN上的一点，PFLBC于F,PA=PC.求证：NPCB+NBAP=180°.举一反三：变式（2015•开县二模）如图，已知，NBAC=90°,AB=AC,BD是NABC的平分线，且CE^BD交BD延长线于点E.求证：BD=2CE..利用截长（或补短）法构造全等三角形:例5、如图所示，已知4ABC中AB>AC,AD是NBAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB一MCVAB—AC.SD一MCVAB—AC.SD类型三、全等三角形动态型问题例6、如图（1）,ABLBD于点B,EDLBD于点D,点C是BD上一点.且BC=DE,CD=AB.（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2）,若把ACDE沿直线BD向左平移，使ACDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）举一反三：变式如图（1）,4ABC中，BC=AC,4CDE中，CE=CD,现把两个三角形的C点重合，且使NBCA=NECD,连接BE,AD.求证：BE=AD.若将^DEC绕点C旋转至图（2）,（3）所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？手拉手模型例7.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形4八8口和ABCE,连接AE与CD,证明：(□△ABE2△DBC；(2)AE=DC；(3)AE与DC的夹角为60。；(4)4八682△DFB；(5)^EGB^^CFB；(6)BH平分NAHC；GF〃AC举一反三.已知：如图，点C为线段AB上一点，^ACM、ACBN是等边三角形.CG、CH分别是AACN、△MCB的高•求证：CG=CH.B.如图，已知AABC和AADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与AC+CD相等的理由.回家作业:一.选择题.如图所示，若△ABE04ACF,且AB=5,AE=2,则EC的长为（）A.2 B.3 C.5A.2 B.3 C.5D.2.5B.（2015春•平顶山期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角NA'O'B'等于已知角NAOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出NA'O'B’=NAOB的依据是（ ）A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS3.（2016•新疆）如图，在3.（2016•新疆）如图，在4ABC和4DEF中，NB=NDEF,AB=DE,添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC04DEF,这个条件是（A.ZA.ZA=ZD B.BC=EFC.ZACB=ZF D.AC=DF4.在下列结论中，正确的是（

A.全等三角形的高相等4.在下列结论中，正确的是（

A.全等三角形的高相等一角对应相等的两个直角三角形全等B.顶角相等的两个等腰三角形全等一边对应相等的两个等边三角形全等5.如图，点C5.如图，点C、D分别在NAOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等，则P点是（ ）.A.线段A.线段CD的中点OA与CD的中垂线的交点B.OA与OB的中垂线的交点CD与NAOB的平分线的交点.在^ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB=DE,BC=EF,AC=DF；（2）AB=DE,ZB=ZE,BC=EF；（3）ZB=ZE,BC=EF,ZC=ZF；（4）AB=DE,AC=DF,NB=NE.其中，能使△ABC/^DEF的条件共有（ ）组.A.1组B.2组C.3组D.4组.如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A.相等 B.不相等C.互补 D.相等或互补NB=2NC,NDAE的度数是（ ）.4ABC中，NBAC=90°AD±BC,AENB=2NC,NDAE的度数是（ ）30°D.15°30°D.15°.填空题.已知^^。^A4B'C',若^ABC的面积为10cm2,则44B'C'的面积为cm2,若△4B'C'的周长为16cm，则AABC的周长为cm..AABC和AADC中，下列三个论断：①AB=AD；②NBAC=NDAC；③BC=DC.将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：..（2015春•成都校级期末）如图，在△ABC中，NC=90°,NB=30°,AD平分NBAC,CD=2cm,则BD的长是..下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是..如右图，在AABC中，NC=90°,BD平分NCBA交AC于点D.若AB=a,CD=b，则AADB的面积为.（2016秋•扬中市月考）如图，AC±AB,ACLCD,要使得AABC0ACDA.（1）若以“SAS”为依据，需添加条件；（2）若以“HL”为依据，需添加条件..如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC,则NABC=..在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NBAC,DELAB于E.若AB=20cm,则^DBE的周长为.三.解答题.已知：如图，CB=DE,ZB=ZE,ZBAE=ZCAD.求证：NACD=NADC..已知：4ABC中，ACLBCCELAB于E,AF平分NCAB交CE于F,过F作FD〃BC交AB于D..已知：如图，AD平分NBAC,DELAB于E,DFLAC于F,且BD=CD.求证：BE二CF..感受理解如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、CE相交于点F,则线段FE与FD之间的数量关系是 自主学习事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构